河南省南阳市2020学年高二数学上学期期中质量评估试题 理（含解析）

河南省南阳市2020学年高二上期期中质量评估数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C.2. 设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于，取，不能推出，又取，推不出，而，又是非零实数，则，则.选C.3. 在中，角的对边分别为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据正弦定理，故为锐角，选A.4. 等比数列的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】时，时，要求，选B.5. 甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购粮用去元钱，乙每次购买的，谁的购粮方式更合算（ ）A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 不能确定【答案】A【解析】设第一次采购时粮食价格为每千克元，第二次采购时粮食价格为每千克元，则甲的平均价格为，乙的平均价格为 ，所以乙的狗粮方式更合算.选A.6. 已知等比数列中，则其前三项的和的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设等比数列公比为，当时， ，当时， ， ，前三项的和的取值范围是.选D.7. 一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向航行分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A. 海里/小时 B. 海里/小时C. 海里/小时 D. 海里/小时【答案】B【解析】设货轮的速度为每小时海里，货轮从M处航行30分钟到达N处，则海里，海里，则，根据正弦定理得： ，海里/小时,选B.8. 已知均为正数，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，选B.9. 已知方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】设，利用一元二次方程的根的分布得： ，解得：，.选B.10. 小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设每年应还万元，则，选.选B.11. 在中，角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 ，即时有两解.选D.12. 设为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】为等差数列,有最小值，则，又，说明， ， ，则 ， ，则为最小正值.选C.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知满足，则的最大值是_【答案】【解析】画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距型，直线的截距越大越大，根据图形求出最优解为，代入目标函数，则的最大值是5.14. 设数列的通项公式为，则_【答案】【解析】 15. 设是等差数列的前项和，且，则_【答案】【解析】试题分析：因为，所以又成等差数列,所以即考点：等差数列性质16. 在中，已知，是边上一点，如图，则_【答案】【解析】 ，根据余弦定理，根据正弦定理，则.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知，不等式的解集是.（1）求的解析式；（2）若对于任意，不等式恒成立，又已知，求的取值范围.【答案】（1） ；（2）.【解析】试题分析：已知一元二次不等式的解集求参数的方法是利用根与系数关系，一元二次不等式恒成立问题，首先研究二次项系数为0的情况，然后利用图象观察，不等式小于或等于零恒成立，只需二次项系数大于0，判别式小于或等于0，与t0求交集，就是参数t的取值范围.试题解析：（1）由已知的解集是，所以是方程的两个根，由韦达定理知， . （2）对任意不等式恒成立等价于对恒成立即对恒成立因为，所以只需所以所以的取值范围是.【点睛】本题为解含参的一元二次不等式，若二次项的系数含有参数，先对二次项系数分类讨论，先讨论二次项系数为0的情况，再考虑二次项的系数不为0时，分二次项系数大于0，和小于0两种情况，比较两根的大小，根据不等式的要求写出不等式的解集；当二次项的系数不含参数时，讨论判别式的情况，若有根则求根，若两根大小不定时，还要讨论两根的大小，根据不同情况，画出抛物线属性结合，写出解集. ：已知一元二次不等式的解集求参数的方法是利用根与系数关系，一元二次不等式恒成立问题，首先研究二次项系数为0的情况，然后利用图象观察，不等式小于或等于零恒成立，只需二次项系数大于0，判别式小于或等于0.18. 在中，角所对的边分别是，已知.（1）求；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，本题利用正弦定理“边转角”后，得出角C，第二步利用余弦定理求出边a，c，再利用面积公式求出三角形的面积.试题解析：（1）由正弦定理，得，因为，解得， （2）因为由余弦定理，得，解得的面积【点睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，已知两边及其夹角求第三边或已知三边求任意角使用于心定理，已知两角及任意边或已知两边及一边所对的角借三角形用正弦定理，另外含经常利用三角形面积公式以及与三角形的内切圆半径与三角形外接圆半径发生联系，要灵活使用公式.19. 某工厂拟造一座平面为长方形，面积为的三级污水处理池.由于地形限制，长、宽都不能超过，处理池的高度一定.如果池的四周墙壁的造价为元，中间两道隔墙的造价为元，池底的造价为元，则水池的长、宽分別为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？【答案】, .【解析】试题分析：应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.首先根据提议设出未知数，根据各项造价表示出总造价建立函数模型，根据实际需要写出函数的定义域，由于，借助a，b关系进行减元，化为只含有a的函数关系，再利用均值不等式求最值.试题解析：设污水处理水池的长、宽分别为，总造价为y元，则， ，易知函数是减函数，所以当时总造价最低, 最低造价为45000元.【点睛】应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.首先根据提议设出未知数，根据各项造价表示出总造价建立函数模型，根据实际需要写出函数的定义域，当把实际问题转化为数学问题后，再利用数学知识解决函数问题，最后给出实际问题相应的答案.20. 设是数列的前项和，.（1）求证：数列是等差数列，并求的通项；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】试题分析：当数列提供与、之间的递推关系时，要数列是等差数列，只需利用，转化为、之间的关系，证明某数列是等差数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.试题解析：（1）， 即，数列是等差数列 由上知数列是以2为公差的等差数列，首项为， ， （或由得）,由题知，,综上， . （2）由（1）知 ， ， 【点睛】证明某数列是等差数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.21. 在中，角所对的边分别为，.已知.（1）求角的大小；（2）设，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，本题利用余弦定理“边转角”后，根据三角函数关系进行恒等变形，求出角B，根据三角形内角和定理得出角A与角C的关系，代入后进行减元，化为关于角A的三角函数式，借助辅助角公式化为的形式，根据角A的范围，求出T的范围.试题解析：（1）在ABC中， 因为，所以，所以， 因为，所以，因为，所以 （2） 因为，所以，故，因此，所以 . 【点睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，利用余弦定理“边转角”后，根据三角函数关系进行恒等变形，求出角B；有关范围问题的解决方法有两种，一种是利用边的关系借助基本不等式去解决，另一种方法是利用降幂公式和辅助角公式、减元等把函数化为性质问题，利用 x的范围，求出y 的范围.22. 已知数列的前项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1） ；（2）.试题解析：（1）由题意知，当时，,当时，符合上