2020版高考数学二轮复习 第三篇 思想导引 3.4 转化与化归思想课件 理

第4讲转化与化归思想,题型一数列问题化归为函数问题解决【例1】某厂2019年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又,恰好与12月的生产利润相同,则全年总利润m与全年总投入n的大小关系是()a.mnb.m0,前n项和为sn,每月的投入资金组成一个等比数列bn,且公比q1,前n项和为tn,a1=b1,且a12=b12,比较s12与t12的大小.若直接求和,很难比较出其大小,但等差数列的通项公式是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式是关于n的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列.,在同一坐标系中画出图象,直观地可以看出aibi,(1i12,in),则s12t12,即mn.,【拓展提升】把一个原本是求和的问题,转化到对数列各项逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是学生所熟悉的.在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清晰.,【变式训练】已知数列an的通项公式an=n2-7n-8.(1)数列中有多少项为负数?(2)数列an是否有最小项?若有,求出其最小项.,【解析】(1)令an0,即n2-7n-80,得-1n8.又nn*,所以n=1,2,3,7,数列从第1项至第7项均为负数,共7项.(2)an=n2-7n-8是关于n的二次函数,其对称轴方程为n=3.5,所以当1n3时,an单调递减;当n4时,an单调递增,所以当n=3或4时,an最小,且最小项a3=a4=-20.,题型二立体几何问题通过转化得以解决【例2】在三棱锥p-abc中,已知pabc,pa=bc=l,pa,bc的公垂线ed=h.求证:三棱锥p-abc的体积v=l2h.,【证明】如图,连接eb,ec,由pabc,paed,edbc=d,可得pa截面ecb.这样,截面ecb将原三棱锥切割成两个分别以ecb为底面,以pe,ae为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高pe+ae=pa=l,所以vp-abc=vp-ecb+va-ecb=secbae+secbpe=secbpa=bcedpa=l2h.,【拓展提升】三棱锥p-abc,无论是sabc还是高h都不好求.如果观察图形,换个角度看问题,创造条件去应用三棱锥体积公式,则可走出困境.,【变式训练】盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降多少?,【解析】设取出小球后,容器中水面下降hcm,两个小球的体积为v球=(cm3),此体积即等于它们的容器中排开水的体积v=52h,所以=52h,所以h=,即若取出这两个小球,则水面将下降cm.,题型三正难则反的转化【例3】若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是_.,【解析】若两方程均无实根,则1=(a-1)2-4a2=(3a-1)(-a-1).2=(2a)2+8a=4a(a+2)0,所以-2a0,故-20,则p-3或p,取补集为-34x+p-3,所以(x-1)p+x2-4x+30.令g(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则要使它对一切0p4均有g(p)0,只要有所以x的取值范围为x|x3或x-1.,【拓展提升】在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元,由于思维定势的影响,在解决这类问题时,我们总是紧紧抓住主元不放,这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能,变更主元,转变其他变量在问题中的地位,就能使问题迎刃而解.本题中,若视x为主元来处理,既繁且易出错,将主元进行转化,使问题变成关于p的一次不等式,问题实现了从高维向低维的转化,解题简单易行.,【变式训练】若不等式x2-ax+10对一切a-2,2恒成立,则x