1~5章习题解重点.pdf

自动控制原理部分习题解答自动控制原理部分习题解答 2 作业作业 ?1-3晶体管稳压电源如图所示，画出其方框图，并说明电路中 哪些元件起着测量、放大、执行的作用，系统的给定值、输出 量、干扰量分别是什么？ 晶体管稳压电源如图所示，画出其方框图，并说明电路中 哪些元件起着测量、放大、执行的作用，系统的给定值、输出 量、干扰量分别是什么？ + + + U w T2 R 2 R 3 U 0 R 1 T1 R L R 4 Ui A B C 3 解答：解答： 放大 元件 执行 元件 被控 对象 输出量 输入量 测量元件 4 34 R RR+ T2 T1T2 T1 RL UW Uo 干扰量 干扰量为电源电压干扰量为电源电压U1波动和负载波动波动和负载波动 4 补充题补充题 ?题目：求下列函数的拉式变换题目：求下列函数的拉式变换 ( )sin(53 )f tt=+ 2 ( )(sin5 )(cos3 )(cos5 )(sin3 ) sin50 5 ( ) 25 f ttt t F s s =+ = + = + 3 5 2 35 ( )sin5() 52 F ste s =+= + L 5 没考虑延迟定 理的使用条件 没考虑延迟定 理的使用条件 正确正确 5 比较函数：比较函数： 0 0 0 0 ( )() 1 tt f tu tt tt = 0 00 ( )() 10 t f tu tt t a0a3，故系统稳定。，故系统稳定。 试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。 32 3.( )1.51.520D ssss=+= 各项系数均大于各项系数均大于0，且，且a1a2a0a3，故系统稳定。，故系统稳定。 45 ?3-14 系统如图所示系统如图所示 ) 1( 10 +ss s s1+ R (s) Kts C (s) 1.试分析速度反馈系数试分析速度反馈系数Kt对系统稳定性的影响。对系统稳定性的影响。 2.试求试求KP、Kv、Ka并说明内反馈对稳态误差的影响。并说明内反馈对稳态误差的影响。 解解: 1.如果没有内反馈，系统的开环和闭环传递函数为如果没有内反馈，系统的开环和闭环传递函数为 2 10(1) ( ) (1) s G s ss + = + 32 10(1) ( ) 1010 s s sss + = + 各项系数均大于各项系数均大于0，且，且a1a2=a0a3，故系统临界稳定。 （不稳定） ，故系统临界稳定。 （不稳定） 46 加了内反馈后，系统的开环和闭环传递函数为加了内反馈后，系统的开环和闭环传递函数为 2 10(1) ( ) (1 10) t s G s ssK + = + + 32 10(1) ( ) (1 10)1010 t s s sK ss + = + 由劳斯判据知，系统稳定的条件为： （ 由劳斯判据知，系统稳定的条件为： （1+10Kt)1010，即，即Kt0 即速度负反馈改善了系统的稳定性。即速度负反馈改善了系统的稳定性。 2. 加了负反馈后，系统的开环传递函数加了负反馈后，系统的开环传递函数 2 10 (1) 1 10 ( ) (1) 1 10 t t s K G s s s K + + = + + 系统为型系统为型,Kp=,Kv=, 10 1 10 a t K K = + 在单位加速度信号下的稳态误差为在单位加速度信号下的稳态误差为 1 101 0.1 10 t sst a K eK K + =+ Kt小，则小，则ess小；但从稳定性考虑，又希望小；但从稳定性考虑，又希望Kt大些。大些。 47 ?3-15 单位反馈系统的开环传递函数分别为单位反馈系统的开环传递函数分别为 2 (1)( ) (1) K G s Ts = + (2)( ) (1) K G s s Ts = + 2 (3)( ) (1) K G s s Ts = + 试确定各系统开环增益试确定各系统开环增益K的稳定域，并说明积分环节数 目对系统稳定性的影响。 解 的稳定域，并说明积分环节数 目对系统稳定性的影响。 解: (1) 闭环传递函数闭环传递函数 2 ( ) 21 K s TsTsK = + + 二阶系统所有系数大于二阶系统所有系数大于0则系统稳定。