内蒙古鄂尔多斯西部四校2020届高三数学下学期期中联考试卷 文（含解析）

内蒙古鄂尔多斯西部四校2020届高三下学期期中联考数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合，由可知，由此可得结论.【详解】，因为，所以.因为，所以都满足条件，显然不满足条件.故选D.【点睛】本题考查交集以及集合的包含关系，属基础题.2.设复数满足：（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的乘法运算计算即可.【详解】因为，所以故选C.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属基础题.3.已知实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. -2 C. D. 4【答案】C【解析】【分析】作出如图所示的可行域，平移直线即可得到的最大值.【详解】作出如图所示的可行域为三角形（包括边界），把改写成，当且仅当动直线过点时，取得最大值为故选C.【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属基础题.4.的内角的对边分别为，已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得，因为，所以，则或，分情况讨论利用两角和的正弦公式可得的值.【详解】由正弦定理得，所以，因为，所以，所以或，若，则.若，则.故选【点睛】本题考查利用正弦定理以及两角和的正弦公式解三角形，注意对C解析分类讨论.属中档题.5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.下边的流程图是秦九韶算法的一个实例.如下边的流程图，若输入的值分别为3,3，且输出的值为0，则的值为（ ）A. 3 B. -1 C. 1 D. 5【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时，满足条件，退出循环，因为输出的值为，则由此可求出的值.【详解】输入，第一次循环，；第二次循环，；结束循环，因为输出，故，所以.故选B.【点睛】本题主要考察了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式计算即可.【详解】.故选D .【点睛】本题考查倍角的余弦公式的应用，属基础题.7.在空间坐标系中，已知四点的空间坐标分别为，以垂直于平面的方向为主视图的正方向，则三棱锥的左视图可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将三棱锥置于正方体中，由此可得三棱锥的左视图.【详解】如图，在正方形中，以分别为轴建立坐标系，则的位置如图，三棱锥的左视图中，的射影分别是，所以选.【点睛】本题考查几何体三视图的画法，属中档题.8.设，则从大到小排序为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性和对数的运算性质比较即可【详解】由已知得，故选A.【点睛】本题考查利用对数函数的单调性和对数的运算性质比较大小，属中档题.9.设椭圆的左、右焦点分别为，已知，过的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意在 中根据余弦定理可得，在 中，由，可得，求出，即可得到椭圆的离心率.【详解】根据题意在 中根据余弦定理可得，在 中，因为，所以，所以，所以椭圆的离心率为.故选A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是利用余弦定理得到，.10.对于三次函数，定义是的导函数的导函数，经过讨论发现命题：“一定存在实数，使得成立”为真，请你根据这一结论判断下列命题：一定存在实数，使得成立；一定存在实数，使得成立；若，则；若存在实数，且满足：，则函数在上一定单调递增，所有正确的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，可判断，由三次函数的对称中心判断；利用导数判断函数单调性判断；【详解】，因为，所以正确，但不一定正确.由已知命题得，函数关于点中心对称，所以正确.若存在实数，且满足：，则函数在上可以单调递增，也可以单调递减，所以不正确.故选C.【点睛】本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题11.在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一斜率为1的直线，与抛物线相交于两点，过线段的中点作一条垂直于轴的直线，与直线交于，若三角形的面积为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出直线：，代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式的求出点坐标，求出点坐标，由此表示出三角形的面积为，由三角形的面积为，即可求出.【详解】设直线的方程为，与联立消去得，设，则，因为是的中点，的坐标为，所以，所以三角形的面积为，因为三角形的面积为，所以，所以，所以.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线的位置关系，以及化简，整理，运算能力，属于中档题12.若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】关于的不等式在区间上恒成立，关于的不等式在区间上恒成立.，分和分类讨论，注意时结合函数图像求出实数的取值范围，最后求并集即可.【详解】关于的不等式在区间上恒成立关于的不等式在区间上恒成立.显然当时，关于的不等式在区间上恒成立.当时，在同一坐标系内分别作出，的图象，所以关于的不等式在区间上恒成立 点的位置不低于点的位置.综上，实数的取值范围为.故选B.【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查等价转化思想，数形结合思想，是一道中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求出所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【详解】从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为. 即答案为.【点睛】本题考查概率的求法，涉及到直线、组合、概率等知识，属于中档题14.在直角三角形中，已知，又分别为的中点，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意利用向量的线性运算将用表示，结合向量数量积的运算性质即可得到结果.【详解】根据题意可得，故答案为.【点睛】本题考查向量的线性运算及向量数量积的运算性质，属中档题.15.已知正三棱锥的全面积为，底面边长为2，三角形的中心为，则以为球心，为半径的球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】设正三棱锥的侧面的斜高为，利用正三棱锥的全面积为，求出，根据题意即为球的半径，所以根据勾股定理可得，由此可得球的表面积.