2020-2021学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面学案 新人教A版必修2

2.1.1平面学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用(难点、易错点)1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学核心素养2通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的思考：一个平面能否把空间分成两部分？提示因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45角，且横边长等于其邻边长的2倍如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法上图的平面可表示为平面、平面abcd、平面ac或平面bd4平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内al，bl，且a，bl公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面a，b，c三点不共线存在唯一的平面使a，b，c公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线p，pl且pl思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面1用符号表示“点a在直线l上，l在平面外”，正确的是()aal，lbal，lcal，l dal，l答案b2如图所示的平行四边形mnpq表示的平面不能记为()a平面mn b平面nqpc平面 d平面mnpqa表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面mp，选a.3任意三点可确定平面的个数是()a0b1 c2d1或无数个d当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面4将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言表示l，al，ab，ac.解文字语言叙述：点a在平面与平面的交线l上，直线ab，ac分别在平面，内图形语言表示(如图所示).立体几何三种语言的相互转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形(1)平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于点a，b；(2)点a，b在平面内，直线a与平面交于点c，点c不在直线ab上解(1)用符号表示：l，aa，ab，如图(2)用符号表示：a，b，ac，cab，如图三种语言的转换方法：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别1用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面，相交于一点p，且平面与平面相交于pa，平面与平面相交于pb，平面与平面相交于pc；(2)平面abd与平面bdc相交于bd，平面abc与平面adc相交于ac.解(1)符号语言表示：p，pa，pb，pc，图形表示：如图.(2)符号语言表示：平面abd平面bdcbd，平面abc平面adcac，图形表示：如图.点线共面问题【例2】如图，已知：a ，b，aba，pb，pqa，求证：pq.证明pqa，pq 与 a 确定一个平面.直线a，点 p.pb，b，p.又a，与重合pq.解决点线共面问题的基本方法：2求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内解已知：abaca，abbcb，acbcc.求证：直线ab，bc，ac共面证明：法一：因为acaba，所以直线ab，ac可确定一个平面.因为bab，cac，所以b，c，故bc.因此直线ab，bc，ac都在平面内，所以直线ab，bc，ac共面法二：因为a不在直线bc上，所以点a和直线bc可确定一个平面.因为bbc，所以b，又a，所以ab.同理ac，故直线ab，bc，ac共面法三：因为a，b，c三点不在同一条直线上，所以a，b，c三点可以确定一个平面.因为a，b，所以ab，同理bc，ac，故直线ab，bc，ac共面点共线、线共点问题探究问题1如图，在正方体abcda1b1c1d1中，设a1c平面abc1d1e.能否判断点e在平面a1bcd1内？提示如图，连接bd1，a1c平面abc1d1e，ea1c，e平面abc1d1.a1c平面a1bcd1，e平面a1bcd1.2上述问题中，你能证明b，e，d1三点共线吗？提示由于平面a1bcd1与平面abc1d1交于直线bd1，又ebd1，根据公理3可知b，e，d1三点共线【例3】如图，已知平面， ， 且l. 设梯形abcd中，adbc，且ab，cd.求证：ab，cd，l共点(相交于一点).思路探究：证明因为梯形abcd中，adbc，所以ab，cd是梯形abcd的两腰.所以ab，cd必定相交于一点.设abcdm. 又因为ab，cd，所以m，m.所以m.又因为l，所以ml.即ab，cd，l共点(相交于一点).本例变为：如图所示，在空间四边形各边ad、ab、bc、cd上分别取e、f、g、h四点，如果ef、gh交于一点p，求证：点p在直线bd上证明若ef、gh交于一点p，则e，f，g，h四点共面，又因为ef平面abd，gh平面cbd，平面abd平面cbdbd，所以p平面abd，且p平面cbd，由公理3可得pbd. 所以点p在直线bd上.1证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上2证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点1立体几何的三种语言图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换2三个公理的作用公理1判定直线在平面内的依据；公理2判定点共面、线共面的依据；公理3判定点共线、线共点的依据3证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点. 或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上1有以下结论：平面是处处平的面；平面是无限延展的；平面的形状是平行四边形；一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()a1b2c3d4b平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的；两种说法是错误的故选b.2在空间中，可以确定一个平面的条件是()a两两相交的三条直线b.三条直线其中的一条直线与另外两条分别相交c.三个点d三条直线，它们两两相交，但不交于同一点d三条直线若交于同一点，可以有多个平面，共线的三个点可以有多个平面，这里三条两两相交且不共点的直线确定一个平面故应选d.3如果点a在直线a上，而直线a在平面内，点b在平面内，则可以表示为()aaa，a，b baa，a，bcaa，a，b daa，a，bb