故应有则系统稳定。故应有K1; (2) 2 ( ) K s TssK = + + 二阶系统所有系数大于二阶系统所有系数大于0则系统稳定。故应有则系统稳定。故应有K0; (3) 32 ( ) K s TssK = + 三阶系统系数三阶系统系数a2=0,则系统不稳定。 结论：积分环节可提高系统对信号的跟踪能力，但却 有使系统稳定性变差的趋势。型系统极难稳定。 则系统不稳定。 结论：积分环节可提高系统对信号的跟踪能力，但却 有使系统稳定性变差的趋势。型系统极难稳定。 48 ?3-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，如输入信号为已知单位反馈系统的开环传递函数，如输入信号为 r(t)=5+6t+t2，试求稳态误差，试求稳态误差ess。 )100( ) 1(500 )( 2 + + = ss s sG 解解: 首先判稳。系统闭环特征方程为首先判稳。系统闭环特征方程为 32 ( )1005005000D ssss=+= 各项系数均大于各项系数均大于0，且，且a1a2a0a3，故系统稳定。，故系统稳定。 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 2 5(1) ( ) (1) 100 s G s s s + = + 为型系统。为型系统。 对于阶跃和斜坡输入信号，对于阶跃和斜坡输入信号，ess1=ess2=0 仅在仅在r3(t)=t2时有稳态误差为时有稳态误差为ess3=b/Ka=2/50.4 故故essess1+ess2+ess30.4 49 ?3-20 试求图示系统的稳态误差，已知试求图示系统的稳态误差，已知r(t)=n(t)=1(t)。 1 2 2 +sT K 1 1 1 +sT KR (s) + C (s) N (s) 解解: 系统的开环和闭环传递函数为系统的开环和闭环传递函数为 12 12 ( ) (1)(1) K K G s TsT s = + 12 2 1 21212 ( ) ()1 K K s TT sTT sK K = + + 二阶系统所有系数大于二阶系统所有系数大于0则系统稳定。应有则系统稳定。应有 T1T20, (T1+T2)0, 1+K1K20 系统稳定的条件为 系统稳定的条件为T10，T20， K1K21 ?在单位阶跃信号在单位阶跃信号r(t)=1(t)作用下，其稳态误差作用下，其稳态误差 12 1 1 ssr e K K = + 50 ?在扰动作用下误差传递函数为在扰动作用下误差传递函数为 2 K 221 21 2112 21 ( )1(1) ( ) ( )(1)(1) 1 11 n en E sT sK Ts s KK N sT sTsK K T sTs + = = + + + 21 2112 (1) ( )( ) (1)(1) n K Ts E sN s T sTsK K + = + 在扰动作用下误差信号为： 根据终值定理，有： 在扰动作用下误差信号为： 根据终值定理，有： 212 00 211212 (1)1 lim( )lim (1)(1)1 ssnn ss K TsK esE ss T sTsK K sK K + = + 所以系统总的稳态误差为所以系统总的稳态误差为 22 121212 11 111 ssssrssn KK eee K KK KK K =+= + 51 第四章部分题解第四章部分题解 ?4-1.开环零、极点如图所示开环零、极点如图所示,试绘制出相应的概略根轨迹图。试绘制出相应的概略根轨迹图。 （c） 0 j 0 j 0 j （d）（e） 52 4-3已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数2 ( ) (0.050.41) K G s sss = + 试绘制系统的闭环根轨迹图试绘制系统的闭环根轨迹图,并求使系统闭环稳定的并求使系统闭环稳定的K 值范围。 解：系统开环传递函数： 值范围。 