2001—2013年天津市大学数学竞赛(l理工)

2013年天津市大学生数学竞赛试题参考答案及评分标准（理工类）一 填空题（本小题15分，每小题3分）；1. 已知则其中的常数2. 设函数在区间上有连续的二阶导数，a0且在x=a处取得极大值，则积分3.4. 设抛物线上一点P的横坐标为c（c2），点Q（c，0）.如图，直线和与弧围城的图形为，三角形OPQ记为，和绕x轴旋转一周所成旋转体的体积分别为和.当时，=.5. 设连续且，空间区则二 选择题（本小题15分，每小题3分）1. 设则(A) (B)(C) (D)在点x=0处不可导. 【B】2.设，都是区间上恒大于零的可导函数，且则当时，必有(A) (B)(C) (D) 【A】3.设则(A) (B) (C)0 (D)2 【D】4.以下积分的是 (A) (B)(C) (D) 【C】5.如图，半径不相等的两个木质球体，分别在中间钻出一个以球体直径为轴的圆柱形洞，使得剩下的两个环状立体A和B的高都等于h.通过计算，正确的结论是 (A) A的体积等于B的体积 (B)A的体积小于B的体积 (C)A的体积大于B的体积 (D)不能判断，A与B体积的大小与球半径有关 【A】三设，。求极限解法1：=解法2： =四求不定积分解：令，（），则=五设是由方程确定的隐函数.（1）证明是单调增加的；（2）求.（1）证 方程两端对x求导，得即 因为所以是单调增加的. （2）解： 由于是单调增加的，故当有上界时，（a为某常数）；当无上界时.假若，由于且广义积分收敛，令，由上式可得矛盾.因此，只有，从而得六设曲线的参数方程为 (1)在曲线上哪些点处的切线与平面平行，并写出对应的切向量. (2)求(1)中两条切线之间的距离.(注意两个切线之间的距离指它们的公垂线段的长度.) 解：（1）由曲线的参数方程，得到 已知平面的法向量由题设即解得在曲线上得到两个点在此两点处的切线与平面平行，对应的切向量分别为 （2）解法1 由（1）可得 =(-12,0,-4)=-4(3,0,1), ,=于是，（1）中两个切线之间的距离 解法2：通过点作平行于已知平面的平面，其方程为显然，通过点的切线在平面上，通过点的切线平行于平面，故两切线之间的距离就是点到平面的距离，即七设是区间上具有二阶导数的非负函数，且 若 证明证明： 令 则且=再求导 由题设在区间上应用微分中值定理，存在使得 又因为题设 于是. 所以在区间单调增加，因此当时，有.由此又得到在区间单调增加，故,即八求正数a的取值范围，使得曲线.解：曲线的充分必要条件是：存在使得，即也即a属于函数的值域. 由于所以只需要求出的最大值A，那么的值域就是令可得的唯一驻点就是x=e.当 当时，因此，为在内的最大值.因此，曲线与直线相交的充分必要条件是，a必须要满足.九设曲面是由直线段绕z轴旋转而得.（1）试推导的直角坐标方程；（2）如果是与平面所围成的立体，其密度为求的质量.解： （1）设M是旋转而得，上的点对应于参数t，故而故的方程是即（2）空间区域其中 因此，的质量=十设有曲线：（n为正整数），为的长.证明（提示：对于应用极限的夹逼准则.）解： 如图，设曲线与x轴的交点为A，与直线的交点为，则点的坐标为曲线在点A到点间的曲线段的弧长记为.由对称性，只需证明在开区间内，求由方程所确定的隐函数的导数，得由弧长计算公式=另一方面，又有=（）.于是由极限的夹逼准则，因此十一.计算曲线积分其中函数f（x）有连续导数，AB是有点到点的有向线段.解： 令经计算故曲线积分与路径无关.因此，选择如下积分路径：先从点沿着平行于x轴的直线到点再从点沿着平行于y轴的直线到点.=. 令则因此：十二.设流速场求流体沿空间闭曲线的环流量=其中是由两个球面与的交线，从z轴的正向看去，为逆时针方向.解：由与得取为平面（上侧）被闭曲线所围成的圆的内部，因原点到平面的距离为故闭曲线是半径为的圆. 的单位法向量为应用Stokes公式=2012年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空题（共15分，每空3分） 1设，则极限 2设函数连续且不等于，又，则 3半径为的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜，则流出的水量 4设函数可微，且，又设平面区域，则 5给定曲线积分，其中为光滑的简单闭曲线，取正向当曲线的方程为 时，的值最大 二、单项选择题（共15分，每空3分） 1设函数有连续导数，又设时，与是同阶无穷小，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2设函数在点的一个邻域内有定义，且满足，则有（ ）（A）在点处不一定可导 （B）在点处可导，且 （C）在点处可导，且 （D）在点处取得极小值 3设连续函数在区间和上的图形分别是直径为1的上半圆周和下半圆周，在区间和上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果，那么函数非负的范围是（ ） （A）整个 （B）仅为 （C）仅为 （D）仅为 4设函数在区间上连续，且记，则（ ） （A） （B） （C） （D） 5螺旋线（）上与平面平行的切线有（ ） （A）条 （B）条 （C）条 （D）条三、设（），（），求极限（本题7分） 四、设是的一个原函数，且，求积分（本题7分） 五、已知曲面上的点处的切平面平行于平面，求切平面的方程（本题7分）六、求积分，其中为正整数（本题7分）七、设曲线与曲线和曲线的位置如图，是曲线上任一点，过点垂直于轴的直线与曲线和围成图形记为，过点垂直于轴的直线与曲线和围成图形记为若和分别绕轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线的方程（本题7分） 八、一个半径为（）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为的圆周（如图），问当为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？