2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教学案 理 新人教A版

4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，常与向量、三角恒等变换相结合.考查中渗透分类讨论思想和数形结合思想，题型以选择题为主，低档难度.1.角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是s|k360，kz.2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180rad,1rad，1rad.(3)扇形的弧长公式：lr，扇形的面积公式：slrr2.其中r是半径，(01.()题组二教材改编2.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度.答案3.若角的终边经过点q，则sin_，cos_.答案题组三易错自纠4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案c解析当k2n(nz)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1 (nz)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选c.5.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若a(1，y)是角终边上的一点，且sin，则y_.答案3解析因为sin0，a(1，y)是角终边上一点，所以y0，由三角函数的定义，得.解得y3.6.函数y的定义域为_.答案(kz)解析2cosx10，cosx.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kz).角及其表示1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 ()a.2k45(kz) b.k360(kz)c.k360315(kz) d.k(kz)答案c解析与角的终边相同的角可以写成2k(kz)或k36045(kz)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案c正确.2.设集合m，n，那么()a.mnb.mnc.nmd.mn答案b解析由于m中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而n中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有mn，故选b.3.终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_.答案解析如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.4.若角是第二象限角，则是第_象限角.答案一或三解析是第二象限角，2k2k，kz，kk，kz.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.综上，是第一或第三象限角.思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kz)赋值来求得所需的角.(2)确定k，(kn*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置.弧度制及其应用例1一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l.已知，r10cm，求扇形的面积.解由已知得，r10 cm，s扇形r2102(cm2).若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解lr10(cm)，s弓形s扇形s三角形lrr2sin 10102(cm2).若本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l2r20，则l202r(0r10).所以slr(202r)r10rr2(r5)225，所以当r5 cm时，s取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练1(1)(2019杭州第二中学模拟)若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为()a.b.c.d.答案b解析设扇形的圆心角为，扇形的面积为、半径为1，12，.(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为_.答案解析如图，等边三角形abc是半径为r的圆o的内接三角形，则线段ab所对的圆心角aob，作omab，垂足为m，在rtaom中，aor，aom，amr，abr，设弧长为l，则lr，所求圆心角.三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)已知角的终边与单位圆的交点为p，则sintan等于()a.b.c.d.答案c解析由op2y21，得y2，y.当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .所以sin tan .(2)设是第三象限角，且cos，则是()a.第一象限角b.第二象限角c.第三象限角d.第四象限角答案b解析由是第三象限角知，为第二或第四象限角，cos，cos0，综上可知，为第二象限角.命题点2三角函数线例3(1)函数ylg(2sinx1)的定义域为_.答案(kz)解析要使原函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(kz).(2)若，从单位圆中的三角函数线观察sin，cos，tan的大小关系是_.答案sincostan解析如图，作出角的正弦线mp，余弦线om，正切线at，观察可知sin cos tan .思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点p的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.跟踪训练2(1)(2019临沂月考)已知角的终边过点p(8m，6sin30)，且cos，则m的值为()a.b.c.d.答案c解析由题意得点p(8m，3)，r，所以cos ，解得m，又cos 0，所以8m0，所以m.(2)在(0,2)内，使得sinxcosx成立的x的取值范围是()a.b.c.d.答案c解析当x时，sin x0，cos x0，显然sin xcos x成立；当x时，如图，oa为x的终边，此时sin x|ma|，cos x|om|，sin xcos x；当x时，如图，ob为x的终边，此时sin x|nb|，cos x|on|，sin xcos x.同理当x时，sin xcos x；当x时，sin xcos x，故选c.1.给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角.其中正确命题的个数为()a.1b.2c.3d.4答案c解析中是第三象限角，故错.中，从而是第三象限角正确.中40036040，从而正确.中31536045，从而正确.2.若角的终边在直线yx上，则角的取值集合为()a.b.c.d.答案d解析由图知，角的取值集合为.3.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()a.1b.4c.1或4d.2或4答案c解析设扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.4.已知是第二象限角，p(x，)为其终边上一点，且cosx，则x等于()a.b.c.d.答案d解析依题意，得cosx0，由此解得x.5.(2019衡水中学调研)已知圆o：x2y24与y轴正半轴的交点为m，点m沿圆o顺时针运动弧长到达点n，以on为终边的角记为，则tan等于()a.1b.1c.2d.2答案b解析圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以on为终边的角为，故tan1.6.(2020湖北襄阳联考)角的终边在第一象限，则的取值集合为()a.2,2b.0,2c.2d.0，2,2答案a解析因为角的终边在第一象限，所以角的终边在第一象限或第三象限，所以2.7.在平面直角坐标系xoy中，角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点a，点a的纵坐标为，且点a在第二象限，则cos_.答案解析因为点a的纵坐标为ya，且点a在第二象限，又因为圆o为单位圆，所以点a的横坐标xa，由三角函数的定义可得cos.8.(2017北京)在平面直角坐标系xoy中，角与角均以ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin，则sin_.答案解析由角与角的终边关于y轴对称，可知2k(kz)，所以2k(kz)，所以sinsin.9.一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为_.答案解析设扇形半径为r，内切圆半径为r.则(rr)sinr，即rr.又s扇|r2r2r2r2，所以.10.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sinsin，则与的终边相同；若cos0，则是第二或第三象限的角.其中正确命题的序号是_.答案解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，故错；当cos1，时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错.综上可知，只有正确.11.已知角是第三象限角，试判断:(1)是第几象限角？(2)是第几象限角？(3)2是第几象限角？解(1)是第三象限角，2k2k，kz.2k2k，kz.是第四象限角.(2)kk，kz.是第二或第四象限角.(3)4k224k3，kz，2是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角.12.已知，且lg(cos)有意义.(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点m，且|om|1(o为坐标原点)，求m的值及sin的值.解(1)由，得sin0，所以是第四象限角.(2)因为|om|1，所以2m21，解得m.又为第四象限角，故m0，从而m，sin.13.sin2cos3tan4的值()a.小于0b.大于0c.等于0d.不存在答案a解析2340，cos30，sin2cos3tan40，sin2x.sinx.利用三角函数线画出满足条件的x的终边范围(如图中阴影部分所示)，x(kz).15.若角的终边落在直线yx上，角的终边与单位圆交于点，且sincos0，则cossin_.答案解析由角的终边与单位圆交于点，得cos ，又由sin cos 0知，sin 0，因为角的终边落在直线yx上，所以角只能是第三象限角.记p为角的终边与单位圆的交点，设p(x，y)(x0，y0)，则|op|1(o为坐标原点)，即x2y21，又由yx得x，y，所以cos x，因为点在单位圆上，所以2m21，解得m，所以sin ，所以cos sin .16.如图