解：系统开环传递函数： 1 22 20 ( ) (0.050.41)(820)(42)(42) KKK G s ssss sss sjsj = + ?实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹区段：（，区段：（，0） ?渐近线与正实轴的夹角：渐近线与正实轴的夹角： 60 , 180 a = ? 渐近线与负实轴的交点：渐近线与负实轴的交点： 11 ()() 0( 42)( 42)8 2.67 33 nm ij ij a pz jj nm = + + = = 53 根轨迹图根轨迹图 ?根轨迹的出射角：根轨迹的出射角： 1 (21)() 2 18090()63.4 4 PZP k tg = + = ? ?根轨迹的分离点：根轨迹的分离点： 1 1 2 ( ) ( ) (820)( ) KB s G sK s ssAs = + 2 ( )316200A sss=+= 解得解得 10 3 12 ,2ss= = ?求系统闭环稳定的求系统闭环稳定的K值值 32 1 ( )8200D ssssK 均在根轨迹上，为分 离点（汇合点） 均在根轨迹上，为分 离点（汇合点） =+= 将将s=j代入，有代入，有 2 1 3 Re80 Im200 K = = += 1 20,0 160,0K = = 即系统闭环稳定时即系统闭环稳定时 0K8 54 4-7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 1( 2)(3) ( ) (1) K ss G s s s + = + 试作根轨迹试作根轨迹,并分析并分析K1取值不同时取值不同时,系统的阶跃响应特性。系统的阶跃响应特性。 解：实轴上的根轨迹区段：解：实轴上的根轨迹区段：-1,0和和-3,-2，无渐近线。 分离点： ，无渐近线。 分离点： 2 ( ) ( )( ) ( )(21)(2)(3)(25) (1) 41260 A s B sB s A ssssss s ss =+ =+= 解得：解得：s1=-0.64,s2=-2.4与之对应的与之对应的K1值分别为值分别为 11 0.64 0.362.4 1.4 0.0714 1.36 2.360.4 0.6 KK = ?当当K114时，系统有两个负实根，阶跃响应 为单调收敛； 时，系统有两个负实根，阶跃响应 为单调收敛； ?当当0.07K114时，系统有一对实部为负的共轭复根， 阶跃响应呈振荡收敛。 时，系统有一对实部为负的共轭复根， 阶跃响应呈振荡收敛。 55 1 0.07K = 1 14K= 56 4-9 系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为： 1 2 ( )( ) (1) K G s H s ss = + 画出该系统的根轨迹图画出该系统的根轨迹图,说明不论系数说明不论系数K1为何值时为何值时,系统 均不稳定 系统 均不稳定;利用根轨迹图说明在负实轴上增加一个零点利用根轨迹图说明在负实轴上增加一个零点, 将开环传递函数改为将开环传递函数改为 1 2 () ( )( ) (1) K sa G s H s ss + = + 可以使系统稳定。可以使系统稳定。 (0a0,有两条 根轨迹进入 有两条 根轨迹进入s右半平面，系 统不稳定。 右半平面，系 统不稳定。 解解:(1)作出原系统的根轨 迹如右图。 作出原系统的根轨 迹如右图。 1 2 ( )( ) (1) K G s H s ss = + 57 (2)附加开环零点附加开环零点-a(0a1)后，根轨迹如下图。后，根轨迹如下图。 1 2 () ( )( ) (1) K sa G s H s ss + = + a=0.5 a=0.8 可见根轨迹始终在可见根轨迹始终在s左半平 面，系统稳定。 左半平 面，系统稳定。 58 4-12 已知负反馈控制系统的开环传递函数为已知负反馈控制系统的开环传递函数为 1( 3) ( )( ) (1)(5)(15) K s G s H s sss + = + (1)绘制系统的根轨迹图。绘制系统的根轨迹图。 (2)确定使闭环传递函数具有阶跃响应超调量为确定使闭环传递函数具有阶跃响应超调量为16.3% 的的K1值。