高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 建立函数模型的几种分析方法素材 北师大版必修1（通用）

建立函数模型的几种分析方法一、关系分析法即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。例1 进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出.已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，问售价应为多少时所获得利润最大？分析：题中显示“利润最大”的语句，应从构造有关利润的函数关系入手.（利润=售额成本）解：设售价为元时利润为，此时售量为 当时，（元）.答：售价为95元时获利最大，其最大值为4500元.二、列表分析法即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。例3 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台.现销售给A地10台，B地8台.已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.(1)设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；(2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费.调出地甲 地乙 地调至地A地B地A地B地台数10-x12-(10-x)x6-x每台运费(元)400800300500运费合计(元)400(10-x)80012-(10-x)300x500(6-x)分析 由甲、乙两地调运至A、B两地的机器台数及运费如下表：解：(1)依题意，得y=400(10-x)+80012-(10-x)+300x+500(6-x)，即y=200(x+43)(0x6,xZ).(2)由y9000，解得x2.xZ，0x6，x=0,1,2.所以共有三种调运方案.(3)由一次函数的单调性知，当x=0时，总运费y最低，ymin=8600(元).即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的总运费最低，最低运费为8600元.说明 本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的准确建立.三、图像分析法即通过对图像(或表格)中的数量关系进行分析来建立问题数学模型的方法。例3某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时间、次数，效果最佳？【解】 （1）依题意，得y=(2)设第二次服药时，在第一次服药后t1小时则t1+=4,t1=3因而第二次服药应在10:00设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有t2+(t23)+=4解得：t2=7（小时）设第四次服药在第一次服药后t3小时(t38)，则此时第一次服的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和(t33)+(t37)+=4解得t3=10.5小时 故第四次服药应在17:30.例4 20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻.这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表.应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？作物劳力/备产值/亩蔬菜1/20.6万元棉花1/30.5万元水稻1/40.3万元分析：题中显示“产值最高”的语句，应从构造有关产值的函数关系入手.解：设种亩水稻（），亩棉花（）时，总产值为且每个劳力都有工作.且、满足即欲使