【详解】设正三棱锥的侧面的斜高为，则，所以，所以，所以以为球心，为半径的球的表面积为.【点睛】本题考查正三棱锥的由性质及其技术，考查球的表面积，属中档题.16.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象与函数的图象重合，则的值为_.【答案】【解析】【分析】将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，由已知得，的图象与函数的图象重合，由此可求的值.【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，由已知得，的图象与函数的图象重合，比较可得的值为.【点睛】本题考查 图象的变换，属于基本知识的考查三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.在正项无穷等差数列中，为其前项和，若，成的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，结合等差数列的通项公式可求d，进而可求通项（2）由（1）可得，则 是以 为首项，以为公比的等比数列，由此可求.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知得，所以解得或（舍去）.所以.（2）因为，所以，则 是以 为首项，以为公比的等比数列，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式的简单应用，发现是 是以 为首项，以为公比的等比数列，求解本题的关键18.如图，在多面体中，已知，平面平面，为的中点，连接.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）过作于. 则，进而得到四边形为矩形，所以，取的中点为，连接.证明四边形为平行四边形，则， 即可证明平面.（2）证明三棱锥的体积等于三棱锥的体积，等于三棱锥的体积，则由可求三棱锥的体积.【详解】解：（1）证明：过作于. 因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，取的中点为，连接.因为为的中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面.所以平面.（2）因为平面平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面，因为，所以，因为平面平面，平面，所以平面，因为四边形为平行四边形，所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，等于三棱锥的体积，所以三棱锥的体积.【点睛】本题考查线面平行的证明没看出几何体体积的求法，属中档题.19.某市10000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试，从中随机抽取100名学生的测试成绩，制作了以下的测试成绩（满分是184分）的频率分布直方图.市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工，划定的招聘录取分数线为172分，且补助已经被录取的学生每个人元的交通和餐补费.（1）已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分，求技能测试成绩的中位数，并对甲、乙的成绩作出客观的评价；（2）令表示每个学生的交费或获得交通和餐补费的代数和，把用的函数来表示，并根据频率分布直方图估计的概率.【答案】（1）中位数，甲的成绩与中位数接近，乙的成绩超过中位数；（2）.【解析】【分析】（1）设技能测试成绩的中位数为分，由频率分布直方图可求得，则甲的成绩与中位数接近，乙的成绩超过中位数.（2）根据题意可得，因为，由率分布直方图可估计的概率.【详解】解：（1）技能测试成绩的中位数为分，则， 解得，所以甲的成绩与中位数接近，乙的成绩超过中位数.（2）根据题意可得因为，由频率分布直方图估计的概率为，所以根据频率分布直方图估计得，的概率为0.12.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用20.在平面直角坐标系中，过椭圆右顶点的直线交椭圆于另外一点，已知点的纵坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点分别在直线的上、下方，设四边形的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，根据点的纵坐标为代入直线方程可得的坐标为 ，将点坐标代入椭圆的方程，可求出，由此得到椭圆的方程；（2）设，直线的方程为，代入得，利用韦达定理可得，则四边形的面积为故，由此可求的取值范围.【详解】解：（1）由已知得，根据点的纵坐标为代入直线方程可得的坐标为 ，将点坐标代入得，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，直线的方程为，代入得，因为，所以，所以四边形的面积为，所以，因为，所以，所以的取值范围是.【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题21.已知函数.（1）求的极小值和极大值；（2）设曲线的切点横坐标为，切线斜率为，令，当切线在轴上的截距为正时，求的取值范围.【答案】（1）的极小值为，的极大值为；（2）.【解析】【分析】（1）的定义域为，令得，列表可求的极小值和极大值.（2）由题可得曲线的切线的斜率为，切线的方程为，由切线在轴上的截距为正可得，则，令，可求的取值范围.【详解】（1）的定义域为，令得，-0+0-单调减极小值单调增极大值单调减所以的极小值为，的极大值为.（2）由题可得曲线的切线的斜率为，切线的方程为，令得，解得，所以，令，所以，其中，所以，当且仅当时取等号，所以的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线斜率，切线方程及利用导数研究函数的单调性、极值等知识，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法，考查运用能力，属难题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知动点都在曲线（为参数，是与无关的正常数）上，对应参数分别为与，为的中点.（1）求的轨迹的参数方程；（2）作一个伸压变换：，求出动点点的参数方程，并判断动点的轨迹能否过点.【答案】（1）（为参数，是与无关的正常数）；（2）动点点的参数方程为，不能过点.【解析】【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）由已知得，动点点的参数方程为两等式平方后相加得，若动点的轨迹过点，则，导出矛盾.【详解】解：（1）依题意得，因此，的轨迹的参数方程为（为参数，是与无关的正常数）.（2）由已知得，动点点的参