值。 解解:(1)三条：一条三条：一条-3，两条；，两条； (2)实轴上：实轴上：-15,-5,-3,-1 (3) 渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴夹角： 11 ()() 155 1 3 9 2 nm ij ij a pz nm = + = (4) 渐近线与实轴交点：渐近线与实轴交点： 90 a = ? 59 (5)分离点：用试探法。分离点：用试探法。 11 11 nm ij dpdz = = + 1111 15513dddd += + d=-9.5 作出根轨迹如图。 当 作出根轨迹如图。 当16.3 时 时,=0.5 作出作出=0.5的线，由 图中可得此时闭环极点 的线，由 图中可得此时闭环极点 s1,2-9.1j15 。 对 应 的 。 对 应 的K1值：值： 1 9.115 1 9.115 5 9.115 15 9.115 3 17.05 15.55 16.12 263.98 16.19 jjj K j + + = + = 60 61 4-15 系统如下图所示，若需同时满足下述条件：系统如下图所示，若需同时满足下述条件： (2).阶跃响应刚好无超调阶跃响应刚好无超调(临界阻尼情况临界阻尼情况)，试确定参数，试确定参数 K1的取值。的取值。 (1).单位斜坡输入下的稳态误差单位斜坡输入下的稳态误差ess 2.25； 2 1 (3)s s+ )(sC )(sR + 1 K 解：（解：（1） 11 2 00 lim( )lim (3)9 v ss sKK KsG s s s = + 1 1 19 2.254 ss v eK KK =而 （2）临界阻尼，即对应于根轨迹上的分离点）临界阻尼，即对应于根轨迹上的分离点 2 12 ( ) ( )( ) ( )312901,3A s B sB s A sssss=+= = 62 将将s1=-1代入幅值条件，有代入幅值条件，有 1 2 1 1 (3)4 s Kss = =+= 故故K14即为所求。即为所求。 63 4-18 单位反馈开环传递函数4-18 单位反馈开环传递函数 5(0.20.1) ( ) () s G s s sa + = + (1)求以求以a为参数的根轨迹；为参数的根轨迹； (2)要求闭环有衰减振荡要求闭环有衰减振荡a的取值范围；的取值范围； (3)求求=0.8时的时的a值。值。 解：解：(1) 5(0.20.1) 1( )10 () s G s s sa + += += + 2 2 0.5010 0.5 s sassa ss + += += + + 故等效传递函数故等效传递函数2 ( ) 1111 0.5 ()() 2222 sas G sa ss sjsj = + + + 整个负实轴均存在根轨迹，渐近线：整个负实轴均存在根轨迹，渐近线： 汇合点：汇合点： 2 ( ) ( )( ) ( )(0.5)(21)00.707A s B sB s A ssssss=+ += = 出射角：出射角： 1 (zp = += += ? 64 2 ( ) 0.5 s G sa ss = + + 65 (2)当当s=-0.707时，由特征方程：时，由特征方程： 2 0.50sass+ += 解得：解得：a=0.414。即：。即：0a0.414时，系统闭环有衰减振荡时，系统闭环有衰减振荡. =0.8时，时， cos-10.8=36.87。 作出此线。可得作出此线。可得 (3)求求=0.8时的时的a值。值。 1,2 0.570.42sj 0.13a 由幅值条件解得由幅值条件解得 66 第五章部分习题解第五章部分习题解 ?5-5 试求图示网络的频率特性，并画出其对数幅频渐 近线。 试求图示网络的频率特性，并画出其对数幅频渐 近线。 （a）解：解： 1 1 Ts Ts + = + 2 12 1 R RR = + 1 1 TRC= 令：令： L( ) 1/ 1 T +20dB/dec 20lg 对数幅频渐近线：对数幅频渐近线： 12 1 12 R R TC RR = + 2211 21 1 211 1 221 1 1 ( )(1) ( ) 1 ( ) ()(1) 1 o a i UsRR RC s G s R R U s R RRC s C s RRR R C s + = + + + i 67 2 222 211 12 2 1 ( )1 ( ) 1 ( )()1 o b i R UsC sR C s G s U sRR C s RR C s + + = + + 2 12 1 R RR = + 121 ()TRR C=+令：令： 对数幅频渐近线：对数幅频渐近线： L( ) 1/ 1 T -20dB/dec 20lg （b） 1 1 Ts Ts + = + 68 ?5-6 已知一些元件的开环对数幅频特性曲线如图所示。 试写出它们的传递函数 已知一些元件的开环对数幅频特性曲线如图所示。 试写出它们的传递函数G(s)，并计算出各参数值。，并计算出各参数值。 解：解：(a)( ) 1 1 10 K G s s = + 20lg2010KK= 10 ( ) 1 1 10 G s s = + 解：解：(c) 2 22 ( ) 2 n nn K G s ss = + 20lg2010KK= 20lg1.25 r M = 而而 2 1 0.5 21 r M = = 2 1 24.95 rnn = 又又1.15 r M= 69 ? 5-7 最小相位系统的对数幅频渐近特性如图示。要求最小相位系统的对数幅频渐近特性如图示。要求 (1) 写出对应的传递函数表示式。写出对应的传递函数表示式。 (2) 概略地画出对应的对数相频和幅相频率特性曲线。概略地画出对应的对数相频和幅相频率特性曲线。 L 20 40 20 0 12 c 3 40 L dB 60 20 40 0 110 100 60 200 (a) (b) ?解：解：a 写出对应的传递函数为：写出对应的传递函数为： 2 13 1 (1) ( ) 11 (1)(1) Ks G s sss + = + 70 中频段的近似公式为：中频段的近似公式为： 22 1 1 1 ()20 lg0 1 c cc cc K LK = 画出对应的对数相频特性和奈奎斯特曲线：画出对应的对数相频特性和奈奎斯特曲线： L 2 0 4 0 2 0 0 1 2 c 3 4 0 2 ( ) jQ P 0 + = 0= 起点：负虚轴方向无穷远； 终点：从负实轴方向趋于原点。 补虚弧线： 起点：负虚轴方向无穷远； 终点：从负实轴方向趋于原点。 补虚弧线：090 71 ?解：解：b 写出对应的传递函数为：写出对应的传递函数为： ( ) 11 (1)(1)(1) 10200 K G s sss = + 中频段的近似公式为：中频段的近似公式为： ()20 lg0100,1000 1 10 cc cc K LK = 画出对应的对数相频特性和奈奎斯特曲线：画出对应的对数相频特性和奈奎斯特曲线： L d B 6 0 2 0 4 0 0 1 1 0 1 0 0 6 0 2 0 0 (b ) 2 ( ) 3 2 jQ P 0= K 72 ?5-8 画出下列传递函数对应的对数幅频特性的渐近线和相频特 性曲线。 画出下列传递函数对应的对数幅频特性的渐近线和相频特 性曲线。 ) 16)(1( 50 )( 22 + = ssss sG（2） 60 40 100 L() L c 20lg5034dB= 10 0.1 1 0.17() 3 2 dB 80 20 0 40 60 0.01 5 2 2 转折频率：转折频率：1/6，1 73 2 8(0.1) ( ) (1)(10) s G s s sss + = + + （4） () 20 60 L 20lg0.0821.9dB= 转折频率转折频率0.1，1，10 2 0.08(101) (1)(0.11) s s sss + = + + 3 2 10 0.1 1 40 L() () 2 dB 20 -40 0 -20 0.01 -20 -60 0 74 ? 5-9 系统的开环幅相频率特性曲线如图系统的开环幅相频率特性曲线如图E5.5所示。试判 断各系统闭环的稳定性。未注明时 所示。试判 断各系统闭环的稳定性。未注明时p=0,v=0。 