2020年黄石二中高三下学期理科数学期初统测试题含答案VIP

第 1 页 黄黄石二中石二中 2020 届高三年级届高三年级理科数学试卷理科数学试卷 考试时间：2020 年 3 月 4 日 18:3020:30试卷满分：150 分 一一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要 求的求的 1已知集合 2 |931Axx，|2By y，则 R C AB I（） A 2 ,2 3 BC 22 ,2 33 D 2 2 , 3 3 2已知复数 12 31 2zbizi ，若 1 2 z z 是实数，则实数b的值为（） A0B 3 2 C6D6 3AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良” ， 如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据，则下列叙述正确的是（） A这12天的AQI的中位数是90B12天中超过7天空气质量为“优良” C从3月4日到9日，空气质量越来越好D这12天的AQI的平均值为100 4已知函数 f x的图象如图所示，则函数 f x的解析式可能是（） A = 44 xx f xx B 2 44log xx f xx C 2 ( )44log | xx f xx D 1 2 ( )44log xx f xx 5设 40.4 8,8alogblog， 0.4 2c ，则（） AbcaBcb aCcabDbac 6已知,A B是圆 22 :16O xy的两个动点， 52 4, 33 ABOCOAOB ，若M分别是线段AB的中 点，则 OCOM （） 第 2 页 A8 4 3 B8 4 3 C12D4 7 “仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼” ，孟子延伸为“仁、义、礼、智” ，董仲舒 扩充为“仁、义、礼、智、信” 将“仁义礼智信”排成一排， “仁”排在第一位，且“智信”相邻的概率 为（） A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 8 如图所示，在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP+D1P 取得最小值，则此最小值为（） A2B 26 2 C2 2 D 22 9 已知双曲线 2 2 :1 8 x Cy的右焦点为F， 渐近线为 12 ,l l， 过点F的直线l与 12 ,l l的交点分别为,A B 若 2 ABl，则AB （） A 16 7 B 18 7 C 11 5 D 13 5 10已知数列 n a的通项公式为 1 * 2 21 1 n nn n anN n ，则数列 n a的前 2020 项和为（） A 2022 2021 B 2021 2020 C 2020 2021 D 2019 2020 11已知函数 3 sin 23 cos2 6 xf xx ，现有如下命题： 函数 f x的最小正周期为 2 ；函数 f x的最大值为3 3； 5 12 x 是函数 f x图象的一条对称轴 其中正确命题的个数为（） A0B1C2D3 12已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC，点 B 在 AC 上的射影为 D，则三棱锥PABD体积的最大值为（） A 3 3 4 B 3 4 C 3 8 D 3 3 8 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13已知实数x，y满足 330 30 0 xy xy x ，则目标函数52zxy的最大值是_ 14设 n S为数列 n a的前n项和，已知 1 2a ，对任意 * , p qN，都有 p qpq aaa ，则 第 3 页 11 4260 nn n SS a （1n 且 * nN ）的最小值为_ 15点A，B为椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 长轴的端点，C、D为椭圆E短轴的端点，动点M满足 2 MA MB ，若MAB面积的最大值为 8，MCD面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为_ 16己知函数 f（x）对 xR 均有 f（x）+2f（x）mx6，若 f（x）lnx 恒成立，则实数 m 的取值范围 是_ 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 17 至至 21 题为题为 必考题必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答，第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 17 (本小题满分 12 分) 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 3 cossin 3 baCcA ，点M是BC的 中点 （1）求A的值； （2）若 3a ，求中线AM的最大值 18 (本小题满分 12 分) 如图，ABCD是边长为 2 的正方形， 平面EAD 平面ABCD， 且EAED， O是线段AD的中点，过E作直线/ /lAB，F是直线l上一动点 （1）求证：OFBC； （2）若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直，求此时二面 角BOFC的余弦值 19 (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 从某企业生产的这种产品中抽取 200 件，检测后得到如下的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%” 的规定？ (2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，求抽取的 4 件产 第 4 页 品中，一、二、三等品都有的概率； (3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满 足(218,140)XN，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？ 