甘肃省镇原县二中2020学年高二数学上学期期末考试试题 理

2020学年度第一学期期末考试试题高二（数学）（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“aA或bB”的否定形式是()A若aA，则bB BaA或bB CaA且bB DaA且bB2已知aR，则“a2”是“a22a”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的离心率为() A.B.C.D.4若a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(ab)a，则实数的值是()A1 B0 C1 D25下列说法正确的是()A“x21”是“x1”的充分不必要条件B“x1”是“x25x60”的必要不充分条件C命题“x0R，使得xx010”的否定是：“xR，均有x2x10”D命题“若，则sin sin ”的逆否命题为真命题6平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是()Axy4 B2xy4 Cx2y4 Dx2y17如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记为异面直线PM与D1N所成的角，则的集合是()A. B.C. D. 图18已知圆x2y2mx0与抛物线yx2的准线相切，则m()A2 B. C. D9给出两个命题：p：|x|x的充要条件是x为正实数，q：不等式|xy|x|y|取等号的条件是xy0，则下列命题是真命题的是()Apq Bpq C(p)q D(p)q10直线yx3与抛物线y24x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足为P、Q，则梯形APQB的面积为()A48 B56 C64 D7211若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D812已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，过F作倾斜角为30的直线，与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则()A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知双曲线1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_14已知a，b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么“a”是“b”的_条件15已知正方体ABCDA1B1C1D1，P、M为空间任意两点，如果有674，那么M点一定在平面_内16已知F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为_三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知p：2x29xa0，q：且q是p的必要条件，求实数a的取值范围18(本小题满分12分)如图3，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120，2.(1)建立坐标系，求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程图319(本小题满分12分)如图4，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.图4(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值20(本小题满分12分)如图5，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)图5(1)求证：CD平面ADD1A1.(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值21(本小题满分12分)如图6，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.图6(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k21.22(本小题满分12分)图7如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程镇原二中高二数学上学期期末数学试题（理）(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“aA或bB”的否定形式是()A若aA，则bBBaA或bBCaA且bB DaA且bB【解析】“p或q”的否定为“非p且非q”，D正确【答案】D2已知aR，则“a2”是“a22a”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】a22aa(a2)00a2.“a2”是“a22a”的必要不充分条件【答案】B3若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的离心率为()A.B.C.D.【解析】由题意，12，而双曲线的离心率e211，e.【答案】B4若a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(ab)a，则实数的值是()A1 B0C1 D2【解析】ab(0,1，1)(，0)(，1，1)(ab)a，(ab)a110，2.【答案】D5下列说法正确的是()A“x21”是“x1”的充分不必要条件B“x1”是“x25x60”的必要不充分条件C命题“x0R，使得xx010”的否定是：“xR，均有x2x10”D命题“若，则sin sin ”的逆否命题为真命题【解析】“x21”是“x1”的必要不充分条件，“x1”是“x25x60”的充分不必要条件，A、B均不正确；C中命题的否定应该为“xR，均有x2x10”，故C不正确【答案】D6平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是()Axy4 B2xy4Cx2y4 Dx2y1【解析】由(x，y)，(1,2)得(x，y)(1,2)x2y4，x2y4即为所求轨迹方程，故选C.【答案】C7如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记为异面直线PM与D1N所成的角，则的集合是()图1A. B.C. D.【解析】分别以DA、DC、DD1所在的直线为x、y、z轴，D为原点建系，连结AM、DM，可以证明，故D1N平面ADM，D1NPM，即.【答案】A8已知圆x2y2mx0与抛物线yx2的准线相切，则m()A2 B.C. D【解析】抛物线方程可化为x24y，其准线方程为y1，圆的方程可化为2y2，是以为圆心.为半径的圆，由题意知1，m.【答案】D9给出两个命题：p：|x|x的充要条件是x为正实数，q：不等式|xy|x|y|取等号的条件是xy0，则下列命题是真命题的是()Apq BpqC(p)q D(p)q【解析】命题p为假，因为x0时，也有|x|x成立；命题q也为假，因为当x0或y0时，|xy|x|y|也成立，因此只有(p)q为真命题【答案】D10直线yx3与抛物线y24x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足为P、Q，则梯形APQB的面积为()A48 B56C64 D72【解析】联立可解得A(1，2)，B(9,6)抛物线准线为x1，|AP|2，|BQ|10，|PQ|8，S48.【答案】A11若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8【解析】设椭圆上任意一点P(x0，y0)，则有1，即y3x，O(0,0)，F(1,0)，则x0(x01)yxx03(x02)22.|x0|2，当x02时，取得最大值为6.【答案】C12已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，过F作倾斜角为30的直线，与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则()A. B. C. D.【解析】因为抛物线的焦点为，直线方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以.故选C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知双曲线1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_【解析】由题意得：9a13，a4，故渐近线方程为yx.【答案】yx14已知a，b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么“a”是“b”的_条件【解析】由题意ab成立，故其逆否命题为ba也成立“a”是“b”的必要条件【答案】必要15已知正方体ABCDA1B1C1D1，P、M为空间任意两点，如果有674，那么M点一定在平面_内【解析】6646424，24，即24.故，共面，即M点在平面A1BCD1内【答案】A1BCD116已知F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为_【解析】ABE为等腰三角形，可知只需AEF45即可，即|AF|EF|ac，化简得e2e20，又e1，1e2，该双曲线的离心率e的取值范围为(1,2)【答案】(1,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知p：2x29xa0，q：且q是p的必要条件，求实数a的取值范围【解】由得即2x3.q：2x3.设Ax|2x29xa0，Bx|2x3，pq，qp.BA.即2x3满足不等式2x29xa0.设f(x)2x29xa，要使2x3满足不等式2x29xa0，需即a9.故所求实数a的取值范围是a|a918(本小题满分12分)如图3，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120，2.(1)建立坐标系，求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程图3【解】(1)建立如图坐标系，由题意得：CQM为正三角形r2cos 602，r2，圆C的方程为：x2y24.(2)M(2,0)，N(2,0)，Q(1，)，2a|QN|QM|22.c2，a1，b2a2c22.椭圆方程为：1.19(本小题满分12分)如图4，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.图4(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值【解】(1)证明PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.BMPD，ABBMB，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，于是(1,2,0)，(0,1,1)，(1,0,0)设平面ACM的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n可得令z1，得x2，y1，于是n(2，1,1)设直线CD与平面ACM所成的角为，则sin ，cos .故直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.20(本小题满分12分)如图5，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)图5(1)求证：CD平面ADD1A1.(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值图(1)【证明】(1)取CD的中点E，连结BE，如图(1)ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD.又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.图(2)(2)以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C所成的角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.21如图6，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.图6(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k21.【解】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.(2)设P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P在双曲线x2y24上，所以xy4.因此k1k21，即k1k21.22(本小题满分12分)图7如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的