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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识巧学一、两直线平行的判定1.如果两条直线的倾斜角都是90,即斜率均不存在,那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90,即斜率均存在,那么有l1l2k1=k2.3.在判断两条直线是否平行时,首先判断两条直线的斜率是否存在,若存在且相等,则二者平行;若二者斜率均不存在,仍然平行.误区警示 这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明,教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线l1、l2可能重合时,我们得到k1=k2用上述的结论可以证明三点共线问题.二、两直线垂直的判定1.如果两条直线l1、l2中的一条与x轴平行(或重合),另一条与x轴垂直(也即与y轴平行或重合),即两条直线一条的倾斜角为0,另一条的倾斜角为90,从而一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线l1、l2的斜率都存在,且其中一个不为0,那么l1l2k1k2=-1.方法归纳 在判断两条直线是否互相垂直时,如果两条直线的斜率都存在且不为0,则由乘积是否为-1来判断是否垂直;如果一条直线的斜率不存在,另一条的斜率为0,则二者仍垂直.问题探究问题1 三条直线两两相交,它们能否构成三角形?探究:不一定,当三条直线交于同一点时,它们就不能构成三角形.问题2 如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合?探究:设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,记D1=A1B2-A2B1,D2=B1C2-C1B2,D3=A1A2-B1B2.当D10时,l1与l2相交;当D1=0,D20时,l1与l2平行;当D1=D2=0时,l1与l2重合;当D3=0时,l1与l2垂直.问题3 木工为了锯木板,需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线,记为l1,为防第一次弹线不清晰,第二次在原位置重弹一次,得直线l2;若平行移开,弹第三次线,记为l3;若换成与l2垂直方向弹线,得直线l4,问l1与l2、l3、l4的关系如何?探究:由题意容易分析判断,l1与l2重合,而平行移开弹线,所以l1与l3平行,l4与l2垂直,所以l1与l4垂直.典题热题例1 直线l1:2x+my+4=0与直线l2:(m+1)x+3y-2=0平行,则实数m的值为( )A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3思路解析:(方法一)当m=0时,直线l1的斜率不存在,而l2的斜率存在,所以l1与l2不平行; 当m0时,若l1l2,则有,解得m=2或m=-3.经验证,当m=2或m=-3时,两条直线平行.故应选C.(方法二)利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.所以应选C.答案:C误区警示 在求解此类问题时,一定要注意当两直线斜率都不存在时,也有可能平行.例2 如图3-1-2所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1-2t,2+t)、R(-2t,2),其中t0. 试判断四边形OPQR的形状.图3-1-2思路解析:判断四边形的形状,首先看每对边的关系,再看邻边的关系,判断平行只需研究其斜率之间的关系即可.公式可得:kOP=,kQR=,kOR=,kPQ=.kOP=kQR,kOR=kPQ. 从而OPQR,ORPQ.四边形OPQR为平行四边形. 又kOPkOR=-1,OPOR.故四边形OPQR为矩形.方法归纳 判断两直线平行的方法,重点是利用过两点的直线的斜率公式,求出相关直线的斜率,通过观察找出其中斜率相等的直线,从而确定两直线平行.例3 绕倾斜角为30的直线l上一点P(2,1)按逆时针方向旋转30得到直线l1,且l1与线段AB的垂直平分线互相平行,其中A(1,m-1)、B(m,2),求m的值.思路解析:由题意,需求出直线AB的斜率,而AB的斜率与直线l1的斜率互为负倒数,直线l1的倾斜角可求,从而斜率也可求. 如图3-1-3,直线l1的倾斜角为30+30=60,所以l1的斜率k1=tan60=.图3-1-3 又直线AB的斜率为,所以AB的垂直平分线的斜率为.因为l1与AB的垂直平分线平行,所以.解得m=.深
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