2020年高考数学二轮限时训练 立体几何 8 理

第五部分：立体几何（8）(限时：时间45分钟，满分100分) 一、选择题1如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是()AEF与BB1垂直BEF与BD垂直CEF与CD异面DEF与A1C1异面【解析】由题意，连接B1C，则FB1C，且F为B1C中点连接AC，EF为B1AC的中位线，EFAC.ACBB1，ACBD，ACA1C1，A、B皆成立，D不成立EF面B1AC，DC面B1AC，且CEF，EF与DC是异面直线，C成立【答案】D2下列命题中正确的是()A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一平面的两直线是平行直线D垂直于同一平面的两平面是平行平面【解析】A中当三点共线时，有无数个平面；B中只有当不在任何一个平面内时，两直线才是异面直线；D中两平面也可能相交【答案】C3如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A12对 B24对C36对 D48对【解析】如图，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线=24对【答案】B4(2020年曲靖二模)如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()【解析】在A图中分别连接PS、QR，易证PSQR，P、S、R、Q共面；在C图中分别连接PQ、RS，易证PQRS，P、Q、R、S共面如图，在B图中过P、Q、R、S可作一正六边形，故四点共面，D图中PS与RQ为异面直线，四点不共面，故选D.【答案】D5正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为()A. B.C. D.【解析】如图，取PB中点N， 连接CM、CN、MN.CMN为PA与CM所成的角(或所成角的补角)，设PA=2，则CM= ，MN=1，CN= ，cosCMN= .故选C.【答案】C二、填空题6在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【解析】如题干图(1)中，直线GHMN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H面GMN，GH与MN异面所以图(2)、(4)中GH与MN异面【答案】(2)、(4)7(2020年云南模拟)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_【解析】在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BHAE于H，连接B1H，则在RtAHB1中，B1AH为AB1与BD所成角，设AB1，则A1A，B1A，AHBD，cosB1AH，B1AH60.【答案】608空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD1，则AC的取值范围是_【解析】如图所示，ABD与BCD均为边长为1的正三角形，当ABD与CBD重合时，AC0，将ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC，如图，故AC的取值范围是0AC.【答案】(0，)三、解答题9已知E和F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AEC1F，求证：四边形EBFD1是平行四边形【证明】如图所示，在DD1上取一点G，使D1G=A1E，则易知A1E D1G，四边形A1EGD1为平行四边形，EGA1D1.又A1D1B1C1，B1C1BC，EGBC(公理4)，四边形GEBC是平行四边形，EBGC.又D1GFC，四边形D1GCF是平行四边形，GCD1F，EBD1F(公理4)，四边形EBFD1是平行四边形10已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面【解析】弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交(1)当四条直线中有三条相交于一点时，不妨设a，b，c相交于一点A，直线d和A确定一个平面. (如右图)又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G.A，E，A，Ea，a.同理可证b，c，a，b，c，d在同一平面内(2)