高考数学必修知识讲解直线的一般式方程及综合基础

直线的一般式方程及综合【学习目标】1掌握直线的一般式方程；2能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式要点诠释：1A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线当B=0，A0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线2在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2xy+1=0，也可以是，还可以是4x2y+2=0等）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy1=k(xx1)（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C为系数任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1x2，y1y2），应用时若采用(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)=0的形式，即可消除局限性截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式一般式常化为斜截式与截距式若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同要点三：直线方程的综合应用1已知所求曲线是直线时，用待定系数法求2根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同（1）从斜截式考虑 已知直线, ；于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为（2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： （1）斜率为，且经过点A（5，3）；（2）过点B（3，0），且垂直于x轴；（3）斜率为4，在y轴上的截距为2；（4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；（5）经过C（1，5），D（2，1）两点；（6）在x，y轴上的截距分别是3，1【答案】（1）（2）x+3=0（3）4xy2=0（4）y3=0（5）2x+y3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得，整理得（2）x=3，即x+3=0（3）y=4x2，即4xy2=0（4）y=3，即y3=0（5）由两点式方程得，整理得2x+y3=0（6）由截距式方程得，整理得x+3y+3=0【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式举一反三：【变式1】已知直线经过点A（5，6）和点B（4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图【答案】2xy+16=0 【解析】 所求直线的一般式方程为2xy+16=0，截距式方程为图形如右图所示 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程. 【答案】【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，B点关于的平分线的对称点也在BC上写出直线的方程，即为直线BC的方程. 例3已知直线，求满足下列条件的的值（1）；（2）【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。【答案】（1）a=3（2）【解析】 （1）当时，即，解得a=3所以，当a=3时，（2）当时，A1A2+B1B2=a1+3(a2)=0，即4a6=0，解得所以，当时，【总结升华】当所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用A1A2+B1B2=0和A1B2A2B1=0且A1C2A2C10来判定两条直线是否垂直和平行，比用斜率来判定更简便，它不需要讨论斜率不存在的情况举一反三：【高清课堂：直线的一般式 381507 例1】【变式1】已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:（1）与平行（2）与垂直. 【答案】（1）（2）【解析】当时，：8y-10=0；：x-4=0，当时，：；：由，得，由得而无解综上所述（1），与平行（2），与垂直【变式2】求经过直线4x+3y1=0和x+2y+1=0的交点并且与直线x2y1=0垂直的直线方程【思路点拨】联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于1，根据直线x2y1=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可【答案】2x+y1=0【解析】联立直线方程，+(4)得：y=1，把y=1代入，解得x=1，所以两直线的交点坐标为（1，1），又因为直线x2y1=0的斜率为，所以所求直线的斜率为2，则所求直线的方程为：y+1=2(x1)，即2x+y1=0故答案为：2x+y1=0【总结升华】此题考查学生会求两直线的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4（2016春 湖北孝感期末）设直线l的方程为(a+1)x+y+2a=0（aR）（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值【思路点拨】（1）直线l不经过第二象限，得到，解得即可；（2）当x=0时，y=a2，y=0时，根据三角形的面积公式得到，解得即可【答案】（1）a1；（2）a=0或a=8【解析】（1）直线l的方程(a+1)x+y+2a=0化为y=(a+1)x+a2直线l不经过第二象限，解得a1实数a的取值范围是a1，（2）当x=0时，y=a2，y=0时，解得a=0或a=8举一反三：【变式1】 求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；【答案】x+y+1=0或x-y-3=0【解析】由题设，设所求直线方程为，由已知条件得:解之得:，故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.类型三：直线方程的实际应用例5已知光线通过点A（1，2），经过y轴反射，其反射光线通过点B（2，1）（1）求入射光线所在的直线方程；（2）求反射光线所在的直线方程【思路点拨】（1）根据题意，求出点A关于y轴的对称点A坐标，算出直线AB的斜率并利用点斜式方程列式，得到直线AB的方程为x+y1=0，从而令x=0算出入射点C的坐标，求出直线AC方程，即得入射光线所在直线方程；（2）由（1）的求解过程，直线AB的方程x+y1=0即为所求反射光线所在直线方程【答案】（1）xy+1=0；（2）x+y1=0【解析】（1）光线的反射线是y轴，反射线所在直线经过点A关于y轴的对称点A（1，2）而直线AB的斜率，可得直线AB的方程为y2=(x+1)，化简得x+y1=0在直线AB中令x=0，得y=1，可得直线AB交y轴于点C（0，1）直线AC的斜率，可得直线AC方程为y=x+1即入射光线所在的直线方程为：y=x+1，即xy+1=0；（2）由（1）的求解过程，可得直线AB的方程x+y1=0即为反射光线所在的直