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.,第四节多元复合函数的求导法则,复习：一元复合函数的求导法则,由,复合而成的复合函数的导数,即：函数的导数等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。,.,一、多元复合函数的求导法则链式法则,情形中间变量均为一元函数,设,则函数,的导数,这种导数称为全导数,.,则,推广:,的导数,.,例1.设,求全导数,解:,.,情形中间变量是多元函数的情形.,机动目录上页下页返回结束,设,则复合函数,的偏导数,.,设,则,的偏导数,机动目录上页下页返回结束,推广:,.,例2.设,解:,机动目录上页下页返回结束,.,常采用下面记号：,在多元复合函数求导中，为方便起见，,.,解,注意：,例3设,，其中,具有二阶连续偏导数，求：,.,.,.,解,例4设,，其中,具有二阶连续,偏导数，求：,.,例4设,求：,.,情形中间变量既有一元函数，又有多元函数。,则函数,设,z,.,解：,例5.设,求,.,例5,求,设,另解：,题设函数可看作由,复合而成，利用情形中的公式可得同样结果,或者先式,两边取对数，后求得,偏导数,.,多元复合函数求导，遵循一个如下法则：,设复合函数有n个中间变量,这里变化率即为偏导数（或导数）,（因变量对的变化率）,（对自变量变化率）,m个自变量,.,。,例如设,，而,，则,再如,注意:,这里,表示固定y对x求导,表示固定v对x求导,与,不同,.,例6.设,机动目录上页下页返回结束,求,解：,.,机动目录上页下页返回结束,例7.设,求,解：,.,二、多元复合函数的全微分法则,可见无论u,v是自变量还是中间变量,其全微分表达,形式都一样,这一性质叫做全微分形式不变性。,1.全微分形式不变性,.,设u,v是某些自变量的多元函数，则有,（C为常数）；,证明(3),由全微分形式不变性，有,2.全微分运算法则,.,例8.设，求一阶偏导数.,解：,即,.,设,例9.,解：,即,求全微分。,.,习题P7576,3,5,6(提示),8(1)(4),9,11.,.,思考与练习,1.,机动目录上页下页返回结束,求,解：,.,2.设,f具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,机动目录上页下页返回结束,.,3.已知,求,解:由,两边对x求导,得,机动目录上页下页返回结束,.,4.,求,解:由题设,(2001考研),机动目录上页下
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