宁夏六盘山高级中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理（含解析）

宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合，则中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可求出，从而得出元素的个数【详解】； ； 中元素的个数为2 故选：B【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，集合元素的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.满足i(i为虚数单位)的复数z等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】得，故选B3.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数为奇函数排除A；再由当x+时，y+，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案【详解】函数的定义域为（-，0）（0，+），且f（-x）=-f（x），函数为奇函数，排除A；又当x+时，y+，排除B；而x0时，,可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数的部分图象大致为C故选C【点睛】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题4.已知向量，满足， ()A. 6B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知可求，然后由，代入即可求解【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，熟记模的计算公式即可，属于基础试题5.设的内角的对边分别是，若，则 ()A. 1B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求的值，根据余弦定理即可解得的值【详解】，由余弦定理，可得：，可得：，解得：，或(舍去)故选：D【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题6.已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为，可得关于的方程，求出，由此能求出双曲线的渐近线方程【详解】抛物线的焦点为，双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为A. 66B. 33C. 16D. 8【答案】A【解析】初始值，程序运行过程如下：,;跳出循环，输出的值为,故选A.8.已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.9.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用圆中弓形面积为,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.【详解】由圆中弓形面积为可知：弓形的面积.设圆的半径为，则，解得，所以圆的面积，所以质点落在弓形内的概率为,故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案考点：异面直线所成的角【此处有视频，请去附件查看】11.已知定义在上的奇函数满足，当时，则函数在区间上所有零点之和为()A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性和对称性，推出函数的周期性，根据函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，利用对称性进行求解即可【详解】解：奇函数满足，即是周期为4的周期函数，同时函数关于对称，若，则，即，若，则，此时，若，则，此时，由得，作出函数与，在上的图象，由图象知两个函数图象有4个交点，且四个交点，两两关于点对称，设彼此对称的交点横坐标为，则，得，即，函数在区间上所有零点之和为8，故选：A【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键12.已知点是抛物线上的一个动点，是圆：上的一个动点，则的最小值为（ ）A. B. C. 3D. 4【答案】C【解析】由题意可知圆的圆心坐标，半径为1；抛物线的焦点，虚线为抛物线的准线；为点到虚线的距离且，由抛物线的性质可知，.故可知 。故本题正确答案为C.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设是函数的一个极值点，则_【答案】【解析】【分析】利用可得的值，从而得打的值【详解】因为为的极值点，故即，所以，故，填【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” 另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且14.若满足约束条件则的最小值是_，最大值是_【答案】 (1). -2 (2). 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.15.函数的最小正周期为，则函数在内的值域为_【答案】【解析】【分析】利用两角和的差的三角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性、定义域和值域，得出结论【详解】函数的最小正周期为，则在内，故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的差的三角公式，余弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题16.在三棱锥中，是等边三角形，底面， ，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】设底面中心为，中点为，作图找到球心的位置，平面，利用直角三角形建立方程求得半径，以及球表面积【详解】如图，为底面中心，为中点，球心平面，所以为中点，在中，可得，故外接球表面积为：故答案为：【点睛】此题考查了三棱锥外接球问题，熟记球的体积公式即可，难度适中三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知正项等比数列满足(1)求数列的通项公式；(2)若，已知数列的前n项和为，试证明：恒成立【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1) 设等比数列的首项为，公比为，由题意构建基本量的方程即可得到数列的通项公式；（2），利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，由得，解得，所以数列是以为首项.为公比的等比数列，其通项公式为（2）由（1）知，所以，所以所以.，【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：日需求量 (个)20304050天数510105(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值；现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润的分布列并求出期望，并以此判断此建议该不该被采纳【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)从这30天中任取2天，基本事件总数，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数，由此能求出两天的日需求量均为40个的概率(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为，分虽求出相应的概率，能求出的分布列和，由，得到此建议不该被采纳【详解】(1)从这30天中任取2天，基本事件总数，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数，两天的日需求量均为40个的概率(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为，的分布列为：60140180，该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值，此建议不该被采纳【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.已知椭圆的右焦点与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据抛物线焦点可得,又根据离心率可求,利用，即可写出椭圆的方程（2）由题意可设直线的方程为，联立方程组，消元得一元二次方程，写出，利用根与系数的关系可求存在m.【详解】解：（1）抛物线的焦点是，又椭圆的离心率为，即，则故椭圆的方程为.（2）由题意得直线的方程为由消去得.由，解得.又，.设，则，.，若存在使以线段为直径的圆经过点，则必有，即，解得.又，.即存在使以线段为直径的圆经过点.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，直线和椭圆相交的问题，向量的运算，属于难题.20.如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1) 求证：；(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。【答案】（1）见解析； （2）.【解析】试题分析：本题以直三棱柱为背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问，作出辅助线AD，即可得到，利用面面垂直的性质，得到，再利用线面垂直的性质，得到，同理，得到，利用线面垂直的判定，得到侧面，从而利用线面垂直的性质，得到；第二问，可以利用传统几何法，证明二面角的平面角为，在三角形中，利用边角关系解出角的值，还可以利用向量法，建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用夹角公式计算.试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接， 1分因，则2分由平面侧面，且平面 侧面 ， 3分得，又 平面，所以. 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.又，从而侧面，又侧面，故. 7分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影即为直线与所成的角，则8分在等腰直角中，且点是中点，且，9分过点A作于点，连由（1）知，则，且即为二面角的一个平面角 10分且直角中：又，且二面角为锐二面角，即二面角的大小为14分解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，9分设平面的一个法向量由，得：令，得，则10分设直线与所成的角为，则得，解得，即12分又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得 锐二面角的大小为。 14分考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法.21.已知函数(1)求函数的单调区间和极值；(2)设，且、是曲线上的任意两点，若对任意的，直线的斜率恒大于常数，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）定义域为R，求其导函数，。讨论当当与两种情况下导函数的符号，即可判断单调区间与极值。（2）设是任意的两实数，且，根据的斜率恒大于常数，可得，化简得；构造函数，求导得恒成立，即，进而求得m的取值范围。【详解】（1）由题知定义域为，当时，在上单调递增，即增区间为；则无极值；当时，的解为，当时， 的减区间为；当时， 的增区间为则极小值为，无极大值；（2）设 是任意的两实数，且 ，由题设知 ，故，令函数 ，则在上单调递增，恒成立，对任意的，恒成立，又当时， 故【点睛】本题考查了导数的综合应用，根据对参数分类讨论判断函数的单调性与极值，导数在恒成立问题中的综合应用，是高考的重点和难点，属于难题。22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：(为参数)，点的极坐标为，设直线与曲线相交于两点(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)求的值【答案】（1），（2）1【解析】【分析】（） 利用极坐