吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学下学期大练习试题（九）文（含解析）

吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学下学期大练习试题（九）文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的元素个数为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 5【答案】B【解析】【分析】先根据的定义可以求出交集，然后判断交集的元素的个数。【详解】因为=，所以的元素个数为2个，故本题选B。【点睛】本题考查了集合交集运算、以及集合元素个数。2.复数（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据复数的运算可知，可知的模为，故本题正确选项为A.考点：复数的运算与复数的模.3.函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把，化成或者形式，然后根据公式,可以直接求解。【详解】由，可得：，所以本题选A。【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式、辅助角公式、周期公式。4.已知向量，若，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用坐标表示出，根据垂直关系可知，解方程求得结果.【详解】， ，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.5.若双曲线一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由渐近线方程可以知道的关系，再利用这个关系，可以求出的关系，也就可以求出离心率。【详解】双曲线的一条渐近线方程为，所以有，即，而，所以有，故本题选B。【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率、三者之间的关系。6.已知一个空间几何体三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】通过三视图可以知道该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，根据棱柱的体积公式，直接求解。【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其底面是直角边边长分别为的直角三角形，高为，故本题选B。【点睛】本题考查了通过三视图判断出几何体的形状、并求出其体积。7.若、满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 0B. -1C. -2D. -3【答案】C【解析】【分析】画出可行解域，画出直线，平移直线，找到使直线在轴截距最大的点，把坐标代入即可求出的最小值。【详解】画出可行解域如下图：平移直线 ，当经过交点时，直线在轴截距最大，即有最小值，最小值为，故本题选C。【点睛】本题考查了线性规划问题，解决此类问题的关键是画出正确的可行解域.8.已知， 则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据单调性可知；利用对数函数单调性和幂函数单调性可知、，利用作商法可比较出的大小关系，从而得到结果.【详解】，即，即，即 综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小的问题，涉及到作商法比较大小.9.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设是非零实数，且满足，则（ ）A. 4B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】已知， 对左边分式的分子分母同时除以，令=tan,构造成“”的结构，利用正切的和角公式化简，然后求出tan的值。【详解】不等于零 ，令=tan，所以，故本题选D。【点睛】本题考查了两角和的正切公式。本题重点考查了类比构造法。10.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.【详解】根据题意可知，第一天，所以满足，不满足，故排除AB，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有，且，所以循环条件应该是.故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.11.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，问题求的是，首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出的可能性有多少种，然后求出.【详解】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有种情况，当时，可能的情况如下表：个数11，2，3，4，5522，3，4，5433，4，5344，52551，故本题选C.【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.12.已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 4【答案】D【解析】依题意点的坐标为，设在准线上的射影为，由抛物线的定义知 ，则 ， ，求得 ，故选D.二、填空题。13.已知函数，当时，函数的最大值为_ .【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。【详解】因为，所以函数是上的增函数，故当时，函数的最大值为。【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题。14.已知函数是奇函数，当时，则的值为 _【答案】【解析】【分析】先求出的值，设为，判断是否大于零，如果大于零，直接求出的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质，进行求解。【详解】= ， 函数是奇函数，所以的值为。【点睛】本题考查了奇函数性质、对数的运算。15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球 的表面积为_【答案】【解析】【分析】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，求出长方体的对角线，就可以求出外接球的直径，最后求出球的表面积。【详解】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：,所以球的直径为6，球的表面积为。【点睛】本题考查了利用补形法求直三棱柱外接球的表面积。16.在中，已知，给出下列结论：由已知条件，这个三角形被唯一确定；一定是钝角三角形；若，则的面积是.其中正确结论的序号是 _【答案】【解析】【分析】根据正弦定理及三角形面积公式，余弦定理，逐一分析选项即可.【详解】因为(bc)(ca)(ab)456，设，可解得，对于，边长不确定，所以错误，对于由余弦定理，可知A为钝角，ABC一定是钝角三角形，所以正确，对于由正弦定理知,正确，对于由，又,故错误.【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，三角形面积公式求面积，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列中，（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）或.（2）或.【解析】【分析】通过等差数列的通项公式，求出的表达式，然后代入，中，得到方程组，解这个方程组，求出。（1）已知的值，直接代入等差数列的通项公式中，求出的通项公式（2）已知的值，直接代入等差数列前项和公式中，求出的前项和。【详解】解：设的公差为，则，即，解得，或，（1），.（2），或.【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法、通项公式、等差数列前项和。18.如图所示，四棱锥中，底面，为线段上一点，.（1）证明：平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）想要证明线面平行，就要证线线平行。取的中点，可以证明，进一步可以证明，这样根据平行四边形的性质可以得到线线平行，命题得证；（2）根据平面，为的中点，可以求出到平面的距离，利用等积法可以求出四面体的体积。【详解】解：（1）证明：由已知得.如图，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，又平面，从而证得平面；（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为，如图，取的中点，连接. 由得，则.故.所以四面体的体积.【点睛】本题考查了线面平行的判定，一般取中点是常见的方法。同时本题也考查了利用等积法求三棱锥的体积。19.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数（万人）13981012原材料（袋）3223182428（1）根据所给5组数据，求出关于的线性回归方程；（2）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）.参考公式：，.参考数据：，.【答案】(1) .（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】试题分析：（1）根据公式求出b，再将样本中心代入求出a，进而得到回归方程；（2），利润为赚的钱减去花出去的钱，根据分段函数的表达式，分段列出利润表达式，分别讨论利润的最值，最终取分段函数中较大的利润值.解析：(1)由所给数据可得：，则关于线性回归方程为.(2)由(1)中求出线性回归方程知，当时，即预计需要原材料袋，因为，所以当时，利润，当时，；当时，利润，当时，.综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元.20.已知椭圆的右焦点为，设直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点.（1）若直线的倾斜角为，求的值；（2）设直线交直线于点，证明：直线.【答案】（1）;（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）设，根据图形可知，直线的方程为，代入椭圆方程得到根与系数的关系，这样可求得三角形的面积；（2）设直线的方程为与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再根据三点共线，那么,得到坐标间的关系，若，即说明.试题解析：由题意，知，1分（1）直线的倾斜角为，1分直线的方程为2分代入椭圆方程，可得设4分6分（2）设直线的方程为代入椭圆方程，得设，则8分设，三点共线，有，9分而11分直线轴，即12分考点：直线与椭圆的位置关系21.设函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，求证：函数在上有唯一零点.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析【解析】【分析】（1）求导后，可知当时，函数在定义域内单调递增；当时，求出导函数等于零的点，从而可得到导函数在不同区间的符号，进而得到单调性；（2）利用导数可判断出函数的单调性，结合即可证得结论.【详解】（1）由得：当时，即在上单调递增；当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）证明：由已知得：则 当时，则当时，则上单调递减，在上单调递增又在上有唯一零点【点睛】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、研究函数零点个数的问题.判断零点个数的关键是通过判断函数的单调性，得到函数的最值，从而结合最值和函数的单调性，利用函数图象可判断出零点的个数.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围.【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标力程为（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；（2）设的极坐标方程为，分别与和的极坐标方程联立，可得和，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线的方程为，的极坐标方程为，的方程为，其极坐标力程为.（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为，联立与的极坐标