（本题7分）九、设函数在区间上具有二阶连续导数，并且对于区间中的一切有若积分存在，证明不等式（本题7分）十、设是以原点和三点为顶点的四面体 （1）将三重积分表示为“先次后”的三次积分； （2）试证明（本题7分） 十一、设是沿抛物线由点到点的有向曲线，计算曲线积分（本题7分） 十二、设密度为1的流体的流速为，曲面是由曲线 （）绕轴旋转而成的旋转面，其法向量与周正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面正侧的流量 （本题7分） 2011年 天津市大学数学竞赛试题(理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）:1. 设是连续函数, 且, 则_2. 设 , 若 则 3. _ 4. 设是连续函数, 且其中由x轴、y轴以及直线围成, 则_5. 椭球面平行于平面的切平面方程为 _ 和_二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设 则在处(A) , (B) , (C) , (D) 不可导. 2. 设函数具有二阶导数, 且满足方程已知则(A) 在 的某个邻域中单调增加, (B) 在 的某个邻域中单调增少, (C) 在处取得极小值, (D) 在处取得极大值. 3. 图中曲线段的方程为, 函数在区间上有连续的导数, 则积分 表示 (A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 4. 设在区间 上的函数 且 令 则(A) (B) (C) (D) 5. 设 曲面取上侧为正, 是 在 的部分, 则曲面积分(A) (B) (C) (D) 三. (6分) 设函数 其中函数处处连续. 讨论在处的连续性及可导性. 四. (6分) 设函数由方程确定, 又函数由方程确定, 求复合函数的导数五. (6分) 设函数在上二阶可导，且，记，求的导数，并讨论在处的连续性.六. (7分) 设函数在上可导, 且满足: () 研究在区间的单调性和曲线的凹凸性. () 求极限 七 (7分) 设在上具有连续导数, 且 试证 八 (7分) 设函数具有二阶导数, 且 直线是曲线上任意一点处的切线, 其中 记直线与曲线以及直线所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 试问为何值时取得最小值.九(7分) 计算其中为从点沿圆周在第一象限部分到点的路径.十. (8分) 设（1）有向闭曲线是由圆锥螺线 ：，（从0变到）和有向直线段 构成， 其中， ；（2）闭曲线将其所在的圆锥面划分成两部分，是其中的有界部分. （）如果 表示一力场，求沿所做的功； （）如果 表示流体的流速，求流体通过流向上侧的流量. (单位从略）十一. (8分) 设函数在心形线所围闭区域上具有二阶连续偏导数, 是在曲线上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), 是沿的外法向的方向导数, 取逆时针方向. () 证明: () 若 求的值.十二.(8分) 设圆含于椭圆的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).() 求 与 满足的等式; () 求与的值, 使椭圆的面积最小. 2010年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1. 设，则 _ 。2. 已知的一个原函数为，则 _ 。3. _。4. 设a，b为非零向量，且满足（a + 3b）（7a 5b），（a 4b）（7a 2b），则a与b的夹角为_ 。5. 根据美国1996年发布的美国能源报告原油消耗量的估计公式为（单位：十亿桶/年）：，式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为：，则自1995年至2015年共节省原油 _ 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 设函数其中是有界函数，则在点处（ ）。（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导； （D）可导。2. 设曲线的极坐标方程为，则在其上对应于点处的切线的直角坐标方程为（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。3. 设函数连续，则（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。4. 设为一函数的全微分，则下面正确的答案为（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。5. 设曲面，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。三、计算。（本题7分）四、设，求。（本题6分）五、对k的不同取值，分别讨论方程在区间内根的个数。（本题7分）六、设a，b均为常数且，问a，b为何值时，有。（本题7分）七、设，证明：存在并求其值。（本题8分）八、设是区间上的函数，且，证明：，。（本题7分）九、设是由所确定的二元函数，求：，。（本题6分）十、求，其中曲线L是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）十一、计算，其中为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）十二、在曲面上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面所围空间区域的体积最小。（本题8分）2009年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1. .2. 设，则使存在的最大n = .3. .4. 设，若与OZ轴垂直，则= .5. 设L为正向圆周在第一象限中的部分，则 .二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 函数的第一类间断点的个数为（ ）。（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。2. 设与具有任意阶导数，且，则（ ）。