东北三省四市2020届高三数学第一次模拟试题 理（含解析）

东北三省四市2020届高三数学第一次模拟试题 理（含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，表示复数的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】将整理为，可得对应的点为，由此得到结果.【详解】对应的点为：对应的点在第一象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数运算和复数的几何意义，属于基础题.3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简函数，利用对称性的特点进行验证即可.【详解】，当时，故A适合题意，故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的对称性，考查三角函数的恒等变换，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】【分析】直接模拟程序框图运行.【详解】由题得p=1,14，k=2,p=2,24,k=3,p=6,34，k=4,p=24,4=4,p=24.故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.6.已知m，n为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.7.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量，年，某企业连续年累计研发投入达亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用如图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的是（ ）A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小C. 该企业连续年研发投入逐年增加D. 该企业连续年来研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据折线图和条形图依次判断各个选项，从而得到结果.【详解】选项：年至年研发投入占营收比增量达2%；年至年增量不到，由此可知正确；选项：年至年研发投入增量为；年至年研发投入增量为，可知正确；选项：根据图表，可知研发投入绝对量每年都在增加，正确；选项：年至年研发投入占营收比由降到，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查统计图标中的折线图和条形图，属于基础题.8.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用数量积的运算法则，结合二次函数的图像与性质即可得到结果.【详解】是两个单位向量，且夹角为，当t=时，的最小值为：故选：A【点睛】本题考查数量积的最值问题，考查数量积的运算法则，考查二次函数的最值，考查计算能力与转化思想，属于基础题.9.我国古代数学名著九章算术商功中阐述：“斜解立方，得两壍堵。斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：四个侧面都是直角三角形；最长的侧棱长为；四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；外接球的表面积为.其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】由三视图还原几何体，结合几何体的结构特征作出正确判断.【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PD平面ABCD，PD=2，对于易证AB平面PAD，BC平面PCD，故四个侧面都是直角三角形；对于，故正确；对于四个侧面中没有全等的三角形，故错误；对于外接球的直径为PB，故外接球的表面积为，正确，故选：D【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查四棱锥的结构特征，考查线面关系以及外接球问题，考查空间想象能力，属于中档题。10.函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】函数f（x）的定义域为（-，-）（-，）（，+）f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项11.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若的中点在轴上的射影分别为，且，则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设AF,FB的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设，则，联立直线和抛物线的方程得，所以，所以抛物线的准线方程为.故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已如函数f（x）=，若x1x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围.【详解】设若，则，不成立；若，则，不成立若，则 设，则当时，则单调递减当时，则单调递增本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.第卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.已知，且2是，的等比中项，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】通过等比中项得到，再利用基本不等式求得最小值.【详解】由题意得：又，当且仅当时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，属于基础题.14.已知矩形，以，为焦点，且过，两点的双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】利用双曲线定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到双曲线的离心率.【详解】由题意易知：即，由双曲线定义可得，双曲线的离心率为故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题15.若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为_【答案】【解析】【分析】设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“取出的2件中另1件是一等品”为事件B，分别求得P（AB）和P（A）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果【详解】解：设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“取出的2件中另1件是一等品”为事件B，则P（A），P（AB），在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率为：P（B|A），故答案为：【点睛】本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于中档题16.已知数列an中，a1=2，则=_【答案】【解析】【分析】由递推关系可得，易知为常数列，求出，利用等差数列前n项和公式即可得到结果.【详解】，即记，显然为常数列，且，故答案为：【点睛】本题考查数列求和问题，涉及利用递推关系求通项，等差数列求和公式，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在中，.（）若，求的面积；（）若，求的长.【答案】（）；（） .【解析】【分析】（）利用正弦定理求得，可得，求出后可得面积；（）根据，利用余弦定理建立方程，求得结果.【详解】（）由正弦定理得： （）设，则根据可得：解得：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题；关键是能够通过互补角的余弦值互为相反数的关系建立起方程，从而求得结果.18.某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人人，乙车间有工人人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：）进行统计，按照进行分组，得到下列统计图.分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于的人数分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？从第一组生产时间少于的工人中随机抽取人，记抽取的生产时间少于的工人人数为随机变量，求的分布列及数学期望.【答案】60，300；乙车间工人生产效率更高；见解析.【解析】【分析】（）由图表分别计算出两个车间生产一件产品时间少于的人数；（）分别计算两个车间工人生产一件产品时间的平均值，从而得到结果；（）可取值为.计算出相应的概率值，得到分布列与期望.【详解】（）由题意得，第一组工人人，其中在内（不含）生产完成一件产品的有人甲车间工人中生产一件产品时间少于的人数为（人）第二组工人人. 其中在内（不含）生产完成一件产品的有人乙车间工人中生产一件产品时间少于的人数为（人）（）第一组平均时间为.第二组平均时间为.，乙车间工人生产效率更高；（）由题意得，第一组生产时间少于的工人有人，从中抽取人，其中生产时间少于的有人.可取值为.，的分布列为：数学期望.【点睛】本题考查统计图表的处理，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题19.如图，等腰梯形中，,为中点，将沿折到的位置.证明：；当四棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】证明见解析； .【解析】【分析】（）要证，转证平面即证；（）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系，分别计算出两个半平面对应的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】证明：在等腰梯形中，连接，交于点.，四边形为平行四边形，为等边三角形，在等腰梯形中，,.，翻折后可得：，又平面，平面，平面.平面,.当四棱锥的体积最大时平面平面又平面平面，平面,，平面.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系，由题意得，各点坐标为，, ；,设平面的一个法向量为.则，即，设，则，所求二面角为钝角，所求二面角的余弦值为.【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题20.已知椭圆：的短轴端点为，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.（）求动点的轨迹方程；（）求四边形面积的最大值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）设，结合垂直关系设出两直线的方程，相乘即可得到动点的轨迹方程；（）利用根与系数的关系表示四边形面积，转求函数最值即可.【详解】（）法一：设， 直线 直线 得又，整理得点的轨迹方程为法二：设， 直线 直线 由,解得：，又，故，代入得.点的轨迹方程为法三：设直线，则直线 直线与椭圆的交点的坐标为.则直线的斜率为.直线 由 解得:点的轨迹方程为：（）法一：设，由（）法二得：四边形的面积，当时，的最大值为.法二：由（）法三得：四边形的面积 当且仅当时，取得最大值.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.已知，函数，.（）讨论的单调性；（）若是的极值点，且曲线在两点， 处的切线互相平行，这两条切线在轴上的截距分别为，求的取值范围.【答案】当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增； .【解析】【分析】（）求出导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到函数的单调性；（）由是的极值点可知a=1，利用切线平行可得，同理，构建新函数即可得到的取值范围.【详解】（）. 当时，在上恒成立. 在上单调递减，无单调递增区间；当，且，即时，在上恒成立. 在上单调递减，无单调递增区间；当，且，即时，在上，在上， 在上单调递减，上单调递增.综上，当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增.（）是的极值点，由可知设在处的切线方程为在处的切线方程为若这两条切线互相平行，则，令，则，同理，【解法一】 设，在区间上单调递减，即的取值范围是【解法二】 令，其中 函数在区间上单调递增，. 的取值范围是【解法三】 设，则，函数在区间上单调递增， 的取值范围是.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线：，从原点作射线交于点，点为射线上的点，满足，记点的轨迹为曲线.（）求出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线交于，两点，求的值.【答案】（），；（）3.【解