高考数学选修知识讲解_直线与抛物线的位置关系（理）(2)VIP

直线与抛物线的位置关系编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】抛物线抛物线的定义与标准方程抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系抛物线的综合问题抛物线的弦问题抛物线的准线【要点梳理】【高清课堂：直线与抛物线的位置关系371713】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线要点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：，图像方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）焦点准线要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点三、抛物线的几何性质范围：，抛物线y2=2px（p0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px（p0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px（p0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。离心率：.抛物线y2=2px（p0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。要点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 0 直线和抛物线相交，有两个交点；0直线和抛物线相切，有一个公共点；0直线和抛物线相离，无公共点直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：焦点弦长，其中|AF|叫做焦半径，焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。要点五、抛物线的实际应用与最值问题对于抛物线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用抛物线定义，求出参数p，得到抛物线方程，利用方程求解抛物线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（1） 利用定义转化（2） 利用抛物线的几何性质（3） 转化为函数求最值【典型例题】类型一：抛物线的方程与性质【高清课堂：直线与抛物线的位置关系371713例1】例1 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(4，8)的抛物线有几条?求出它们的标准方程.【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为因为点M在抛物线上，所以即，因此，所求抛物线有两条，它们的标准方程是，【总结升华】抛物线的焦点轴有四种情况，因此在讨论抛物线方程时要注意它的不同位置，恰当的设出方程是解决问题的关键.举一反三：【变式1】若抛物线通过直线与圆x2y26x0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程【答案】由得，或，根据题意可设抛物线的方程为x22my(m0)或y22px(p0)，则在抛物线上，m，p，方程为或【变式2】(2015 德阳模拟)顶点在原点，经过圆C:的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为圆C：的圆心是抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，设标准方程为，因为点在抛物线上，所以，所以p=1,所以所求抛物线方程为：。故选B。类型二：直线与抛物线的位置关系例2过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y24x有且只有一个公共点，这样的直线l共有_条【答案】3【解析】如图，过点P与抛物线y24x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑相交于一点的情况，不要漏掉.举一反三：【变式】已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为_【答案】|AF|BF|xAxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.类型三：抛物线的弦【高清课堂：直线与抛物线的位置关系371713例2】例3：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长【解析】如图831，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x1由消去y得x26x+1=0设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6又A、B两点到准线的距离为，则【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。举一反三：【变式1】顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y2x1所得的弦长|AB|5，求抛物线的方程【答案】y220x或y212x.【变式2】若直线l：ykx2交抛物线y28x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长【解析】把ykx2代入y28x，得k2x2(4k8)x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点M(2，y0)，x1x24，即4，解得k2或k1.又16k264k6416k20，k1，k2，此时直线方程为y2x2，M(2，y0)在直线上，y02，|AB|x2x1|2.类型四：抛物线的综合问题例4过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，求证：（1）；（2）为定值。证明：由抛物线的方程可得焦点的坐标为。（1）当直线PQ斜率存在时，过焦点的直线方程可设为，由消去x得：ky22pykp2=0 （）当k=0时，方程（）只有一解，k0，由韦达定理得：y1y2=p2。当直线PQ斜率不存在时，得两交点坐标为，y1y2=p2。综上两种情况：总有y1y2=p2。 （2）由得为定值。举一反三：【变式】（2016 商丘二模）抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120。过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）A B1 C D2【答案】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP| 在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b。由余弦定理得，|AB|2=a2+b22ab cos120=a2+b2+ab配方得，|AB|2=(a+b)2ab，又得到。所以，即的最大值为。故选A。例5在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C()求轨迹C的方程；()设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围【答案】()()略 【解析】()设M(x，y)，依题意得：|MF|x|1，即，化简得，y22|x|2x点M的轨迹C的方程为；()在点M的轨迹C中，记C1：y24x(x0)，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组，可得ky24y4(2k1)0当k0时，此时y1，把y1代入轨迹C的方程，得故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点()当k0时，方程ky24y4(2k1)0的判别式为16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，取y0得若，解得k1或k即当k时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点若或，解得k1或k或即当k1或k时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点故当k1或k或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点若，解得1k或0k即当1k或0k时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点此时直线l与C恰有三个公共点综上，当k0时，直线l与C恰有一个公共点；当1，时，直线l与C恰有两个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰有三个公共点举一反三：【变式】定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标【解析】 设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,又设点A，B，M在准线:x=