现代控制理论第一章 控制系统数学模型

.第一章控制系统数学模型，本课程的任务是系统分析和系统设计。 无论系统分析还是系统设计，本课程探讨的内容都是以系统的数学模型为基础的。 因此，本章首先介绍了控制系统的数学模型。 本章的内容包括： 1、状态空间表达式、2、微分方程到系统的状态空间表达式、3、传递函数矩阵、4、离散系统的数学模型、5、线性变换(状态变量的选择不是唯一的)、6、复合系统的数学描述、7、基于MATLAB的模型之间的变换、1.1状态空间表达式、1.1.1状态、状态变量和状态空间、状态33 状态空间是根据所选择的状态变量的集合作为坐标轴的正交线性空间，其被称为状态空间。例：下图所示的电路是输入量、输出量。 方程的建立：初始条件：以及可表示其电路系统行为的一组系统状态变量、1.1.2状态空间表达式、上一组电路微分方程被重写如下，矩阵形式：系统状态方程和输出方程总称为系统状态空间表达式、系统动态方程或系统方程如果、设置：状态空间表达式：一般形式：矩阵a、b、c和d的所有元素都是实数，则这样的系统被称为线性稳态(LTI，即线性时间点)系统。 如果存在其中的时间t的函数给出这些元素，那么就将该系统称作线性时变系统。 系统状态图和信号流程图如下所示。、严格地说，所有物理系统都是非线性的。 可用下列状态方程和输出方程表示。 如果不包括t，则称为非线性稳态系统。1.1.3状态变量的选择、(1)状态变量的选择取决于问题的性质和输入特性、(2)状态变量的选择的非唯一性、(3)系统状态变量的数量是唯一的，在前面的例子中，重新选择状态变量时，其状态方程式如下，输出方程式如下， 1.1.4状态空间公式成立的例1-1建立右图所示的机械系统的状态空间公式(注：质量块m的重量与弹簧k的初始拉伸抵消)，选择牛顿的第二定律即状态变量时，机械系统的系统方程式该系统的状态图如下，例1-2建立电枢控制直流他励电动机的状态空间公式换算成转矩常数电机轴的转动惯量电机轴的粘性摩擦系数。电枢电流和角速度可以选择为状态变量，电动机的电枢电压可以选择为输入量，角速度可以选择为输出量。 状态空间式、状态图如下。 例1-3建立单极倒立摆系统的状态空间公式。 单级倒立摆系统是许多重要航天应用的简单模型。 在水平方向上应用牛顿第二定律：在垂直于摆动的方向上应用牛顿第二定律：并且：线性化：小时候，在简化后求出：选择状态变量：由于系统输入，状态图从，1.2微分方程式求出状态空间表达式通过选择适当的状态变量，可以得到状态空间公式。此处，分为1、微分方程式不包含输入信号微分项的情况(即1.2.1的内容)、2、微分方程式不包含输入信号微分项的情况(即1.2.2的内容)、1.2.1微分方程式不包含输入信号微分项的情况，首先考察三次系数，该微分方程式选择状态变量以矩阵形式写入的状态图通常为n阶微分方程式，其状态变数的选取如下：2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222226系统方程式，系统状态图为：(2)辅助变量法求n次微分方程式：Laplace变换，传递函数，导入辅助变量z，返回微分方程式形式：以及，矩阵形式。 注：如果输入项的导数次数与输出项的导数次数相同，则有d。 已知描述例1-4系统的微分方程式可以求出系统的状态空间方程式。 解，(1)保留系数方法，状态变量的选择如下： (2)辅助变量方法，辅助变量z的引入，状态变量的选择，系统的状态空间方法，如果.1.3传递函数矩阵，传递函数的系统的初始缓和(即，初始条件为0 )，则输出量的拉转换方法与输入量的拉转换方法的比率。 另外，初始松弛时求Laplace转换并简化，并且根据状态变量向输入量的传递函数、向输出量的输入量的传递函数(即，传递函数)、例如1-5的系统状态空间格式来求出系统传递函数。 解：1.3.2传递函数矩阵，状态空间方程式进行加变换，并且构成为如下的结构：如果存在则向状态变量的输入向量的传递函数矩阵：向输出量的输入向量的传递函数矩阵：在方程式中，仅第j个输入发生作用时，表示向第I个输出量的第j个输入量的传递函数。例1-7线性稳态系统状态空间公式求系统的传递函数矩阵。 解，1.3.3正则(严格正则)有理传递函数(矩阵)当时只要是有限常数，有理函数就称为正则。 如果是这样的话，就称为严格的正则。 描述了非正态传递函数的系统不适用于实际控制过程。 这是因为在这种情况下，系统相对于高频噪声被大幅放大。 例如，当微分器是非正规系统并且微分器输出具有高频污染的输入信号时，在微分器的输入侧的噪声的振幅仅是有效信号振幅的1%，而在微分器的输出侧的噪声的振幅是有效信号振幅的10倍，并且信噪比变得非常小。1.3.4闭环系统的传输函数矩阵，或者将闭环系统的传输矩阵与1.3.5传输函数(矩阵)描述相比较，其中，1 )在传输函数或初始缓和假定下，向输入/输出的关系描述，而不是初始缓和系统，因此不适用本描述的状态空间格式描述初始缓和系统2 )传递函数只适用于线性稳态系统的状态空间方程式，既适用于稳态系统，也适用于时变系统。 3 )对于数学模型不明的线性稳态系统，用难以确立状态空间公式的实验方法得到频率特性，可以得到传递函数。 4 )传递函数通常只适用于单输入单输出系统的状态空间表达式可用于说明多输入系统。 (5)传递函数不仅可以提供系统的输出信息的状态空间格式或输出信息，而且还可以提供系统内的状态信息。 