（A）为函数的极小值； （B）为函数的极大值；（C）点（0,1）为曲线的拐点； （D）极值与拐点由确定。3. 设函数，又与都不存在，则下列结论正确的是（ ）。（A）若不存在，则必不存在；（B）若不存在，则必存在；（C）若存在，则必存在； （D）若存在，则必不存在。4. 设具有2阶连续偏导数，。若是由方程所确定的在点附近的隐函数，则是的极小值点的一个充分条件为（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。5. 设L为折线的正向一周，则（ ）。（A）2sin2； （B）1； （C）0； （D）1。三、设函数 a 为何值时，在 x = 0点处连续； a 为何值时，x = 0为的可去间断点。（本题7分）四、设（n为正整数）， 求在闭区间0,1上的最大值M（n）； 求。（本题7分）五、计算。（本题6分）六、设对任意x，都有，且在x = 0点处连续，证明：在x = 0点处也连续。（本题6分）七、设，计算。（本题7分）八、在椭球面上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。（本题7分）九、设为连续函数，求证，其中 （本题7分）十、设函数在闭区间a,b上具有二阶导数，且，。证明：存在一点（a,b）使得。（本题7分）十一、设二元函数具有二阶偏导数，且，证明的充要条件为：。 （本题8分）十二、计算曲面积分，其中为空间区域边界曲面的外侧。（本题8分）2008年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1. 设f (0)0，则 。2. 设函数由方程所确定，则曲线上对应于x = 0点处的切线方程为 。3. 。4. 函数在点M (1,1,1,)处，沿曲面在该点的外法线方向的方向导数 。5. 设函数在区域上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则n等于（ ）（A）4； （B）3； （C）2； （D）1。2. 设是单调增的正数列，则数列（ ）（A）当时收敛； （B）当时收敛；（C）对任意均收敛； （D）对任意均发散。3. 设，则函数在点a处必（ ）（A）取极大值； （B）取极小值；（C）可导； （D）不可导。4. 设函数在点处有，则下列结论正确的是（ ）（A）存在，但在点处不连续；（B）在点处连续；（C）；（D）都存在，且相等。5.设S为球面：，其取外侧为，则两个曲面积分全为零的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、对t的不同取值，讨论函数在区间上是否有最大值或最小值，若存在最大值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题7分）四、设，其中，讨论函数在区间内零点的个数。（本题7分）五、过曲线上点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围平面图形D的面积。 求点A的坐标； 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题7分）六、设函数，其中是连续函数，且。 求； 讨论的连续性。（本题7分）七、设函数在闭区间上具有连续的导数，且。 求； 证明。（本题7分）八、设二元函数具有二阶连续偏导数，证明：可经过变量替换化为等式。（本题6分）九、求的值，使两曲面：与在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。（本题8分）十、计算三重积分，其中是由yoz平面内z = 0，z = 2以及曲线所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域。（本题7分）十一、计算曲线积分，其中曲线C：是从点A(1,0)到点B(1,0)的一条不经过坐标原点的光滑曲线。（本题8分）十二、求证。（本题6分）2007年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1. 设函数，且当x0时，与为等价无穷小，则a = 。2. 设函数在点处取得极小值，则 。3. 。4. 曲线在点（1，1，2）处的切线方程为 。5. 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。2. 设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）（A）若只有一个零点，则必至少有两个零点；（B）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；（C）若没有零点，则至少有一个零点；（D）若没有零点，则至多有一个零点。3. 设函数在区间内具有二阶导数，满足，又，则当时恒有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。4.考虑二元函数在点处的下面四条性质：连续； 可微；与存在； 与连续。若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。5.设二元函数具有一阶连续偏导数，曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分值为负的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、已知曲线与曲线在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并求极限。（本题6分）四、证明：当x 2时，。（本题7分）五、设，求。（本题7分）六、设当时，且，试确定常数a的值，使在x = 0点处可导，并求此导数。（本题7分）七、设函数在区间内连续，且满足， 求； 计算，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧。（本题7分）八、求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面，使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。