高考数学复习全套课件 第二章第三节函数的单调性与最值

1.了解函数单调性的概念.2.掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能运用函数的单调性解决一些问题.3.理解函数最值的定义，会求某些函数的最值.,1.函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，若，则f(x)在这个区间上是增函数.若，则f(x)在这个区间上是减函数.,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，该区间叫做f(x)的单调区间.,思考探究1如图所示函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(，0(0，)吗？,提示：不是，其单调增区间为(，0和(0，),2.函数的最值,思考探究2函数的最值与值域有何关系？是否任何一个函数都存在最值？,提示：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素，任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在.,1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.yx1B.yC.yx24x5D.y,解析：函数y的单调增区间为0，)函数y在(0,2)上为增函数.,答案：B,2.函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()A.kB.kC.kD.k,2.函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()A.kB.kC.kD.k,答案：D,解析：函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，2k10k.,3.若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增,解析：函数yax与y在(0，)上都是减函数，a0，b0，函数yax2bx的图象的对称轴为x0，函数yax2bx在(0，)是减函数.,答案：B,4.如果函数f(x)在a，b上是增函数，对于任意的x1、x2a，b(x1x2)，下列结论中正确的有.0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；f(a)f(x1)f(x2)f(b)；0.,解析：f(x)在a，b上为增函数.x1x2与f(x1)f(x2)的符号相同.均正确.又不知道x1，x2的大小，无法比较f(x1)与f(x2)的大小，故错误.,答案：,5.已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是.,解析：当a0时，f(x)12x5，在(，3)上为减函数；当a0时，要使f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则对称轴x必在x3的右边，即3，故0a；当a0时，不可能在区间(，3)上恒为减函数.综合知：a的取值范围是0，.,答案：0，,1.用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.,(3)定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论.(4)判断：根据定义得出结论.,2.(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数).(2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同则增，异则减”.,讨论函数f(x)(a0)的单调性.,思路点拨,课堂笔记f(x)函数的定义域为x|xR且x1.法一：(定义法)任取x1，x2R，且x1，x2均不为1，x1x2，则f(x1)f(x2),设x1x21，x110，x210，x2x10，a0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).设1x1x2，x210，x110，x2x10，a0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在(，1)和(1，)上均为减函数.法二：(导数法)f(x)又a0，f(x)0在(，1)(1，)上恒成立，即函数f(x)在(，1)和(1，)上均为减函数.,法三：(图象法)由f(x)a可知其图象对称中心是(1，a)，x1，ya是它的两条渐近线，故其图象如图所示，f(x)在(，1)和(1，)上均为减函数.,讨论函数f(x)(a0，1x1)的单调性.,解：设1x1x21，则f(x1)f(x2)1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，,X10，x10，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210.0.因此，当a0时，f(x1)f(x2)0.即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在(1,1)上为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在(1,1)上为增函数.,1.求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间.,2.求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减”.,求下列函数的单调区间(1)f(x)x24|x|3；(2)f(x),思路点拨,课堂笔记(1)f(x)x24|x|3于是可得函数f(x)x24|x|3的图象，如图所示.由图可知，函数的增区间为2,0)，(2，)，减区间为(，2)，0,2).,(2)y该函数的定义域为(，11，).又y可看作是由y与ux21两个函数复合而成的，且y在u0，)上为增函数，而ux21在(，1上为减函数且u0，在1，)上为增函数且u0.当x(，1时，y为减函数，当x1，)时，y为增函数.,求函数最值的常用方法(1)配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；(2)判别式法：主要适用于可化为系数含有y的二次方程的函数.由0且二次项系数不为0求出最值，求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值；(3)不等式法：利用均值不等式求最值，要注意等号成立的条件；,(4)换元法：主要有三角代换、复数代换、整体代换等.用换元法时，一定要注意新变量的取值范围.(5)单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据单调性确定函数的最值；(6)导数法：先利用导数求出函数在所给区间上的极值，然后求出区间端点处的函数值，最后通过比较端点处的函数值以及极值的大小求最值.,特别警示求函数最值的方法与求函数值域的方法基本相同.当一个函数存在最值时，若求得它的值域是一个闭合区间，则可以取得的区间端点值就是函数的最值；当求得的值域不是一个区间时，可以通过比较大小，找出其中的最大值或最小值作为函数的最值.,已知函数y求：(1)当x(0，)时，函数的最大值；(2)当x2，)时，函数的最大值.,思路点拨化简解析式，确定函数的定义域，利用基本不等式或函数的单调性求解.,课堂笔记把y变形为y(1)当x(0，)时，由于x2(当且仅当x1时，取“”)，y40(当且仅当x1时，取“”)，即y的最大值是40.,(2)当x2，)时，x是x的增函数，当x2时，x取得最小值,因此，当x2时，y取得最大值32.,高考对函数单调性的考查方式灵活，既有函数单调性的判定、单调区间的求法，又有利用函数单调性解不等式、比较大小、求最值等.09年湖南高考以新定义的形式考查了函数的单调性，使函数单调性的考查方式显得新颖、灵活，是一个新的考查方向.,考题印证(2009湖南高考)设函数yf(x)在(，)内有定义.对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)2|x|，当K时，函数fK(x)的单调递增区间为()A.(，0)B.(0，)C.(，1)D.(1，),【解析】由f(x)2|x|得x1或x1，f(x)则单调增区间为(，1).,【答案】C,自主体验已知偶函数f(x)在区间0，)单调增加，则满足f(2x1)f()的x取值范围是(),A.B.C.D.,解析：f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上递增，f(2x1)f()|2x1|0)是减函数，f(x)是减函数，f(x)x是减函数，而D中，f(x)(x3)2(x3)，f(x)是增函数.,2.已知f(x)为R上的减函数，则满足f()f(1)的实数x的取值范围是()A.(，1)B.(1，)C.(，0)(0,1)D.(，0)(1，),解析：依题意得1，即0，所以x的取值范围是x1或x0，选D.,答案：D,3.已知f(x)是(，)上的增函数，那么a的取值范围是()A.(1，)B.(，3)C.，3)D.(1,3),答案：D,解析：(1)由于x1时，f(x)logax单调递增，故a1；(2)x1时，f(x)(3a)x4a单调递增，故3a0，a3；要同时满足(1)(2)两个条件，则1a3，此时(3a)x4a0(x1)，又logax0(x1)，满足题意.,4.y的递减区间是，y的递减区间是.,解析：yy的递减区间是(1，)和(，1).要使函数y有意义，则0，且1x0，1x1y的递减区间为(1,1.,答案：(1，)和(，1)(1,1,5.(2010泉州模拟)若在区间，2上，函数f(x)x2pxq与g(x)x在同一点取得相同的最小值，则f(x)在该区间上的最大值是.,解析：对于g(x)x在x1时，g(x)取最小值为2，则f(x)在x1时取最小值2，1，f(1)1pq2.p