2020版高考数学二轮复习 第二篇 专题突破 2.1 函数与导数 解答题 2 导数与零点及最优化问题课件 理

第2课时导数与零点及最优化问题,考向一利用导数研究函数的零点(方程的根)【例1】(2019淄博一模)已知ar,函数f(x)exax(e=2.71828是自然对数的底数).,(1)若函数f(x)在区间(e，1)上是减函数,求实数a的取值范围.(2)若函数f(x)=f(x)-(ex-2ax+2lnx+a)在区间内无零点,求实数a的最大值.,【题眼直击】,【解析】(1)由f(x)=ex-ax,得f(x)=ex-a且f(x)在r上递增.若f(x)在区间(-e,-1)上是减函数,只需f(x)0恒成立.因此只需f(-1)=e-1-a0,解得a.,又当a=时,f(x)=ex-0当且仅当x=-1时取等号.所以实数a的取值范围是.,(2)方法一:由已知得f(x)=a(x-1)-2lnx,且f(1)=0,则f(x)=a-=,x0.当a0时,f(x)0.所以f(x)在内无零点.,当a0时,令f(x)=0,得x=.若时,即a(0,4时,f(x)在上是减函数.又x0时,f(x)+.要使f(x)在内无零点,只需f=-2ln0,则0a4ln2.,若4时,则f(x)在上是减函数,在上是增函数.所以f(x)min=f=2-a-2ln,令(a)=2-a-2ln,则(a)=-1+=0.所以(a)在(4,+)上是减函数,则(a)(4)=2ln2-20;当x(x0,)时,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,)单调递减.,又f(0)=0,f()=0,所以,当x0,时,f(x)0.又当a0,x0,时,ax0,故f(x)ax.因此,a的取值范围是(-,0.,考向二利用导数求解最优化问题【例2】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.,(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【题眼直击】,【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,解得a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量为y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2,3x6.,从而,f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6),于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:,由上表可得,当x=4时,函数f(x)取到极大值,也是最大值,所以,当x=4时,函数f(x)取到最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【拓展提升】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求导:求函数的导数f(x),解方程f(x)=0.,(3)求最值:比较函数在区间端点和使f(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)结论:回归实际问题作答.,【变式训练】统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升),关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为:y=x3-x+8(0x120).已知甲、乙两地相距100千米.,(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?,【解析】(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),要耗油2.5=17.5(升).所以,当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.,(2)当速度为x千米/时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=x2+-(0x120),h(x)=(00,h(x)是增函数,当x=80时,h(x)取到