（本题8分）九、设，计算。（本题7分）十、设函数，其中在点(0,0)的一个邻域内连续，证明：在点(0,0)处可微的充要条件是。（本题8分）十一、计算，其中为一连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧。（本题7分）十二、设函数在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且有，则至少存在一点，使得。（本题6分）2006年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1若是上的连续函数，则a = 。2函数在区间上的最大值为 。3 。4由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 。5设函数由方程所确定，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1 设函数f (x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（ ）（A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。2 设函数f (x)在点x = a处可导，则在点x = a处不可导的充要条件是（ ）（A）f (a) = 0，且； （B）f (a)0，但；（C）f (a) = 0，且； （D）f (a)0，且。3 曲线（ ）（A）没有渐近线； （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线； （D）有两条水平渐近线。4 设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ ）（A）若，则； （B）若，则；（C）若，则； （D）若，则。5 设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且，求。（本题6分）四、设函数由参数方程所确定，求。（本题6分）五、设n为自然数，计算积分。（本题7分）六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。（本题7分）七、设f (u, v)有一阶连续偏导数，证明：。（本题7分）八、设函数f (u)连续，在点u = 0处可导，且f(0)= 0，求：。（本题7分）九、计算，其中L为正向一周。（本题7分）十、 证明：当充分小时，不等式成立。 设，求。（本题8分）十一、设常数，证明：当x 0且x 1时，。（本题8分）十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a R ，求此半球壳对棒的引力。（本题7分）2005年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1 。2曲线，在点处的法线方程为 。3设为连续函数，且，则 。4函数在点处，沿点A指向点方向的方向导数为 。5设(ab)c = 2，则(a+b)(b+c)(c+a)= 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）6 设函数与在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题， 若，则； 若，则。则（ ）（A）两个命题均正确； （B）两个命题均不正确；（C）命题正确，命题不正确； （D）命题不正确，命题正确。7 设函数连续，F(x)是的原函数，则（ ）(A) 当为奇函数时，F(x)必为偶函数；(B) 当为偶函数时，F(x)必为奇函数；(C) 当为周期函数时，F(x)必为周期函数；(D) 当为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。8 设平面位于平面：与平面：之间，且将此两平面的距离分为1:3，则平面的一个方程为（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。9 设为非零的连续函数，则当t0时（ ）（A）与t为同阶无穷小； （B）与t2为同阶无穷小；（C）与t3为同阶无穷小； （D）是比t3高阶的无穷小。10 设函数满足等式，且，则在点处（ ）。（A）取得极小值； （B）取得极大值；（C）在点的一个邻域内单调增加； （D）在点的一个邻域内单调减少。三、求函数的值域。（本题6分）四、设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。求。（本题6分）五、设二元函数在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上，并满足，求的表达式。（本题6分）六、设二元函数具有一阶连续偏导数，且，求。（本题7分）七、设曲线与交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形，试问： 当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？ 最大体积为多少？（本题7分）八、设S为椭球面的上半部分，点，为S在点P处的切平面，为点到平面的距离，求。（本题7分）九、证明。（本题8分）十、设正值函数在闭区间a,b上连续，证明：。（本题8分）十一、设函数在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，证明：存在(a,b)，使得。（本题7分）十二、设函数在闭区间-2,2上具有二阶导数，且，证明：存在一点(-2,2)，使得。（本题8分）2004年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1设函数，则函数的定义域为 。2设要使函数在区间上连续，则 。3设函数由参数方程所确定，其中f可导，且，则 。4由方程所确定的函数在点处的全微分dz = 。