20 (本小题满分 12 分) 已知抛物线C的顶点为(0,0)O，焦点(0,1)F （1）求抛物线C的方程； （2）过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交 直线:2l yx于M、N两点，求|MN的最小值 21 (本小题满分 12 分) 已知函数， （1）若存在极小值，求实数的取值范围； （2）设是的极小值点，且，证明： （二（二）选考题选考题：共共 10 分分，请考生在第请考生在第 19-1，19-2 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号做答时请写清题号 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1 C的参数方程为 2cos 3sin x y (为参数)，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin()1 4 （1）求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）射线OM：() 2 与曲线 1 C交于点M，射线ON： 4 与曲线 2 C交于点N， 求22 11 OMON 的取值范围 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 223fxxax， 12g xx （1）解不等式 5g x （2）若对任意 1 xR，都有 2 xR，使得 12 f xg x成立，求实数a的取值范围 第 1 页 理科数学试题答案 考试时间：2020 年 3 月 4 日 18：30-20：30试卷满分：150 分 一一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 2 |931Axx，|2By y，则 R C AB I（） A 2 ,2 3 BC 22 ,2 33 D 2 2 , 3 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先化简集合A，求出 R C A，即可求出结果. 由题意得， 22 33 Axx ，则 22 33 R C Ax xx 或， 22 ,2 33 R C AB .故选:C. 2已知复数 12 31 2zbizi ，若 1 2 z z 是实数，则实数b的值为 ( ) A0B 3 2 C6D6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 1 2 3123263 1 255 biibb izbi R zi ,所以606bb.故 C 正确. 3AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”， 如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据，则下列叙述正确的是（） A这12天的AQI的中位数是90B12天中超过7天空气质量为“优良” C从3月4日到9日，空气质量越来越好D这12天的AQI的平均值为100 第 2 页 【答案】【答案】C 【解析】【解析】这12天的AQI指数值的中位数是 95 104 99.5 2 ，故 A 不正确； 这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故 B 不正确； 从4日到9日，空气质量越来越好，故 C 正确； 这12天的AQI指数值的平均值约为110，故 D 不正确 4已知函数 f x的图象如图所示，则函数 f x的解析式可能是（） A = 44 xx f xx B 2 44log xx f xx C 2 ( )44log | xx f xx D 1 2 ( )44log xx f xx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据图像得到函数 f x为偶函数，而且1x 时， 0f x ，通过排除法排除掉 A、B 选项， 然后通过判断0,1x时， f x的值，排除 D 选项，从而得到答案. 【详解】函数 f x的图象如图所示，函数是偶函数，1x 时，函数值为 0 44 xx f xx 是偶函数，但是 10f， 2 44log xx f xx 是奇函数，不满足题意 2 44log xx f xx 是偶函数， 10f满足题意； 1 2 44log xx f xx 是偶函数， 10f，0,1x时， 0f x ，不满足题意 故选 C 项 5设 40.4 8,8alogblog, 0.4 2c ,则() AbcaBcbaCcabDbac 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 因为 42 33 log 8log 2 22 a ， 0.40.4 log8log10b ， 0.40.5 3 222 2 c ， 所以bca，故选：A. 6已知,A B是圆 22 :16O xy的两个动点， 52 4, 33 ABOCOAOB ，若M分别是线段AB的中 点，则 OCOM （） 第 3 页 A8 4 3 B8 4 3 C12D4 【答案】【答案】C 【解析【解析】 【详解】 由题意 11 22 OMOAOB ，则 225211511 3322632 OC OMOAOBOAOBOAOBOA OB ， 又圆的半径为4，4AB = uu u r ， 则,OA OB 两向量的夹角为 3 则 8OA OB ， 22 16OAOB ， 所以 12OC OM 故本题答案选C 点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运 算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中. 7 “仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、 义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为（） A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 “仁义礼智信”排成一排,任意排有 5 5 A种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有 23 23 A A种排法,故概 率 23 23 5 5 1 10 A A P A 故选：A 【点睛】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题 8 如图所示，在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP+D1P 取得最小值，则此最小值为（） A2B 26 2 C2 2 D 22 【答案】【答案】D 【解析【解析】 试题分析： 将 1 ABA翻折到与四边形 11 ABCD同一平面内， 1 APD P的最小值为 1 D A， 在 11 D AA 中 11111 3 1,1, 4 ADAAAAD，由余弦定理可得 1 22AD 【考点】1.