2020高考数学 专题练习 二十一 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 文

高考专项训练21函数，导数和不等式，解析几何，序列型解班级名称时间45分钟总分80分1.(湖北卷2020)增加跨河桥梁的通行能力可以改善整个城市的交通状况。在正常情况下，桥梁上的交通速度V(单位：公里/小时)是交通密度X(单位：车辆/公里)的函数。当桥上交通密度达到200辆/公里时，造成交通堵塞，此时交通速度为0；当交通密度不超过每公里20辆车时，交通速度为每小时60公里。研究表明，当20x200时，交通速度v是交通密度x的函数。(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当交通流密度x较大时，交通流(单位时间内通过桥梁观测点的车辆数量，单位：车辆/小时)f (x)=XV (x)可达到最大值，并可获得最大值。(精确到1辆车/小时)分析：本文主要考察函数和极大值等基础知识，同时也考察用数学知识解决实际问题的能力。解决方法：(1)从问题含义：当0x20时，v(x)=60；当20x200时，设v (x)=ax b，根据已知的解决方案因此，函数v(x)的表达式是v(x)=1(2)根据主题，可从(1)中获得f(x)=当0x20时，f(x)为增函数，所以当x=20时，其最大值为6020=1200；当20x200时，f (x)=x (200-x) 2=，当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立。因此，当x=100时，f(x)在20，200区间内获得最大值。总而言之，当x=100时，f(x)在0，200区间上获得最大值3333。也就是说，当交通流量密度为100辆/公里时，交通流量可以达到大约3333辆/小时的最大值。2.(广东卷2020)集b0，序列an满足a1=b，an=(n 2)。(1)找到序列an的通式；(2)证明：对于所有正整数n，2an bn 1 1。分析：构造基本序列(算术级数、几何级数)是通过变换求解递归序列通项的常用方法。对于不等式的证明，可以通过分析进一步证明。(1)从an=到倒数=，使cn=，有cn=cn-1，当b=1时，cn是算术级数，当b1时，设置cn k=(cn-1 k)，展开比较以获得k=，构造几何级数，然后在获得cn后找到一个；(2)当b=1时，很容易验证。当b1时，首先用解析法将2an bn 1 1转化为 bn 1 1。然后，右侧乘以公式an-bn=(a-b) (an-1 an-2b bn-1)，然后转换为2nbn (bn 1 1) (1 b B2 bn-1)。最后，利用基本不等式可以得到证明。解：(1)a1=B0，An=，=，让cn=，然后cn=cn-1，(1)当b=1，cn=1 cn-1，C1=1时， CN是第一项为1且公差为1的算术级数。 cn=1 (n-1) 1=n，所以cn=n，然后an=1；(2)当b1时，cn=，而C1=，是第一项，男性比例的几何级数， cn=n-1，from=an=，(2)证明：从(1)开始，当b=1，an=1，2an bn 1 12 2成立。当b1时，an=，2an bn 1 1 bn 1 1，而1-bn=(1-b) (1 b B2.bn-1)，B0，因此，只需要证书：2NBN (BN 1 1) (1 B B2 BN-1)，()而(bn-11)(1b B2bn-2bn-1)=(b2n b2n-1bn 1)(bn-1bn-2B1)=(b2n 1)(b2n-1b)(bn 1bn-1)2bn 2bn2bn=2nbn。公式成立，原来的不等式成立。3.(重庆卷2020)让F (x)=2x3 AX2 Bx 1具有导数F(x)。如果函数y=f (x)的像关于线x=-和f (1)=0对称。(1)现实数字a和b的值；(2)求函数f(x)的极值。分析：本分项主要用求导的方法讨论函数的极值、导数的几何意义、二次函数的象和性质等。在具体的过程中，首先求出函数的导数，然后根据导数的符号确定其增减，最后确定极值。解决方案：(1) f (x)=6x2 2ax b，因为f (x)=2x3 ax2 bx 1。因此，f(x)=62b-，即y=f(x)关于直线x=-是对称的，从而可以从条件知识-=-中获得解a=3。因为f (1)=0，即6 2a b=0，所以解b=-12。(2)从(1)可知f (x)=2x3 3x2-12x 1，f(x)=6x 2+6x-12=6(x-1)(x+2)。设f (x)=0，即6 (x-1) (x 2)=0，得到x1=-2，x2=1。当x (-，-2)，f(x)0，所以f(x)是(-，-2)上的增函数；当x (-2，1)，f(x)0，所以f(x)是(-2，1)上的负函数；当x(1，)，f(x)0，所以f(x)是(1，)上的增函数。因此，函数f(x)在x1=-2处获得最大值f (-2)=21，在x2=1处获得最小值f(1)=6。4.(2020四川卷)椭圆通过点C(0，1)的偏心率=1 (AB0)为。椭圆与X轴相交于两点A(a，0)，B (-a，0)。穿过点C的直线L在另一点D处与椭圆相交，并在点P处与X轴相交(1)当直线l通过椭圆的右焦点时，计算线段CD的长度；(2)当点p不同于点b时，验证：它是一个固定值。分析：本文考查了直线、椭圆和平面向量的基本概念，考查了直线和圆锥曲线之间的位置关系，考查了解析几何中常用的思维方法，考查了学生细致的运算能力和综合运用知识分析和解决问题的能力。这是一个难题。解：(1)从已知的b=1，e=，解a=2，所以椭圆方程是y2=1。椭圆的右焦点是(，0)，直线的方程式是y=-x 1。将方程代入椭圆方程，它被简化为7x2-8x=0。当x1=0，x2=，y1=1，y2=-，所以点d的坐标是。所以|光盘|=。(2)证明：当直线L垂直于X轴时，它与问题的含义不一致。让直线l的方程为y=kx 1 (k 0和k )。代入椭圆方程进行简化(4k2+1)x2+8kx