5设，其中 f 、具有二阶连续导数，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1 已知，则( )（A） 12； （B）3； （C） 1； （D）0。2 设函数在的一个邻域内有定义，则在点处存在连续函数使是在点处可导的（ ）（A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分，也非必要条件。3 设，则F(x)=（ ）(A) ; (B) ;(C) ; (D) 。4 函数，在点处（ ）（A）可微； （B）偏导数存在，但不可微；（C）连续，但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。5 设为区间上的正值连续函数，与为任意常数，区域，则（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。三、设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且。求：，及。（本题6分）四、计算。（本题6分）五、求函数在点处的100阶导数值。（本题6分）六、设为定义在上，以T 0为周期的连续函数，且。求。（本题7分）七、在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。（本题8分）八、设正整数，证明方程至少有两个实根。（本题6分）九、设。证明存在，并求之。（本题8分）十、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）十一、设具有连续的偏导数，且对以任意点为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L：，恒有。证明：（本题8分）十二、设函数在0，1上连续，且，试证：，使得；，使得。（本题8分）2003年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1设对一切实数x和y,恒有，且知，则 。2设 在x = 0处连续，则a = 。3设，其中是由方程所确定的隐函数，则 。4 。5曲线在点M (1,1,1)处的切线方程为 （或 ）。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）6 当时，下列无穷小量 ； ； ； ，从低阶到高阶的排列顺序为（ ）（A） ； （B） ；（C） ； （D） 。7 设，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为（ ）（A） 1阶； （B） 2阶； （C） 3阶； （D）4阶。8 设函数在 x = 1处有连续的导函数，又，则x = 1是（ ）（A）曲线拐点的横坐标； （B）函数的极小值点；（C）函数的极大值点； （D）以上答案均不正确。9 设函数f，g在区间a，b上连续，且（m为常数），则曲线和x = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体积为（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。10 设，为在第一卦限中的部分，则有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、a，b，c为何值时，下式成立。（本题6分）四、设函数，其中具有连续二阶导函数，且。 确定a的值，使在点x = 0处可导，并求。 讨论在点x = 0处的连续性。（本题8分）五、设正值函数在上连续，求函数的最小值六、设，且，求。（本题6分）七、设变换，把方程化为，试确定a 。（本题7分）八、设函数在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t恒有，求。（本题7分）九、设函数f (x)具有二阶连续导函数，且。在曲线y = f (x)上任意取一点作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作，求。（本题8分）十、设函数f (x)在闭区间上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a和b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的和，使得。（本题7分）十一、设，试证明在区间上有且仅有两个实根。（本题7分）十二、设函数在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：其中：D为圆域。（本题8分）2002年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1 。2设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为 。3 。4设在点(1,1)处沿方向的方向导数 。5设为曲面介于0ZR的部分，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 曲线的渐近线有（ ）（A） 1条； （B） 2条；（C） 3条； （D） 4条。2. 若，则当n2时（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。3. 已知函数f (x)在（，+）内有定义，且x0是函数f (x)的极大值点，则（ ）（A）x0是f (x)驻点； （B）在（，+）内恒有f (x)f (x0)；（C）x0是f (x)的极小值点； （D）x0是f (x)的极小值点。4. 设，则z = z (x,y)在点（0，0）（ ）（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微；（C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在。5. 设，其中：x2+y2+z21，z0则（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、已知极限，试确定常数n和C的值。（本题6分）四、已知函数f (