2020版高考数学二轮复习 第二篇 专题突破 2.3 数列 解答题 2 数列的综合应用课件 理

第2课时数列的综合应用,考向一等差数列与等比数列的综合问题【例1】(2019塘沽一模)已知an的各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求an和bn的通项公式.(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和.,【题眼直击】,【解析】(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,由题意q0,由已知有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q0,解得q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1,所以nn*;数列bn的通项公式为bn=2n-1,nn*.,(2)由(1)有cn=(2n-1)2n-1,设cn的前n项和为sn,则sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述两式相减,得-sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-,3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,sn=(2n-3)2n+3,nn*.,【拓展提升】解决等差数列与等比数列的综合问题的关键关键是理清两个数列的关系.(1)如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究.,(2)如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征,再进行求解.,【变式训练】已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,【解析】(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2.当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,(2)当an=2时,sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,sn=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,n的最小值为41.,考向二数列与函数的综合【例2】(2019武汉一模)设nn*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式.(2)记tn=,证明:,【题眼直击】,【解析】(1)由题意,y=(2n+2)x2n+1,曲线在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.所以切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).当y=0时,xn=,所以数列xn的通项公式为xn=.,(2)由题设和(1)中的计算结果知,tn=当n=1时,t1=.当n2时,因为,综上可得,对任意的nn*,均有tn.,【拓展提升】解决数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点.,(2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.,【变式训练】设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nn*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列an的前n项和sn.,(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和tn.,【解析】(1)由已知,得b7=,b8=4b7,有.解得d=a8-a7=2.所以sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.,(2)f(x)=2xln2,f(a2)=ln2,故函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=ln2(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,得a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.,所以tn=,2tn=因此,2tn-tn=所以tn=.,考向三数列与不等式的综合问题【例3】(2019南昌一模)已知数列an满足a1=且an+1=an-(nn*).(1)证明:10.由0an得(1,2,即12.,(2)由题意得=an-an+1,所以sn=a1-an+1.由和12得12,所以n2n,因此an+1(nn*).由得(nn*).,【拓展提升】数列中不等式问题的处理方法(1)函数法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.,(2)放缩法:数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到.(3)比较法:作差或者作商比较法.(4)数学归纳法:使用数学归纳法进行证明.,【变式训练】已知数列an中,a1=,an+1=2-,设bn=,数列bn的前n项和是sn.(1)证明数列bn是等差数列,并求sn.(2)比较an与sn+7的大小.,【解析】(1)因为bn=,an+1=2-.所以bn+1=+1=bn+1.所以bn+1-bn=1.bn是公差为1的等差数列.由a1=,bn=得b1=-.所以sn=-3n.,(2)由(1)知:bn=-+n-1=n-.由bn=得an=1+=1+.an-sn-