另外，一般mn。 如上所述，传递函数(矩阵)和状态空间公式两种描述各有优点，广泛应用于系统分析和设计。.1.4离散系统的数学描述，1.4.1状态空间表达式，选择状态变量使其成为矩阵形式，其中，在用输出方程式，n阶线性稳态差分方程式描述的系统中展开，选择状态变量，在系统状态方程式，输出方程式，2 .差分方程式中包括输入差分项，首先， 考察3次线性稳态差分方程式，选择状态变量，如果存在未定系数为：系统状态方程式为：输出方程式为：多输入多输出线性时离散系统状态空间式，和的各要素与时刻无关的线性稳态离散系统状态空间式的话，在此，系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵， 如果是初始缓和，则系统输出矢量对输入矢量的脉冲传递函数矩阵，解.SISO线性稳态离散系统中，系统脉冲传递函数为.1.5线性变换，系统确定后，状态变量的个数是确定的，但是，状态变量的选择不是唯一的。 如果选择不同的状态变量，得到的状态空间表达式也不同。 由于这些都是同一系统的状态空间记述，所以它们之间必定有某种关系。 这种关系是矩阵中的线性变换关系。 输入、1.5.1等价系统方程式、1 .线性稳态系统、(1) n维度状态向量r维度向量m维度输出向量、是对应维度的矩阵。 其中，系统状态方程式是(2)、方程式(1)和方程式(2)相互等价方程式，导出上式代入，得到的，另外，得到的1.5.2线性变换的基本性质，1 .线性变换不改变系统的特征值，线性稳定系统，系统的特征方程式是线性变换不改变系统的特征值， 2 .线性变换不改变系统的传递函数矩阵，通过时的传递函数矩阵、可视、线性变换进行系统的传递，1.5.3化系数矩阵a为标准形，与标准形为对角形、大致抵接形、模式形，例1-10是对角矩阵、解、解、变换矩阵，如果矩阵a具有这种形式，则可以使用范德蒙矩阵、变换矩阵、模拟变换矩阵、模拟变换矩阵等。 如果a的n个特征值1、2、n彼此不同，则a为对角矩阵，q矩阵为范德模矩阵：2 .化矩阵a为约束形式，如果矩阵a具有较重的特征值，则能够分为2种(2)当独立特征向量的个数小于n时，不能成为对角矩阵，只能成为近似形式另外，决定变换矩阵变换矩阵可以是例1-12化矩阵求出与标准形矩阵、解、双重特征根对应的特征向量，从而得到与特征值对应的特征向量，因此在这种情况下，将特征值设为a的特征值，将其设为对应特征向量的指令、变换矩阵因此，1.6复合系统的数学表述通常以某种方式连接在处理复杂的系统中的多个子系统。 这样的系统被称为复合系统。 复合系统形式多，常由并联、串联、反馈三种连接方式构成。 下面描述包括两个子系统的组合系统。 根据另一示例性系统方程，其中，传递函数矩阵是传递函数矩阵、传递函数矩阵、1.6.2串联、串联组合后的系统方程、1.6.3反馈连接、组合后的系统方程、或者传递函数矩阵是(1-125 )、(1-126 )并且反馈连接否则，反馈系统不具有针对一个输入的满足方程式(1-125 )或方程式(1-126 )的输出。 在这个意义上，反馈连接是无意义的。例1-14.利用1.7MATLAB进行模型转换，MATLAB是当今世界上最优秀的科技应用之一，具有强大的科学计算能力和可视化功能、简单易用的编程语言和开放式编程环境等着名优点作为用于系统分析和设计的软件平台，本书提供了更为独特的优势。 在本节中，使用MATLAB实现数学模型的变换。 可以使用ss命令创建状态空间模型。 对于连续系统，格式为sys=ss(A，b，c，d )。 其中，a、b、c、d是描述线性连续系统的矩阵。 如果sys1是由传递函数表示的线性稳态系统，则可以使用sys=ss(sys1)命令将其转换为状态空间格式。 也可以用指令sys=ss(sys1，min)计算系统sys的最小实现率。例1-15控制系统微分方程式求出状态空间式. 解首先转换为传递函数，并输入以下指令以获得系统的状态空间表达式，注意在该输入指令中，将sys=ss(G )改变为A，b，c，D=tf2ss(num，den )，在本实例中，类似于sys=ss(G )，并计算矩阵a，b，c，d .2.离散系统的状态空间公式、离散系统的状态空间公式与连续系统的状态空间公式的输入方法类似，要输入离散系统的状态空间公式，首先需要输入矩阵g、h、c、d并输入语句，将其输入到MATLAB工作区，用变量名表示该离散系统如果Gyu表示用脉冲传递函数描述的离散系统，那么也可以使用ss(Gyu )命令将脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。 解，输入下一个句子，句子的执行结果，再次输入句子，绘制出零、极点分布图。 执行上述语句后，Gyu已存在于MATLAB工作区中，重新执行该语句后，离散系统的状态空间表达式求出1.7.2传递函数矩阵，得知线性稳态系数的a、b、c、d矩阵后，该系数的传递函数矩阵可通过下式求出：例1-17已知系数状态方程式执行结果由1.7.3 .线性变换、1 .变换为对角矩阵，函数EII ()可计算将矩阵a的特征量和a矩阵变换为对角矩阵的线性变换矩阵： 句子的形式为Q，D=eig(A )，其中d为对角阵列，并且对角线上的每个元素填充矩阵a的特征值。输入以下语句，执行结果如下： 即使输入语句，系统根据以上的计算数据进行了线性转换的方程式也会使执行