湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2020学年高一数学下学期优生联考试题（含解析）

2020学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高一（下）3月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】， ，故选D.2.若直线：过点，：，则直线与 A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 相交于点【答案】C【解析】【分析】利用直线：过点，求出a，求出两条直线的斜率，即可得出结论【详解】解：直线：过点，直线：的斜率为2，：的斜率为，直线与：互相垂直故选：C【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础3.设，则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】， ，故选：B4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的5.已知函数，若，则等于A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用分段函数转化方程求解即可【详解】函数，若，可得，可得，解得，故选：C【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的零点与方程根的关系，是基础题6.一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是组合体，上半部分是半径为1的球的四分之一，下半部分是棱长为2的正方体，再由正方体及球的体积公式求解【详解】由三视图还原原几何体如图：由图可知，该几何体是组合体，上半部分是半径为1的球的四分之一，下半部分是棱长为2的正方体，则该机器零件的体积为故选：C【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题7.如图，为正方体，下面结论：平面；平面；直线与所成的角为45其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】中，由正方体的性质得，所以平面，故正确；中，由正方体的性质得，而是在底面内的射影，由三垂线定理知，故正确中由正方体的性质得，由知，同理可证，故平面内的两条相交直线，所以平面，故正确；中异面直线与所成的角就是直线与所成的角，故为异面直线与所成的角，在等腰直角中，故直线与所成的角为45，故正确；故答案选8.已知函数其中e为自然对数的底数，a、b、且满足，则的值A. 一定大于零B. 一定小于零C. 可能等于零D. 一定等于零【答案】B【解析】【分析】由条件可得可得函数为奇函数，且在R上单调递减，由，利用单调性和奇偶性可得【详解】由于，可得，从而可得函数为奇函数，显然，在R上单调递减根据，可得，故有，故选：B【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，奇函数的性质应用，属于中档题9.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 ，可得 ， 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当时， ，令 得：，得出函数在上是增函数，排除B，故选A.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项10.设定义域为的函数，则关于的方程有个不同实数解的充要条件是( )A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】因为，所以由题设可知不成立，排除答案B；当时，如取，则无解，故应排除答案A；若，也不合题意，所以答案D；当且时，方程可化为符合题意，应选答案C。点睛：解答本题所运用的数学思想方法不是正面进行求解，而是采用排除、筛选的方法，将题设提供的四个选择支中的四个答案逐一分析推断，排除和剔除错误的答案，选出正确的命题的答案，从而使得问题获解。11.若的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出函数的图象，再根据的几何意义求解【详解】由得，其图象如图所示设，则直线经过A点时t取最小值，经过B点时t取最大值，又因为，故t的最小值为，当直线与半圆且与点B时t取得最大值，由点到直线的距离公式可知，又，故，从而t的取值范围是，故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题12.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”已知直线，,和圆：相切，则实数的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】当两平行直线和圆相交时，由，求得a的范围，当两平行直线和圆相离时，由，求得a的取值范围再把以上所求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求【详解】当两平行直线和圆相交时，有，解得当两平行直线和圆相离时，有，解得或故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求故所求的a的取值范围是或，故选：D【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 .【答案】60【解析】取BC的中点E，则,则即为所求，设棱长为2，则,。14.设，若恰有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】画出分段函数的图象，然后求解函数的最值，得到m的范围【详解】的图象如图：，是二次函数的一部分，时取得最大值4，是指数函数的一部分的图象，时，由题意可知故答案为：【点睛】本题考查函数的零点以及函数与方程的应用，数形结合是解题的关键，考查计算能力15.三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长是的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】取AC中点G，连接DG，BG，得到两个三角形中心E，F，进而得到球心O，在三角形OEB中，求得半径，得解【详解】如图，取AC中点G，连接DG，BG，E，F分别为中心，外接球球心为O，易知OEGF为正方形，求得，故答案为：【点睛】此题考查了三棱锥外接球，难度适中16.