j 1 j 1 1 j 1 j (a) (b)p=1(c)p=1(d)v=2 1 j (e)p=2,v=1 1 j (f)v=2 1 j 1 j (g)p=1 (h)p=2 . . . N+=1/2,N-=0， NP/2不稳不稳 N+=0,N-=1/2， NP/2不稳不稳 N+=0,N-=1/2， NP/2不稳不稳 N+=0,N-=0， N=P/2稳稳 N+=1,N-=0， N=P/2稳稳 N+=0,N-=1/2， NP/2不稳不稳 N+=1/2,N-=0， N=P/2稳稳 N+=0,N-=0， N=P/2不稳不稳 75 ? 5-11 已知系统开环传递函数，试绘制伯德图，求出相角裕量和 增益裕量，并判断闭环系统的稳定性。 已知系统开环传递函数，试绘制伯德图，求出相角裕量和 增益裕量，并判断闭环系统的稳定性。 ) 106. 0)(125. 0( 6 )( + = sss sG 解：转折频率解：转折频率11/0.254，21/0.0616.67 20lgK=20lg6=15.6dB。作出。作出Bode图如下。图如下。 40 20 60 L c L() () 2 dB 40 20 0 40 20 3 2 1 10 4 16.67 N+=0,N-=0，NP/2，稳定，稳定 76 求相角裕量。先求求相角裕量。先求 c。中频段对数幅频特性可近似为。中频段对数幅频特性可近似为 6 ()20lg0 0.25 c cc L = 6 1 0.25 cc = 244.9 c = 11 180()180900.250.0622.86 ccc G jtgtg =+= ? 求增益裕量。先求求增益裕量。先求g。 ()180 g G j= ? 11 900.250.06180 gg tgtg = ? 11 0.250.0690 gg tgtg = ? 0.250.06 10.250.06 gg gg + = 8.16 g = 1 22 16 ()3.4 () 8.16 (0.25 8.16)1(0.06 8.16)1 g g K G j = + + 77 ? 5-12 画出下列开环传递函数的幅相频率特性，并判 断相应的闭环 画出下列开环传递函数的幅相频率特性，并判 断相应的闭环(负反馈负反馈)系统的稳定性。系统的稳定性。 )50( 250 )()( + = ss sHsG )15)(5( ) 1(250 )()( 2 + + = sss s sHsG （2） （ ） （4） jQ P 0 + = 0= P0 N+=0,N-=0，NP/2，稳定，稳定 -1 解解: 解解: 起点：负实轴方向无穷远； 终点：从正虚轴方向趋于原点。 补虚弧线： 起点：负实轴方向无穷远； 终点：从正虚轴方向趋于原点。 补虚弧线：0180。 2 3.33(1) ()() 11 () (1)(1) 515 j G jH j jjj + = + 111 ()() 11 180 515 G jH j tgtgtg = + ? （4） 确定与负实轴的交点确定与负实轴的交点： 78 利用三角公式利用三角公式 () 1 tgtg tg tgtg + += 111 11 515 ggg tgtgtg =+ 有有 11 515 11 1 515 gg g gg + = 557.42 g = 250 55 1 ()()0.23 55 552555225 gg G jH j + = + 即奈氏曲线与负实轴的交点为即奈氏曲线与负实轴的交点为(-0.23,j0)作出奈氏曲线。作出奈氏曲线。 jQ P 0 + = 0= -1 与负实轴的交点频率为与负实轴的交点频率为g ()()G jH j 111 11 180180 515 ggg tgtgtg = + ? + g P0 N+=0,N-=0，NP/2，稳定，稳定 79 ?5-16 单位负反馈最小相位系统的开环对数幅频渐近曲 线如图所示。 单位负反馈最小相位系统的开环对数幅频渐近曲 线如图所示。 (1)写出系统的开环传递函数。写出系统的开环传递函数。 (2)判别闭环系统的稳定性。判别闭环系统的稳定性。 (3)将幅频特性曲线向右平移将幅频特性曲线向右平移10倍频程，试讨论对系统 阶跃响应的影响。 倍频程，试讨论对系统 阶跃响应的影响