高中数学 《数列的概念》文字素材4 北师大版必修5

数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1q（n1） 若通项公式变形为an=a1/q*qn(nN*),当q0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。 （2) 任意两项am，an的关系为an=amq(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n （4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。 记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质： 若 m、n、p、qN*，且mn=pq，则aman=apaq； 在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G2=ab（G0）”. (5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-qn)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)（q1） Sn=n*a1 （q=1） 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中An表示A的n次方。 等比数列在生活中也是常常运用的。 如：银行有一种支付利息的方式-复利。 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金， 再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期 等差数列公式等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d 或an=am+(n-m)d 前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=(a1+an)n/2 若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq 若m+n=2p则：am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值=首项+（项数-1）*公差 前n项的和=（首项+末项）*项数/2 公差=后项-前项 对称数列公式对称数列的通项公式： 对称数列总的项数个数：用字母s表示 对称数列中项：用字母C表示 等差对称数列公差：用字母d表示 等比对称数列公比：用字母q表示 设，k=(s+1)/2 相关信息一般数列的通项求法一般有： an=Sn-Sn-1 （n2） 累和法（an-an-1=. an-1 - an-2=. a2-a1=.将以上各项相加可得an）。 逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。 特别的： 在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n 2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn 即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列 不动点法（常用于分式的通项递推关系） 特殊数列的通项的写法1,2,3,4,5,6,7,8. -an=n 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8.-an=1/n 2，4，6，8，10，12，14.-an=2n 1,3,5,7,9,11,13,15.-an=2n-1 -1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)n 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)(n+1) 1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1.-an=(-1)(n+1)+1/2 1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0.-an=cos(n-1)/2=sinn/2 9,99,999,9999,99999,. -an=（10n)-1 1,11,111,1111,11111.-an=（10n)-1/9 1，4，9，16，25，36，49，.-an=n2 1,2,4,8,16,32.-an=2(n-1) 数列前N项和公式的求法(一)1.等差数列: 通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 an=ak+(n-k)d ak为第k项数 若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 2.等差数列前n项和: 设等差数列的前n项和为Sn 即 Sn=a1+a2+.+an; 那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 =dn2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 (二)1.等比数列: 通项公式 an=a1*q(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 an=a1*q(n-1),am=a1*q(m-1) 则an/am=q(n-m) (1)an=am*q(n-m) (2)a,G,b 若构成等比中项,则G2=ab (a,b,G不等于0) (3)若m+n=p+q 则 aman=apaq 2.等比数列前n项和 设 a1,a2,a3.an构成等比数列 前n项和Sn=a1+a2+a3.an Sn=a1+a1*q+a1*q2+.a1*q(n-2)+a1*q(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)