浙江省浙东北三校2020学年高二数学下学期期中考试 理 新人教A版

2020学年第二学期浙东北（ZDB）三校期中考试高二数学试卷（理科）总分100分 考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均得零分）1若复数为纯虚数，则实数等于（ ）A或 B C或 D2已知物体时运动的位移的方程为：，则物体在时的瞬时速度为（ ）A B C D 3设实数满足，则中（ ）A至多有一个不大于1 B至少有一个不小于1 C至多有两个不小于1 D至少有两个不小于14若函数，则函数图象在点处的切线方程为（ ）A B CD5将标号为1，2，8的8个球放入标号为1，2，8的8个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有（ ）种 A B C D6函数在上的最大值和最小值分别为（ ）A B C D7下列求导数运算正确的是（ ）A BC D8用数学归纳法证明等式，从到，左边需要增加的代数式为（ ） 9若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是（ ）A，或 BC，或 D，或10函数在下面哪个区间内是增函数（ ）11题图A B C DABACD11已知函数的图象如右图所示（其中为函数的导函数），则函数的图象大致是（ ）12设集合选择集合的两个非空子集A和B，要使集合B中最小的数大于集合A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A48种 B49种 C50种 D51种二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分，请将答案写在答卷上）13在高台跳水运动中，运动员相对于水面高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是：，则运动员在这段时间里，他的平均速度= 14若数列、都是等差数列，则数列、均为等差数列类比上述性质，若数列、都是等比数列，则数列 均为等比数列15电视台连续播放7个广告，其中含4个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有 种16若复数, ，且为实数，则实数a的值为 17点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 18已知集合，集合，若集合只含有一个元素，则实数的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共46分，请将解答过程写在答卷上）19（本题6分）5个不同的球全部放入4个不同的盒子内（1）共有几种不同的放法？（2）每个盒子都有球，共有几种不同的放法？（3）恰有一个盒子不放球，共有几种不同的放法？20（本题6分）46已知一长方形纸片，它长与宽分别为6和4，现将纸片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成无盖长方体盒子（1）试把长方体盒子的容积表示为的函数；（2）多大时，长方体盒子的容积最大？21（本题8分）设函数，（1）求，的表达式；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明22（本题8分）已知函数（1）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围；（2）设是正数组成的数列，前项和为，其中若点在函数的图象上，求证：点也在的图象上23（本题8分）已知函数在处取得极值，并且它的图象与直线在点处相切（1）求函数的解析式；（2）过点是否存在另一条与曲线相切的直线若存在，则求出此切线的方程；若不存在，则说明理由24（本题10分）已知函数 (为实常数)（1）若，求证：函数在上是增函数； （2）求函数在区间上的最小值及相应的值；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围2020学年第二学期浙东北（ZDB）三校期中考试高二数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1D； 2B； 3B； 4A； 5A；6C； 7C； 8B； 9D； 10D；11A； 12B；二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）13； 14、； 15720；16； 17； 18；三、解答题（本大题共6小题，共46分）21解：（1）， 2分（2）猜想： 3分证明：当时，左边；右边左边=右边，等式成立； 4分假设时，等式成立，即，则当时 5分 当时，等式也成立； 7分由、可知，对任意都成立8分23解：（1），由题意，即，解得：，； 3分（2）假设存在，设过点的切线和曲线相切于点，则切线方程为，因点在切线上，故，2是方程的根，2或，另一切线的斜率，切线方程为，过点存在另一条与曲线相切的直线，切线方程为8分24解：（1）当时，又，故函数在上是增函数 2分（2），而时，当，即时，（仅当时，），故函数在上为增函数，此时当，且，即时，令得，（）时，；时，当，即时，（仅当时，），故函数在上为减函数，此时综上可知，当时，函数的最小值为1，相应的值为1；当时，函数的最小值为，相应的值为；当时，函数的最小值为，相应的值为 6分（3）法一：由不等式，即，化为，且等号不能同时取到，所以，即，（）令（），又，从而，仅当时取等号，所以在上为增函数，故的最小值为，所以的取值范围是 10分（3）法二：设，