高考数学选修知识讲解_不得关系与不等式_提高

不得关系与不等式编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1.在复习不等式性质的基础上，介绍了含有绝对值的不等式及其解法，平均值不等式及简单应用、证明不等式的一些基本方法，以及不等式在实际生活中的应用.2.特别强调了不等式及证明的几何意义和背景，以加深学生对不等式的数学本质的理解、提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力.【要点梳理】要点一：不等式的性质性质1 对称性：；性质2 传递性：；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：； 推论：.性质4 乘法法则：若，则 推论1: ；推论2：；推理3：；推理4：.要点二：含有绝对值的不等式绝对值的几何意义设是一个实数，在数轴上|表示实数对应的点与原点的距离；|-|表示实数对应的点与实数对应的点之间的距离.关于绝对值的几个结论定理对任意实数和，有推论 1.；2.3. .要点诠释：（1）关于定理，可以把、看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.（2）绝对值不等式|或|c|c|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值绝对值不等式的解法含绝对值的不等式|的解集不等式0=00|的解集-的解集或1； （2）|34|1； （3）|4|2+5|1.【思路点拨】去绝对值，转化为解一元一次不等式（组）的形式.【解析】（1）由原不等式可得2 + 31,1原不等式的解集为 | 1.（2）当10,即 1时,不等式的解集为.当10, 即 1时,有： 解得,原不等式的解集为.（3）原不等式可化为：当 或解不等式组得：4综上所述，原不等式的解集为|.【总结升华】解含有绝对值的不等式的关键在于去掉绝对值符号，处理的方法通常是利用绝对值的定义与几何意义或平方等方法.对含多个绝对值符号的不等式一般利用“零点分段”法，分类讨论.如本题（3）中，分别令-4=0， 2+5=0，得两个零点. 故分、和4三种情况.举一反三：【变式1】已知，求.【答案】由|1得1或 1, A = | 1或 1, = |11.由|2|1得121,即13，B = | 1 + 1.【答案】原不等式可化为下面不等式组来解: 或不等式组的解为0; 不等式组的解集为.原不等式的解集为.【变式3】解不等式.【答案】由题意得解得10，原不等式的解集为|10,例2.已知函数f()|2|.(1)当3时，求不等式f()3的解集；(2)若f()|4|的解集包含1,2，求的取值范围【思路点拨】本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f()|4|的解集的错误，应该是利用1,2是其解集而将绝对值先去掉再转化为1,2 2,2这一问题，注意不要弄反【解析】(1)当3时，当2时，由f()3得253，解得1；当23时，f()3无解；当3时，由f()3得253，解得4；所以f()3的解集为|1|4(5分)(2)f()|4|4|2|.来源:学,科,网Z,X,X,K当1,2时，|4|2|4(2)|22.由条件得21且22，即30.故满足条件的的取值范围为3,0(10分)【总结升华】等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化举一反三：【变式1】若存在实数使|1|3成立，求实数的取值范围【解析】由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点到点与1点的距离的和小于等于3.由图可得24.【变式2】若不等式m对一切实数恒成立，求实数m的取值范围【答案】表示数轴上任意一点对应的点到2与-3对应的点的距离之和，易知，所以，.【变式3】（2016 中山市模拟）已知函数f（x）=|x-a|.（1） 若f（x）m的解集为x |-1x5，求实数a，m的值；（2） 当a=2且0t2时，解关于x的不等式f（x）+tf（x+2）【解析】（1）因为f（x）m，所以|x-a|m，即a-mxa+m，因为f（x）m的解集为x |-1x5，所以a-m=-1，a+m=5，解得a=2，m=3；（2）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，则不等式f（x）+tf（x+2）等价于|x-2|+t|x|，当x2时，x-2+tx，即t2与条件0t2矛盾，当0x2时，2-x+tx，即0x ，成立，当x0，也就是证 ，由条件可知，显然成立. 故.【总结升华】分析法是由果索因，在用分析法证明问题时,一定要恰当运用“要证”、“只要证”、“即证”、“也即证”等用语. 举一反三：【变式】已知函数.若,且，用分析法证明：.【证明】要证即证明 只需证明只需证明，由于,故，所以故只需证明，即证.即证，因为,且,所以上式成立.所以.例7. 用比较法证明：（1），（）（2）（）.【思路点拨】（1）用求差比较法，（1）用求商比较法.【证明】（1），又，得证.（2），又，.【总结升华】比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（商）变形判断符号（比较与1的大小）下结论。举一反三：【变式1】用比较法证明：.【证明】【变式2】用求商比较法证明：若，则.【证明】，即，.例8. 用放缩法证明：【思路点拨】将放大为，注意从第三项开始放缩.【解析】，【总结升华】放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处。举一反三：【变式】函数，用放缩法证明： .【证明】=1-得.例9. 在ABC中，A、B、C的对边分别为、c，若、c三边的倒数成等差数列，求证：B90.【思路点拨】用反证法证明.【解析】假设B,c.所以，所以，这与矛盾，所以B90不成立，故B90.【总结升华】结论中若有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”等字眼，或直接从正面证明较为困难的问题，一般可以考虑使用反证法.举一反三：【变式1】试证一元二次方程至多有两个不同的实根.【证明】假设一元二次方程有两个以上的实数根，且各不相 等。令为方程的三个相异实根,则：这与各不相等矛盾。故原命题成立。【变式2】若为自然数，且,则中至少有一个为偶数。【证明】假定均为奇数，令，类型四：不等式的应用例10. 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：（1）仓库面积的最大允许值是多少？（2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？【解析】设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为 依题设，则，即，故，从而所以的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是且，求得，即铁栅的长是15米。【总结升华】用平均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：【变式1】设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？【解析】设画面的宽为 cm，面积为S cm2，则当且仅当，即取等号.所以，当画面的宽为55 cm、高为88 cm时，宣传画所用纸张面积