上海市闸北区2020届高三数学上学期期末练习试卷试题 理 沪教版

上海市闸北区2020届高三上学期期末练习试卷（数学理）考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有20道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分1方程的全体实数解组成的集合为_2不等式的解集为 3设，则数列的各项和为 4等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于 . 5若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 6从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为 （用数字作答）7在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为 8设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为 9A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 10关于的不等式（）的解集为 11如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记，梯形面积为则关于的函数解析式及定义域为 二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12设直线与的方程分别为与，则“”是“”的 【 】A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件13曲线的长度为 【 】A B C D14已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中表示数列的前项和则 【 】A B C D15在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若，则；若，则；若，则，对于任意，；对于复数，若，则.其中所有真命题的个数为 【 】A1 B2 C3 D4三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤16（14分）已知函数有最小值（1）求实常数的取值范围；（2）设为定义在上的奇函数，且当时，求的解析式17（14分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值18（15分）证明下面两个命题：（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；（2）余弦定理：如右图，在中，、所对的边分别为、，则19（16分）椭圆的左、右焦点分别是，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，成等差数列（1）求证：；（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程20（16分）设和均为无穷数列（1）若和均为等比数列，试研究：和是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）2020学年第一学期高三理科数学期末练习卷参考答案与评分标准一、1； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8； 9；10； 11，二、12B 13D 14C 15B三、16解：（1）3分所以，当时，有最小值，3分（2）由为奇函数，有，得 2分设，则，由为奇函数，得 4分所以，2分17解：（1）设中角的对边分别为，则由，4分可得，2分（2）5分，所以，当，即时，3分18证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，由题设为常数1分由基本不等式2：，可得：， 4分当且仅当时，等号成立， 1分即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值 1分证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 1分于是，长方形的面积， 4分所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形2分（2）证法一： 4分 故，4分证法二 已知中所对边分别为以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，4分故，4分证法三 过边上的高，则 4分故，4分19解：（1）由题设，得， 由椭圆定义，所以，3分设，：，代入椭圆的方程，整理得 ，（*）2分则，于是有， 4分化简，得，故， 1分（2）由（1）有，方程（*）可化为 1分设中点为，则，又，于是 2分由知为的中垂线， 由，得，解得， 2分故，椭圆的方程为1分20解：（1）设，则设（或）当时，对任意的， （或）恒成立，故为等比数列； 3分1分当时，证法一：对任意的，不是等比数列2分证法二：，不是等比数列 2分注：此处用反证法