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即，则_写出所有正确结论的编号四面体ABCD每个面的面积相等四面体ABCD每组对棱相互垂直连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确故答案为：【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，若函数在区间上的最大值为，最小值为，令求的函数解析式；不要证明，请直接写出函数的单调区间，并求的最大值【答案】（1）；（2）在上单调递减，在上单调递增，最大值为4.【解析】【分析】根据题意，分析可得，由a的范围分析可得，讨论a的取值范围，分析可得；由的结论，分析的单调性，据此分析可得答案【详解】解：根据题意，由得，则，当，即时，；当，即时，则；在上单调递减，在上单调递增，且的图象连续不断；又由，所以的最大值是【点睛】本题考查二次函数的性质，涉及函数的最值，注意讨论a的取值范围18.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明AC平面PBD即可。（2）由PD平面EAC可得：E为线段PB的中点，利用体积转换即可求解.【详解】（1）由底面ABCD是菱形可得：ACBD，又PD平面ABCD，所以PDAC.PD和BD为平面PBD的两条相交直线，所以AC平面PBD，又AC平面EAC所以平面EAC平面PBD.（2）由PD平面EAC可得：,又O为BD的中点，所以E为线段PB的中点，由题可得：,所以.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查转化思想及空间思维能力，还考查了体积计算，属于基础题。19.已知平面五边形是轴对称图形(如图1)，BC为对称轴，ADCD，AD=AB=1，将此五边形沿BC折叠，使平面ABCD平面BCEF，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（1）证明：AF平面DEC；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析，（2）【解析】试题分析：（1）作 交 于点 ，连接 由已知条件得 所以 面同理： 面 由此能证明 平面AFB （2）过G作GHAD于点H，连接HE.由（1）知EGBC，又平面ABCD平面BCEF，平面ABCD平面BCEF=BC，所以EG平面ABCD，所以EGAD.可得AD平面EHG，则ADHE，则EHG即为二面角的平面角. 在中，即可求出二面角 的余弦值试题解析：（1）如图，过D作DGBC于点G，连接GE，因为BC为对称轴，所以ABBC，则有ABDG，又AB平面ABF，所以DG平面ABF，同理EG平面ABF.又DGEG=G，所以平面DGE平面ABF.又平面AFED平面ABF=AF，平面AFED平面DGE=DE，所以AFDE，又DE平面DEC，所以AF平面DEC.（2）如图，过G作GHAD于点H，连接HE.由（1）知EGBC，又平面ABCD平面BCEF，平面ABCD平面BCEF=BC，所以EG平面ABCD，所以EGAD.又EGHG=G，所以AD平面EHG，则ADHE，则EHG即为二面角的平面角. 由ADCD，AD=AB=1，得G为BC的中点，.因为为直角三角形，所以，则二面角的余弦值为.点睛：作二面角的平面角主要有3种方法： （1）定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条射线所夹的角即为二面角的平面角； （2）垂面法：作垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角即为二面角的平面角； （3）三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）作另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再作棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则ACB即为该二面角的平面角.20.已知，直线l：，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆心C也在直线上，过A作圆C的切线，求切线方程；若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】根据圆心在直线l：上也在直线上，求得圆心坐标，可得过A的圆C的切线方程设圆C的方程为，再设，根据，求得圆D：，根据题意，圆C和圆D有交点，可得，即，由此求得a的范围【详解】根据圆心在直线l：上，若圆心C也在直线上，则由，求得，可得圆心坐标为设过的圆C的切线，斜率显然存在，设方程为，即，根据圆心到直线的距离等于半径1，可得，求得或，切线方程为或根据圆心在直线l：上，可设圆的方程为若圆C上存在点M，使，设，化简可得，故点M在以为圆心、半径等于2的圆上根据题意，点M也在圆C上，故圆C和圆D有交点，即，求得，且，解得【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，求圆的标准方程，属于中档题21.已知函数，函数若函数在和上单调性相反，求的解析式；若，不等式在上恒成立，求a的取值范围；已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数a的范围【答案】（）；（）；（）.【解析】【分析】若函数在和上单调性相反，得到是对称轴，进行求解即可求的分析式；利用参数分离法将不等式在上恒成立转化为求最值问题即可，求a的取值范围；根据函数零点和方程之间的关系，判断函数的单调性，即可得到结论【详解】由单调性知，函数为二次函数，其对称轴为，解得，所求依题意得，即在上恒成立，转化为在上恒成立，在上恒成立，转化为在上恒成立，令，则转化为在上恒成立即，所以，设，则原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点当时，在内为减函数，为增函数，且，函数在区间有唯一的交点；当时，图象开口向下，对称轴为，在内为减函数，为增函数，且，.当时，图象开口向上，对称轴为，在内为减函数，为增函数，则由，.综上，所求a的取值范围为【点睛】本题主要考查一元二次函数的性质，以及不等式恒成立问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度22.已知圆经过两点，且圆心在直线l：上求圆的方程；求过点且与圆相切的直线方程；设圆与x轴相交于A、B两点，点P为圆上不同于A、B的任意一点，直线PA、PB交y轴于M、N点当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论【答案】（）；（）或；（）经过定点【解析】【分析】设圆圆心为，由求得a的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程当切线斜率不存在时，求得的方程；当切