翻折问题；2.空间距离 第 4 页 9已知双曲线 2 2 :1 8 x Cy的右焦点为F,渐近线为 12 ,l l,过点F的直线l与 12 ,l l的交点分别为,A B.若 2 ABl,则AB （） A 16 7 B 18 7 C 11 5 D 13 5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】将直线方程联立求得 246 2 , 77 A ， 8 2 2 , 33 B 利用两点间距离公式计算 【详解】 由题 12 3,0 , ,Fl l的方程为 22 , 44 yx yx ,过F与 2 l垂直的直线AB的方程为2 23yx , 由 2 ,2 23 4 yx yx 联立得 246 2 , 77 A ,由 2 ,2 23 4 yx yx 联立得 2 2 8 2 22486 22 216 , 3373737 BAB 故选：A 10已知数列 n a的通项公式为 1 * 2 21 1 n nn n anN n ，则数列 n a的前 2020 项和为（） A 2022 2021 B 2021 2020 C 2020 2021 D 2019 2020 【答案】【答案】C 【解析】【解析】化简通项公式，即可求解. 【详解】 11 2 2111 11 1 nn n n a nnnn ，当n为偶数时， 12 111111111 1 22334451 n aaa nn 1 1 11 n nn ，数列 n a的前 2020 项和为 2020 2021 . 故选:C. 【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题. 11已知函数 3 sin 23 cos2 6 xf xx ，现有如下命题： 第 5 页 函数 f x的最小正周期为 2 ；函数 f x的最大值为3 3； 5 12 x 是函数 f x图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数为（） A0B1C2D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】作出函数的图像，结合三角函数的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】 由题意得，函数 f x的最小正周期为 2 ，故正确； 当0,12x 时， 3sin 23cos23 3cos 2 66 fxxxx ； 当, 12 4 x ， 3sin 23cos23sin 2 66 xxfxx ； 当, 4 2 x 时， 3sin 23cos23 3cos 2 66 fxxxx . 作出函数 f x的图象如图所示，可知正确. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数的性质，图像是解题的重要辅助手段，属于中档题. 12已知 P,A,B,C 是半径为 2 的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC，点 B 在 AC 上的射影为 D， 则三棱锥PABD体积的最大值为（） A 3 3 4 B 3 4 C 3 8 D 3 3 8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先画出图形（见解析） ，求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥PABD体积最大时 ABD 面积 最大，进而求出 ABD 的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出三棱锥PABD体积最 第 6 页 大值。 【详解】 如下图，由题意，2PAPBPC，90ABC， 取AC的中点为G，则G为三角形ABC的外心，且为P在平面ABC上的射影，所以球心在PG的延长 线上，设PGh，则2OGh， 所以 2222 OBOGPBPG ，即 22 424hh ，所以1h .故 GCG3A ， 过B作BDAC于D，设ADx(0 2 3x )，则 2 3CDx , 设(03)BDmm，则ABDBCD，故 2 3mx xm ， 所以 2 2 3mx x，则 2 3mx x， 所以 ABD 的面积 3 11 2 3 22 Sxmx x， 令 3 2 3f xx x，则 2 6 34fxxx（）， 因为 2 0 x ，所以当 3 03 2 x时， 0fx ，即 f x此时单调递增；当 3 32 3 2 x时， 0fx ，此时 f x单调递减。 所以当 3 3 2 x 时， f x取到最大值为 243 16 ，即 ABD 的面积最大值为 12439 3 2168 。 当 ABD 的面积最大时，三棱锥PABD体积取得最大值为 193 3 3 388 . 故选 D. 【点睛】 本题主要考查三棱锥的体积公式、三角形的面积公式、导数等知识，是一道综合性很强的题目。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 第 7 页 13已知实数x，y满足 330 30 0 xy xy x ，则目标函数52zxy的最大值是_. 【答案】【答案】15 【解析】【解析】作出可行域，数形结合即可求解目标函数的最值. 【详解】 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示， 其中0,1A，3,0B，0,3C. 作直线l： 5 2 yx ，平移直线l， 当其经过点B时，z取得最大值，即 max 15z. 故答案为:15 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题. 14设 n S为数列 n a的前n项和，已知 1 2a ，对任意 * , p qN，都有 p qpq aaa ，则 11 4260 nn n SS a （1n 且 * nN ）的最小值为_. 【答案】【答案】32 【解析】【解析】取1q ，得出 n a是等比数列，求出, nn aS，转化为关于n的函数，利用求最值方法即可求解. 【详解】当1q 时， 11 2 ppp aaaa ， 数列 n a是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 2n n a ， 1 2 21 22 2 1 n n n S ， 1 22 n n S ， 11 42222 nn nn SS 2 24 n ， 2 11 42602256 2 n nn n n SS a 256 22 25632 2 n n ， 当且仅当2 16 n ，即4n 时，等号成立. 故答案为:32 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，考查基本不等式的应用，属于中档题. 