2020年全国高考数学第二轮复习 选修4—4 坐标系与参数方程 理

选修44坐标系与参数方程真题试做1(2020上海高考，理10)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成 f()的形式，则f()_.2(2020北京高考，理9)直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_3(2020江西高考，理15)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_4(2020课标全国高考，理23)已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围5(2020辽宁高考，文23)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程考向分析从近几年的高考情况看，该部分主要有三个考点：一是平面坐标系的伸缩变换；二是极坐标方程与直角坐标方程的互化；三是极坐标方程与参数方程的综合应用对于平面坐标系的伸缩变换，主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台，考查伸缩变换公式的应用，试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状对于极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考的重点和热点，涉及直线与圆的极坐标方程，从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查，研究求距离、最值、轨迹等常规问题极坐标方程与参数方程的综合应用，主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景，转化为普通方程，从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算预计2020年高考中，本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查简单曲线的极坐标方程和参数方程，试题多以填空题、解答题的形式呈现，属于中档题热点例析热点一平面坐标系的伸缩变换【例】在同一平面直角坐标系中，将直线x2y2变成直线2xy4，求满足图象变换的伸缩变换规律方法1平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用，如三角函数图象周期的变化2设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换变式训练1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x28y21，则曲线C的方程为()A50x272y21B9x2100y21C25x236y21Dx2y21热点二极坐标方程与直角坐标方程的互化【例】在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值规律方法1直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两个坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则xcos ，ysin 且2x2y2，tan (x0)这就是直角坐标和极坐标的互化公式2曲线的极坐标方程的概念：在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标至少有一个满足方程f(，)0，并且坐标适合f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0就叫做曲线C的极坐标方程变式训练2圆O1和圆O2的极坐标方程分别为4cos ，sin .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程热点三参数方程与普通方程的互化【例】把下列参数方程化为普通方程(1)(2)规律方法1参数方程部分，重点还是参数方程与普通方程的互化，主要是将参数方程消去参数化为普通方程2参数方程与普通方程的互化：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：代入法：首先利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；三角法：利用三角恒等式消去参数；整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数化参数方程为普通方程F(x，y)0：在消参过程中注意变量x，y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域即x，y的取值范围变式训练3把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线(1)(t为参数)；(2)(为参数)热点四极坐标方程与参数方程的综合应用【例】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(为参数)以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos2.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值规律方法如果直接由曲线的极坐标方程看不出曲线是什么图形，往往先将曲线的极坐标方程化为相应的直角坐标方程，然后再通过直角坐标方程判断出曲线是什么图形变式训练4在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值1(2020安徽安庆二模，4)以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线(为参数，R)上的点到曲线cos sin 4(，R) 的最短距离是()A0B2C1D22设直线的参数方程为(t为参数)，则其斜截式方程为_3(2020广东梅州中学三模，15)在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A，B两点，则|AB|_.4(2020北京丰台区三月模拟，11)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是24cos 30.则圆心到直线的距离是_5在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：(为参数)与直线l：(t为参数)是否有公共点，并证明你的结论6(2020江苏镇江5月模拟，21)已知椭圆C的极坐标方程为2，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为(t为参数，tR)求点F1，F2到直线l的距离之和7(2020吉林长春实验中学模拟，23)已知圆C的方程为x2y22x0，直线l的参数方程为(t为参数)(1)设ysin ，求圆C的参数方程；(2)直线l与圆C交于A，B两点，求线段AB的长参考答案命题调研明晰考向真题试做12232cos 4解：(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,525解：(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos .解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)解法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.(或参数方程写成y)解法二：将x1代入得cos 1，从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.精要例析聚焦热点热点例析【例1】解：设变换为代入第二个方程，得2xy4与x2y2比较，将其变成2x4y4，比较系数得1，4.则伸缩变换公式为即直线x2y2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2xy4.【变式训练1】A【例2】解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有1，解得a8，或a2.故a的值为8或2.【变式训练2】解：(1)因为圆O1和圆O2的极坐标方程分别为4cos ，sin ，又因为2x2y2，cos x，sin y，所以由4cos ，sin 得，24cos ，2sin .即x2y24x0，x2y2y0.所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为x2y24x0，x2y2y0.(2)由(1)易得，经过圆O1和圆O2两个交点的直线的直角坐标方程为4xy0.【例3】解：(1)由已知可得由三角恒等式cos2sin21，可知(x3)2(y2)21，这就是它的普通方程(2)由已知，得t2x2，代入y5t中，得y5(2x2)，即xy50就是它的普通方程【变式训练3】解：(1)由x1t，得t2x2.y2(2x2)xy20，此方程表示直线(2)由得两式平方并相加，得1，此方程表示椭圆【例4】解：cos2化简为cos sin 4，则直线l的直角坐标方程为xy4.设点P的坐标为(2cos ，sin )，得P到直线l的距离d，即d，其中cos ，sin .当sin()1时，dmax2.【变式训练4】解：(1)把极坐标系中的点P化为直角坐标，得P(0,4)因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos ，sin )，从而点Q到直线l的距离是dcos2，由此得，当cos1时，d取得最小值，且最小值为.创新模拟预测演练1B2yx323245解：无公共点理由如下：直线l的普通方程为x2y30.把曲线C的参数方程代入l的方程x2y30，得2cos 2sin 30，即