《解非线性方程》PPT课件

4.4非线性方程的牛顿法(NewtonMethodofNonlinearEquations),内容提纲（Outline),牛顿法及其几何意义收敛性及其收敛速度计算实例及其程序演示,取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:,重复上述过程,作为第一次近似值,一、牛顿法及其几何意义,Newton迭代公式,基本思路：将非线性方程f(x)=0线性化,牛顿法的几何意义,牛顿法也称为切线法,迭代函数,（局部收敛性定理）设f(x)C2a,b，若x*为f(x)在a,b上的根,且f(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初始值，Newton法产生的序列xk收敛到x*，且满足,至少平方收敛,二、牛顿法的收敛性与收敛速度,定理4.4.1,在x*的附近收敛,由Taylor展开：,令k，由f(x*)0，即可得结论。,证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法,迭代函数为：,设x*是f的m重根，则令：且,Answer1:有局部收敛性,Answer2:线性收敛,结论：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。局部收敛定理对初始值x0要求较高。,有根,根唯一,(全局收敛性定理):设f(x)C2a,b,若f(a)f(b)0；则由Newton法产生的序列xk单调地收敛到f(x)=0在a,b的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的,保证Newton迭代函数将a,b映射于自身,定理4.4.2,将f(x*)在xk处作Taylor展开,对迭代公式两边取极限，得,说明数列xk有下界,故xk单调递减,从而xk收敛.令,？,定理4.4.3,(全局收敛性定理):设f(x)C2a,b,若,(1)f(a)f(b)0；(2)在整个a,b上f(x)0,f(x)0；(3),则对任何,Newton迭代格式产生的序列都收敛于f(x)=0的根x*.,注:定理的条件(3)保证了从x*两侧任取x0,所得到的数列xk均在a,b内.,三、计算实例及其程序演示,辅助工具:VC程序设计语言Matlab数学软件,(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0),计算步骤,(2)按公式迭代得新的近似值xk+1,(3)对于给定的允许精度，如果则终止迭代，取;否则k=k+1，再转步骤(2)计算,允许精度,最大迭代次数,迭代信息,例1：用Newton法求方程的根,要求,迭代格式一：,迭代格式二：,取初值x00.0,计算如下：,对迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706对迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401,解：,例题2,求函数的正实根精度要求：,从图形中我们可以看出：在x=7和x=8之间有一单根；在x=1和x=2之间有一重根。,用Matlab画图，查看根的分布情形,初值x08.0时,计算的是单根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481初值x01.0,计算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutionis1.198631981,小结,(1)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的单根时，牛顿法在x*的附近至少是平方收敛的。(2)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的重根时，牛顿法在x*的附近是线性收敛的。(3)Newton法在区间a,b上的收敛性依赖于初值x0的选取。(4)Newton法的突出优点：收敛速度快缺点：需计算函数的导数。,四重根情形的Newton迭代法,重根情形的Newton迭代法是线性收敛的,且有,由此易知若迭代函数为：,则Newton迭代格式为平方收敛.,但m通常未知,故常用修改方法：,令,若x*为f(x)的m重根,则x*为u(x)=0的单根,取,则得:,此格式二阶收敛,但要计算二阶导数.,4.5弦截法与抛物线法,一、单点弦截法,固定一点P0(x0,f(x0),用差商代替Newton公式中的,则得离散化的公式:,称为单点弦截法,是一种简单迭代法.,几何意义:依次用弦线代替曲线,用线性函数的零点作为f(x)零点的近似值.,定理4.5.1,设f(x)在a,b上满足：,(1)f(a)f(b)0;(2)在a,b上连续且不变号;(3)选取初始值,使得,选定a,b中的一个,另一个为.,则由迭代格式,所产生的序列xk单调地收敛于f(x)=0在a,b上的唯一根x*,且收敛速度是线性的.,二、双点弦截法,若用差商代替Newton公式中的,则得公式:,称为双点弦截法.,注：双点弦截法与前面介绍的迭代法有明显区别,前面所讲述迭代法计算xk+1时只用到xk,故称为单步迭代;而双点弦截法计算xk+1时,却同时用到前面两步的结果xk-1和xk,故称为多步迭代.,说明：单点弦截是双点弦截的特殊情况.,几何解释：,为的斜率,直线方程为：,(1)f(x)在根x*的某个领域内有连续的二阶导数,且(2)任取属于该领域;则由双点弦截公式所得序列收敛于根x*,且收敛速度,(1)f(a)f(b)0；(2)在整个a,b上f(x)0,f(x)0；(3),则由双点弦截公式所得序列收敛于f(x)=0的唯一根x*.,例1：用单点弦截和双点弦截求方程在2,3内的特殊情况.,解:(1)单点弦截法,取，单点弦截公式为：,(2)双点弦截法,取，双点弦截公式为：,三、弦截法与Aitken迭代法的联系,设,对于在和两点处使用弦截法,则得,即为Aitken迭代公式,四、抛物线法,若用过三点和的抛物线,与x轴交点的横坐标作为xk+1,则得抛物线法或Mlller方法.一条抛物线有两个实零点时,取与xk较近的那个零点作为xk+1.,4.5非线性方程组的迭代算法,一、不动点迭代格式(简单迭代格式),取初值代入计算即可.,二、Newton迭代格式,将非线性方程组线性化：,设为的第k次近似解,由Taylor公式得,用线性方程组,即,近似代替,用(*)的解作为的第k+1次近似解,则得Newton迭代格式：,这里,例：用牛顿法解方程组,取初始值(1,1,1),计算如下,Nxyz01.00000001.00000001.000000002.18932601.59847511.39390061.85058961.44425141.27822401.78016111.42443591.23929241.77767471.42396091.23747381.77767191.42396051.23747111.77767191.42396051.2374711,练习：,3.Newton迭代法是如何推出的?它若在单