第 8 页 15点A、B为椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 长轴的端点，C、D为椭圆E短轴的端点，动点M满足 2 MA MB ，若MAB面积的最大值为 8，MCD面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为_. 【答案】【答案】 3 2 【解析【解析】求得定点 M 的轨迹方程 2 2 2 516 39 aa xy ，可得 14 28 23 aa， 11 21 23 ba，解得 a，b 即可. 【详解】设,0Aa，,0B a，,M x y. 动点M满足 2 MA MB ，则 22 22 2xayxay ，化简得 2 2 2 516 39 aa xy . MAB面积的最大值为 8，MCD面积的最小值为 1， 14 28 23 aa， 11 21 23 ba，解得 6a ， 6 2 b ， 椭圆的离心率为 2 2 3 1 2 b a 16己知函数 f（x）对 xR 均有 f（x）+2f（x）mx6，若 f（x）lnx 恒成立，则实数 m 的取值范围 是_. 【答案】【答案】(, e 【解析【解析】根据条件利用解方程组法求出 f（x）的解析式，然后由 f（x）lnx 恒成立，可得 m 2lnx x 恒 成立，构造函数 2lnx g x x ，求出 g（x）的最小值，可进一步求出 m 的范围 【详解】 函数 f（x）对 xR 均有 f（x）+2f（x）mx6，将x 换为 x，得 f（x）+2f（x）mx6， 由，解得 f（x）mx2 f（x）lnx 恒成立，m 2lnx x 恒成立，只需 m 2 ()min lnx x 令 2lnx g x x ，则 g（x） 2 1lnx x ，令 g（x）0，则 x 1 e ， g（x）在（0， 1 e ）上单调递减，在（ 1 e ，+）上单调递增， 第 9 页 1 ( )ming xge e ，me，m 的取值范围为（，e 故答案为： （，e 【点睛】 本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题， 考查了函数思想和方程思想， 属中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 至 21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 (一)必考题：本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分 17 (本小题满分 12 分) 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 3 cossin 3 baCcA ，点M是BC的 中点. （）求A的值； （）若 3a ，求中线AM的最大值. 【答案【答案】 （） 3 A ； （） 3 2 . 【解析【解析】 （1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解； （2）根据余弦定理求出, b c边的不等量关系，再用余弦定理把AM用, b c表示，即可求解；或用向量关系 把AM 用,AB AC 表示，转化为求|AM 的最值. 【详解】 （）由已知及正弦定理得 3 sinsincossinsin 3 BACCA . 又sinsinsincoscossinBACACAC， 且sin0C ，tan3,0AA，即 3 A . （）方法一：在ABC中，由余弦定理得 22 3bcbc ， 22 2 bc bc ，当且仅当bc时取等号， 22 6bc . 第 10 页 AM是BC边上的中线，在ABM和ACM中， 由余弦定理得， 22 33 2cos 42 cAMAMAMB ， 22 33 2cos 42 bAMAMAMC . 由，得 22 2 39 244 bc AM ， 当且仅当 3bc 时，AM取最大值 3 2 . 方法二：在ABC中，由余弦定理得 22 3bcbc ， 22 2 bc bc ，当且仅当bc时取等号， 22 6bc . AM是BC边上的中线， 2 ABAC AM ，两边平方得 222 1 4 AMbcbc， 22 2 39 244 bc AM ， 当且仅当 3bc 时，AM取最大值 3 2 . 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道中 档题. 18 (本小题满分 12 分) 如图，ABCD是边长为 2 的正方形，平面EAD 平面ABCD，且 EAED，O是线段AD的中点，过E作直线/ /lAB，F是直线l上 一动点. （1）求证：OFBC； （2）若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直，求此时 二面角BOFC的余弦值. 【答案】【答案】(1)见解析;(2) 1 3 【解析【解析】 （1）先证 EO面 ABCD，进而可得 BC面 EOF，从而可证 OFBC； （2）由（1）可得EO 平面ABCD，得到OE、OA、OM两两垂直，可建立空间直角坐标系Oxyz， 第 11 页 由条件得到OFBF，转化为向量 0OF BF ，从而 2 20t ts，转化为关于t的方程有唯一实 数解，得到1s ，1t ，又判断BFC 为二面角 BOFC 的平面角，利用向量夹角公式可求二面角 B OFC 的余弦值 【详解】 （1）因为EAED，O是AD中点，故EODA， 又因为平面EAD 平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD， 故EO 平面ABCD，所以EOBC； 因为/ /EFAB，BCAB，所以EFBC， 故BC平面EOF， 所以BCOF. （2）设BC的中点为M，则有OMDA，由（1） ，EO 平面ABCD， 所以OE、OA、OM两两垂直.可如图建立空间直角坐标系Oxyz. 依题意设点E的坐标为0,0,s，点F的坐标为0, ,0,t sstR，又1,2,0B，1,2,0C ， 所以0, ,OFt s ，1,2,BFts ， 由（1）知OFBC，故OF与平面BCF垂直，等价于OFBF， 故 0OF BF ，从而 2 20t ts，即 22 20tts ， 直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直，即关于t的方程有唯一实数解. 所以 2 440s ，解得1s ，此时1t . 故点E的坐标为0,0,1，点F的坐标为0,1,1. 因为OF 平面FBC，所以OFBF且OFCF， 所以BFC即二面角BOFC的平面角. 