2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 解三角形课件 理 新人教A版

,4.6解三角形,1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.,最新考纲,以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度.,考情考向分析,课时精练,内容索引,index,回扣基础知识训练基础题目,基础落实,1.正弦定理、余弦定理在abc中，若角a，b，c所对的边分别是a，b，c，r为abc外接圆半径，则,知识梳理,b2c22bccosa,c2a22cacosb,a2b22abcosc,2rsinb,sinasinbsinc,2rsinc,2.三角形常用面积公式,3.测量中的有关几个术语,1.若角，在第一象限，能否推出sinsin？在abc中，ab是否可推出sinasinb?,概念方法微思考,提示第一象限的角不能推出sinsin.在abc中，由ab可推出sinasinb.,2.在abc中，已知a，b和锐角a，讨论a，b，sina满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.,提示,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)当b2c2a20时，三角形abc为锐角三角形.(),基础自测,题组一思考辨析,(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(),题组二教材改编,2.在abc中，acosabcosb，则这个三角形的形状为.,等腰三角形或直角,三角形,解析由正弦定理，得sinacosasinbcosb，即sin2asin2b，所以2a2b或2a2b，,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.,3.在abc中，a60，ac4，bc，则abc的面积为.,4.已知abc的三边之比为357，则其最大的内角为.,解析由三边之比为abc357，可设a3k，b5k，c7k(k0)，c为最大内角，,题组三易错自纠,5.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若cbcosa，则abc为a.钝角三角形b.直角三角形c.锐角三角形d.等边三角形,解析由已知及正弦定理得sinc0，cosb0，b为钝角，故abc为钝角三角形.,6.设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sina5sinb，则c.,解析由3sina5sinb及正弦定理，得3a5b.,典题深度剖析重点多维探究,题型突破,利用正弦、余弦定理解三角形,题型一,师生共研,75,所以b45或135，因为b0，cosb0.b(0，)，b.abc为直角三角形.,引申探究2,本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cosasinbsinc，判断abc的形状.,又由2cosasinbsinc得sin(ba)0，ab，故abc为等边三角形.,命题点2三角形面积的计算例3(2019淄博模拟)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c且满足(2bc)cosaacosc.(1)求角a；,解因为(2bc)cosaacosc，所以(2sinbsinc)cosasinacosc，即2sinbcosasinacoscsinccosasin(ac)，由abc，得2sinbcosasinb，,解由余弦定理a2b2c22bccosa，,所以bc12，所以(bc)23613，即bc7，,命题点3求解平面图形问题例4如图，在四边形abcd中，dab，adab23，bd，abbc.(1)求sinabd的值；,解因为adab23，所以可设ad2k，,所以ad2，ab3，,(1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.(2)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用abc这个结论.(3)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示.选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练2(1)在abc中，cos2(a，b，c分别为角a，b，c的对边)，则abc的形状为a.等边三角形b.直角三角形c.等腰三角形或直角三角形d.等腰直角三角形,2a2a2c2b2，a2b2c2，abc为直角三角形.,(2)(2018全国)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知bsinccsinb4asinbsinc，b2c2a28，则abc的面积为.,解析由bsinccsinb4asinbsinc，得sinbsincsincsinb4sinasinbsinc，,(3)(2019山东平度一中质检)如图，在abc中，d是ab边上的点，且满足ad3bd，adacbdbc2，cd，则cosa.,解析设bdx(x0)，则ad3x，ac23x，bc2x，易知cosadccosbdc.,0,解三角形应用举例,核心素养之数学抽象,一、测量距离问题例1(1)如图，a，b两点在河的同侧，且a，b两点均不可到达，要测出a，b的距离，测量者可以在河岸边选定两点c，d，若测得cdkm，adbcdb30，acd60，acb45，则a，b两点间的距离为km.,解析adcadbcdb60，acd60，,在bcd中，dbc180cdbacdacb45，,(2)如图，为了测量两座山峰上p，q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为m且和p，q两点在同一平面内的路段ab的两个端点作为观测点，现测得pab90，paqpbapbq60，则p，q两点间的距离为m.,900,解析由已知，得qabpabpaq30.又pbapbq60，aqb30，abbq.又pb为公共边，pabpqb，pqpa.在rtpab中，apabtan60900(m)，故pq900m，p，q两点间的距离为900m.,二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取a，b两点，从a，b两点分别测得树尖的仰角为30，45，且a，b两点间的距离为60m，则树的高度为m.,解析在pab中，pab30，apb15，ab60m，,三、测量角度问题例3已知岛a南偏西38方向，距岛a3海里的b处有一艘缉私艇.岛a处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？,解如图，设缉私艇在c处截住走私船，d为岛a正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知bc0.5x，ac5，bac1803822120.由余弦定理可得bc2ab2ac22abaccos120，所以bc249，所以bc0.5x7，解得x14.又由正弦定理得,所以abc38，又bad38，所以bcad，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.,数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.,素养提升,suyangtisheng,课时精练,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析a2c2b22cbcosa，13c292c3cos60，即c23c40，解得c4或c1(舍去).,ba，b60或120.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以ac1，所以bc2ab2ac22abaccosa3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由余弦定理得a2b2c22bccosa2b22b2cosa，所以2b2(1sina)2b2(1cosa)，所以sinacosa，即tana1，又0a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2019江西七校联考)在abc中，若sin(ab)12cos(bc)sin(ac)，则abc的形状一定是a.等边三角形b.不含60角的等腰三角形c.钝角三角形d.直角三角形,解析sin(ab)12cos(bc)sin(ac)12cosasinb，sinacosbcosasinb12cosasinb，sinacosbcosasinb1，即sin(ab)1，则ab，故abc为直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由正弦定理，得sinacosbcosasinb2sinccosc，sin(ab)sinc2sinccosc，,c2a2b22abcosc(ab)23ab12，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a2，cosc，3sina2sinb，则c.,4,解析由3sina2sinb及正弦定理，得3a2b，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2019全国)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，b，则abc的面积为.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以由余弦定理b2a2c22accosb，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以由余弦定理b2a2c22accosb，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图所示，为测量山高mn，选择a和另一座山的山顶c为测量观测点，从a点测得m点的仰角man60，c点的仰角cab45以及mac75，从c点测得mca60，已知山高bc100m，则山高mnm.,150,故mn150，即山高mn为150m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2，),a2c2b22accosb.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2019全国)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，设(sinbsinc)2sin2asinbsinc.(1)求a；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解由已知得sin2bsin2csin2asinbsinc，故由正弦定理得b2c2a2bc，,因为0a0，0bc6，当且仅当bc时取“”，abc9，abc的周长最大值为9.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.在abc中，c60，且2，则abc面积s的最大值为.,由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，,16.如图，在一条海防警戒线上的点a，b，c处各有一个水声监测点，b，c两点到a的距离分别为20千米和50千米，某时刻，b收到发自静止目标p的一个声波信号，8秒后，a，c同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播