2021高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和教学案 理 新人教A版VIP

6.3等比数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与数列的计算、证明、等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查属于中低档题.1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nn*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：sn.3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mn*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kn*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.4在等比数列an中，若sn为其前n项和，则sn，s2nsn，s3ns2n也成等比数列(n为偶数且q1除外)概念方法微思考1将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数2任意两个实数都有等比中项吗？提示不是只有同号的两个非零实数才有等比中项3“b2ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件因为b2ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a0，b0，c1.但a，b，c成等比数列一定有b2ac.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nn*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)如果数列an为等比数列，则数列lnan是等差数列()(3)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sn.()(4)数列an为等比数列，则s4，s8s4，s12s8成等比数列()题组二教材改编2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_.答案解析由题意知q3，q.3公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为()a8b9c10d11答案c解析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.题组三易错自纠4若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为_答案解析1，a1，a2,4成等差数列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b144，且b21q20，b22，.5设sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1mb，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_秒，该病毒占据内存8gb.(1gb210mb)答案39解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n8210213，n13.即病毒共复制了13次所需时间为13339(秒).等比数列基本量的运算1(2020晋城模拟)设正项等比数列an的前n项和为sn，若s23，s415，则公比q等于()a5b4c3d2答案d解析因为s23，s415，s4s212，所以两个方程左右两边分别相除，得q24，因为数列是正项等比数列，所以q2，故选d.2(2019全国)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3等于()a16b8c4d2答案c解析设等比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.3(2019全国)记sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则s5_.答案解析设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以s5.4(2018全国)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记sn为an的前n项和，若sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nn*)(2)若an(2)n1，则sn.由sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则sn2n1.由sm63得2m64，解得m6.综上，m6.思维升华(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q1和q1的分类讨论等比数列的判定与证明例1(2019衡阳模拟)已知数列an，bn满足a11，b1，2an1anbn,2bn1anbn.(1)证明：数列anbn，anbn为等比数列；(2)记sn为数列an的前n项和，证明：sn.证明(1)依题意，有两式相加得，an1bn1(anbn)，又a1b10，anbn为首项为，公比为的等比数列，两式相减得，an1bn1(anbn)，又a1b10，anbn为首项为，公比为的等比数列(2)由(1)可得，anbnn1，anbnn1，得，annn，sn0，则“a2a5”是“a3a5”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析当a21，q1，a5a3q2a3，为充分条件当a3a5时，a3a3q2，若a30则0q21，1q1，1q31，a5a2q31，且2a11a3，即216q，整理可得2q25q20，则q2，则a13，数列an的前6项和s6189.5(2020永州模拟)设等比数列an的公比为q，则下列结论正确的是()a数列anan1是公比为q的等比数列b数列anan1是公比为q的等比数列c数列anan1是公比为q的等比数列d数列是公比为的等比数列答案d解析对于a，由q2(n2)知其是公比为q2的等比数列；对于b，若q1，则anan1项中有0，不是等比数列；对于c，若q1，则数列anan1项中有0，不是等比数列；对于d，所以数列是公比为的等比数列，故选d.6若正项等比数列an满足anan122n(nn*)，则a6a5的值是()a.b16c2d16答案d解析设正项等比数列an的公比为q0，anan122n(nn*)，4q2，解得q2，a222n，an0，解得an，则a6a516，故选d.7已知各项为正数的等比数列an中，a2a316，则数列log2an的前四项和等于_答案8解析各项为正数的等比数列an中，a2a316，可得a1a4a2a316，即有log2a1log2a2log2a3log2a4log2(a1a2a3a4)log22568.8已知等比数列an的前n项和为sn，且a12020，a2a42a3，则s2021_.答案2020解析a2a42a3，a2a42a30，a22a2qa2q20，a20，q22q10，解得q1.a12020，s20212020.9.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为_答案解析由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有122n11023，n10，最小正方形的边长为9.10(2019呼伦贝尔模拟)已知数列an的前n项和为sn，且有an，若s1，sm，sn成等比数列(m1)，则正整数n的值为_答案8解析an，sn1，又s1，sm，sn成等比数列(m1)，ss1sn，即，2m2(m1)2，即m22m10，解得1m1可得m2，n8.11(2018全国)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an，将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.12(2019淄博模拟)已知数列an的前n项和为sn，a1，snsn1an1(nn*且n2)，数列bn满足：b1，且3bnbn1n1(nn*且n2)(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bnan为等比数列(1)解由snsn1an1，得snsn1an1，即anan1(n2且nn*)，则数列an是以为首项，为公差的等差数列，因此an(n1)n.(2)证明因为3bnbn1n1(n2)，所以bnbn1(n1)(n2)，bnanbn1(n1)nbn1n(n2)，bn1an1bn1(n1)bn1n(n2)，所以bnan(bn1an1)(n2)，因为b1a1100，所以数列bnan是以10为首项，为公比的等比数列13(2019山西省太原第五中学月考)各项均为正数的数列an和bn满足：an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列，且a11，a23，则数列an的通项公式为_答案an解析由题设可得an1，an(n2)，代入2bnanan1得2bn(n2)，即2(n2)，则是首项为的等差数列又a11，a23，所以2b14，b12，故b2，则公差d，所以(n1)，即，则an1，所以an.14(2019江西省上饶横峰中学模拟)已知在等比数列an中，an0，aa9002a1a5，a59a3，则a2020的个位数字是_答案7解析由等比数列的性质可得a1a5a2a4，因为aa9002a1a59002a2a4，所以aa2a2a4(a2a4)2900，又因为an0，所以a2a430，又由a59a3，所以a1(qq3)30，a3q29a3，且q0，解得a11，q3，所以a2020a1q201932019(34)50433，所以a2020的个位数字是7.15在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，.设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，xt,2，并记anlog2(1x1x2xt2)，其中t2n1，nn*，求数列an的通项公式解anlog2(1x1x2xt2)，所以an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2log2(12xxxx22)3an1，所以an13，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，所以an3n1，所以an.16已知数列an的前n项和为sn，且数列是首项为3，公差为2的等差数列，若bna2n，数列bn的前n项和为tn，求使得sntn268成立的n的最小值解因为数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以3(n1)2，化简得sn2n2n，则sn12(n1)2(n1)(n2)，所以ansnsn1(2n2n)2(n1)2(n1)4n1(n