山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之导数的应用单调性与极值学案

单调性与极值1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】利用导数求函数的极值；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；导数与函数、不等式等知识相融合的问题；导数与解析几何相综合的问题。【高考要求】B级【基础过关】1 函数的单调性 函数y在某个区间内可导，若0，则为 ；若0，则为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有，则 .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数的 ； 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.2可导函数的极值 极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值称为极大（小）值点. 求可导函数极值的步骤： 求导数； 求方程0的 ； 检验在方程0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y在这个根处取得 .3函数的最大值与最小值： 设y是定义在区间a ,b 上的函数，y在(a ,b )内有导数，则函数y在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行： 求y在(a ,b )内的 值； 将y的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y在a ,b 上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y在a ,b 上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .【典型例题】例1. 已知f(x)=ex-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：=ex-a. （1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+). （2）f（x）在R内单调递增，0在R上恒成立. ex-a0，即aex在R上恒成立. a（ex）min，又ex0，a0. （3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立. aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数. x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立. aex在0，+）上恒成立.a1，a=1. 方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1. （1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； （3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. （1）解 由已知=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数， =3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2对xR恒成立. 3x20,只需a0,又a=0时，=3x20, 故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a0. （2）解 由=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立. -1x1,3x23,只需a3.当a=3时，=3(x2-1), 在x(-1,1)上，0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 f(-1)=a-20,即e-ax(-ax2+2x)0,得0x. f(x)在（-,0),上是减函数，在上是增函数. 当02时,f(x）在（1，2）上是减函数, f（x）max=f（1）=e-a. 当12,即1a2时， f(x)在上是增函数，在上是减函数， f(x)max=f=4a-2e-2. 当2时，即0a1时，f(x)在（1，2）上是增函数， f（x）max=f（2）=4e-2a. 综上所述，当0a2时，f(x)的最大值为e-a. 变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR. （1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)处的切线方程；（2）当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值. 解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,=-3x2+4x-1, -12+8-1=-5, 当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2)处的切线方程为 5x+y-8=0. （2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, =-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令=0,解得x=或x=a. 由于a0，以下分两种情况讨论. 若a0，当x变化时，的正负如下表： x(-,)(,a)a(a,+)-0+0-f(x)0因此，函数f(x)在x=处取得极小值f（）， 且f（）=- 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0. 若a0,=0时,x=12， 当0x0,当x12时，0(0是f（x）在（a，b）内单调递增的_ _条件.5. 函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数 A.（,） B.（,2） C.（, ） D.（2,3）6.已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是 7. 已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程f（x）=0在区间1，2上的根有 8. 若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_.9函数f（x）x2cosx在区间上的最大值为_;在区间0，2上最大值为_ 10已知，奇函数在上单调，则字母应满足的条件是 。11.设f（x）=x32x+5.（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，f（x）m恒成立，求实数m的取值范围.12设f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.13已知函数f（x）=ax3+3x2x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.14若函数y=x3ax2+（a1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数a的取值范围.15.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？剖析本题可