超定方程组最小二乘解

超定方程组最小二乘解最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，。甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。一、 超定方程组的最小二乘解当方程组GX=b的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。设G=(giu)mn，当mn时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b GX 的2-范数达取极小值的解，即该问题是一个优化问题。命题1：如果X*是正规方程组GTGX=GTb的解，则X*是超定方程组GX=b的最小二乘解证 由题设可得，GT (b GX*)=0。对任意n维向量Y，显然有(X* Y)TGT (b GX*)=0考虑残差2-范数平方，由上式右端利用内积，得从而有| b GY |2 | b GX*|2等式仅当Y=X*时成立。所以X*是超定方程组GX=b的最小二乘解。命题2：如果X*是超定方程组GX=b的最小二乘解，则X*满足正规方程组GTGX=GTb证 由题设，利用2-范数与内积关系，知X*是下面二次函数的极小值点j(X) = (GX，GX) 2(GX，b) + (b，b)取任意n维向量v，对任意实数t，构造一元函数g(t) = j(X* + t v)显然， g(t) 是关于变量t的二次函数g(t) = (G (X* + t v)，G (X* + t v) 2(G (X* + t v)，b) + (b，b) = g(0) + 2t (GX*，Gv) (Gv，b)+ t2 (Gv，Gv)由题设t=0是g(t)的极小值点。由极值必要条件，得。即(GX*，Gv) (Gv，b)=0将左端整理化简，便得(Gv，GX* b ) =0利用内积性质，得( v，GT(GX* b ) )=0由v的任意性，得GT(GX* b ) =0二、 最小二乘解的几何意义首先考虑一个简单的超定方程组该方程组的右端向量是三维向量，系数矩阵的每一列也是三维向量，但待求的未知向量却是二维向量。将系数矩阵按列分块，G =a1，a2，记右端向量为b。则方程组求解问题可表示为求组合系数x和y使xa1 + ya2 = bGX*brmin =b GX*的向量的线性组合问题。由于两个向量a1，a2不构成三维空间的一组基，所以一般情况下这一问题无解。而由向量a1，a2张成的子空间spana1，a2是一张平面，记为p。则超定方程组的最小二乘解实际上是求X*，使GX* 恰好等于b 在平面p上的投影。而最小二乘解所对应的残差向量则垂直于向量GX*。事实上，由正规方程组GTGX=GTb得GT (b GX * ) = 0上式的几何意义可解释为：最小二乘解的残差