第2讲 不等式选讲

第2讲不等式选讲,高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.,1.(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa).,真题感悟,(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围.,解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1).当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，显然f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1).,(2)当a1时，若ax0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.(2)利用零点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.,4.基本不等式,热点一绝对值不等式的解法【例1】(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.,可得f(x)0的解集为x|2x3.(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.又|xa|x2|a2|，且当x2或xa时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，).,探究提高1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.,【训练1】(2019河南A10联盟冲刺)已知函数f(x)2|x1|xm|(m0).(1)当m2时，求不等式f(x)1的解集；(2)g(x)f(x)2，g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为A，B，C，若三角形ABC的面积为12，求m的值.,解(1)当m2时，不等式f(x)1化为2|x1|x2|1，当xx成立，求a的取值范围.,(2)当x(0，1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0，1)时|ax1|1成立.若a0，则当x(0，1)时，|ax1|1；,综上，a的取值范围为(0，2.,角度2不等式能成立问题【例22】(2019河北名校联考)已知函数f(x)|2xa|1，,解(1)当a2时，函数f(x)|2x2|1，不等式f(x)x0时，不等式化为x12x21x，,(2)由f(x)b|2xa2|，得b|2xa|2xa2|1，设g(x)|2xa|2xa2|1，则不等式的解集非空，即不等式有解，等价于bg(x)max，由g(x)|(2xa)(2xa2)|1|a2a|1，b|a2a|1；,【训练3】已知函数f(x)|x1|2xm|(mR),解(1)当m2时，不等式为|x1|2x2|3，,若1x0，且a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.,证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab),所以(ab)38，因此ab2.,探究提高1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.在不等式的证明中，一方面要注意基本不等式成立的条件；另一方面要善于对“式子”进行恰当的转化、变形.,【训练4】(2019成都诊断)设不等式22|ab|.,1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想.2.利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件，利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题.3.分析法是证明不等式