因为1,1, 1FB ，1,1, 1FC ， 所以 1 cos 3 FB FC BFC FBFC ， 即若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直时， 所以二面角BOFC的余弦值为 1 3 . 【点睛】 本题考查线面垂直， 考查面面角的向量求解方法， 解题的关键是将直线l上存在唯一一点F使得直线OF与 第 12 页 平面BCF垂直转化为关于t的方程有唯一实数解，将空间几何问题转化为代数问题，凸显空间坐标系的优 点，属于中档题. 19 (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 从某企业生产的这种产品中抽取 200 件，检测后得到如下的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的 规定？ (2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，求抽取的 4 件产 品中，一、二、三等品都有的概率； (3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足 (218,140)XN，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？ 【答案【答案】 （1）见解析； （2） 3 7 .（2）质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6. 【解析】【解析】试题分析： （1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为 0.2000.3000.2600.0900.0250.8750.92，可做出判断不能认为该企业生产的这种产品符合 “一、二等品至少要占全部产品 92%”的规定. （2）由频率分布直方图的频率分布可知 8 件产品中，一等品 3 件，二等品 4 件，三等品 1 件，分类讨论 各种情况可得P. （3）算出“质量提升月”活动前，后产品质量指标值为200.4218和，可得质量指标值的均值比活动前大约 提升了 17.6 试题解析： （1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为 0.2000.3000.2600.0900.0250.875，由于该估计值小于 0.92，故不能认为该企业生产的这种 产品符合“一、二等品至少要占全部产品 92%”的规定. 第 13 页 （2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为 0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方 法抽取的 8 件产品中，一等品 3 件，二等品 4 件，三等品 1 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，一、二、 三等品都有的情况有 2 种：一等品 2 件，二等品 1 件，三等品 1 件；一等品 1 件，二等品 2 件，三等 品 1 件，故所求的概率 211121 341341 4 8 3 7 C C CC C C P C . （3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为 170 0.025 180 0.1 190 0.2200 0.3210 0.26220 0.09230 0.025200.4 “质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足218,140XN，则218E X . 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 17.6 20 (本小题满分 12 分) 已知抛物线C的顶点为(0,0)O，焦点(0,1)F （）求抛物线C的方程； （） 过F作直线交抛物线于A、B两点 若直线OA、OB分别交直线:2l yx于M、N两点， 求|MN 的最小值 【分析】( ) I由抛物线的几何性质及题设条件焦点(0,1)F可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出 它的标准方程； ()II由题意，可 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，直线AB的方程为1ykx，将直线方程与( ) I中所求得方程联 立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值 【解答】解：( ) I由题意可设抛物线C的方程为 2 2(0)xpy p则1 2 p ，解得2p ，故抛物线C的方程 为 2 4xy ()II设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，直线AB的方程为1ykx， 由 2 1 4 ykx xy 消去y，整理得 2 440 xkx， 所以 12 4xxk， 12 4x x ，从而有 22 121212 |()441xxxxx xk， 由 1 1 2 y yx x yx 解得点M的横坐标为 第 14 页 11 2 1111 1 228 4 4 M xx x xxyx x ， 同理可得点N的横坐标为 2 8 4 N x x ， 所以 2 12 121212 888 21 |2 |2 | 8 2 | 444()16|43| MN xxk MNxx xxx xxxk ， 令43kt，0t ，则 3 4 t k ， 当0t 时， 2 256 | 2 212 2MN tt ， 当0t 时， 2 2 25653168 2 | 2 212 2 () 5255 MN ttt 综上所述，当 25 3 t ，即 4 3 k 时，|MN的最小值是 8 2 5 【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法 和运算求解能力， 本题考查了数形结合的思想及转化的思想， 将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度， 如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用 21 (本小题满分 12 分) 已知函数， （1）若存在极小值，求实数的取值范围； （2）设是的极小值点，且，证明： 【答案】 （1）； （2）证明见解析 【解析】 （1）， 令，则， 所以在上是增函数， 又因为当时，；当时， 所以，当时，函数在区间上是增函数，不存在极值点； 当时，的值域为，必存在使， 所以当时，单调递减；当时， 单调递增，所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是 第