高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理教材梳理素材 新人教A版选修4-1（通用）

一 圆周角定理庖丁巧解牛知识巧学一、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是，圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系.疑点突破在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的:当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系;然后研究当角的一边不经过圆心时，圆周角与同弧上的圆心角之间的关系.在角的一边不经过圆心时，又有两种情况:一是圆心在圆周角内;二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的一边是否经过圆心，都有定理中的结论成立.在几何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行，后面还会遇到这种分情况证明的定理.方法归纳 通过对这个定理的分析、证明，我们可以看到，在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为特殊情况下的问题往往容易解决，如图2-1-2中，中间一种情况为圆周角的一边经过圆心，此时AOB=2C很容易证明.特殊情况下的问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如图2-1-2左图和右图的情况，通过辅助线，把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的结论，便可使一般情况下的结论得证.联想发散 定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.图2-1-2二、圆周角定理的两个推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.如图2-1-3，ABE=ACE=ADE，A=B=C. 图2-1-3 图2-1-4推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-4，ACB=ADB=AEB=90，AB是直径.深化升华 圆周角定理及其推论是进一步推导圆的其他重要性质的理论根据，而且为角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见的一些问题提供了十分简便的方法，学习中要注意体会.问题探究问题1 在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？思路:在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角.同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推论提供了条件.探究:在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少用这个知识点的意识，应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角，如图2-1-5中，已知，那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角C=D=E.也可以由角找弧，再由弧找角，如图2-1-6中，AD平分BAC，得1=2，1对，2对，3也对，故1=2=3，如果要证DCBDAB，无疑两个相等的角为此提供了条件. 图2-1-5 图2-1-6问题2 在圆中，直径所对的圆周角等于90，解决问题时应怎样利用这一条件？思路:只要在已知中给出了直径这一条件，不仅要想到它和半径的关系，还要想到封闭了它所对的圆周角，便得到了直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了.探究:如图2-1-7，以CD为直径的O交ACD的两边于B、E，连结BE.求证：ADcosA=AB.此题必须先证AD、AB所在的ABD为直角三角形，此时连结BD，可由直径所对的圆周角为90，创造所需的条件.又如图2-1-8，在O中，直径ABCD，弦AECF.要证ABECDF，在已知A=C,AB=CD以后,还缺少一个条件，由AB、CD为直径，想到连结BE、CF，便可知E=F=90，这就为证三角形全等提供了条件. 图2-1-7 图2-1-8典题热题例1如图2-1-9，已知O中AOB=2BOC，求证：ACB=2BAC.思路分析：圆周角ACB与圆心角AOB对着同一条弧，图2-1-9ACB=AOB.同理，BAC=BOC，再利用已知条件可得结论.证明：ACB=AOB,AOB=2BOC,ACB=BOC.又BAC=BOC,ACB=2BAC.深化升华 只要是在圆中考查角的关系，那么就要考虑弧的中介作用.例2如图2-1-10，在RtABC中，BCA=90，以BC为直径的O交AB于E点，D为AC的中点，连结BD交O于F点.图2-1-10求证：.思路分析：要证，虽然四条线段分别在BEF与BCF中，但这两个三角形一个是钝角三角形，另一个是直角三角形，不可能相似，故只能够借助中间比.证明：连结CE，BC为O的直径，BFC=90，BEC=90.又ACB=90，BCE=A.又BFE=BCE,BFE=A.BEFBAD.BFC=BCA，CBD=CBD,CBFDBC.又AD=CD，.例3已知O中，AB=AC，D是BC延长线上一点，AD交O于E.求证：AB2=ADAE.图2-1-11思路分析：由欲证的乘积式写出比例式，找到应该证明的相似的三角形，利用同弧所对的圆周角相等的性质进行证明.证明：AB=AC,=AC.ABD=AEB.在ABE与ADB中,ABEADB.,即AB2=ADAE.深化升华 在圆当中证明比例式或等积式时，通常利用两角相等加以说明，这当中使用最多的就是利用圆周角转移角的位置，产生相似关系.例4已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆O的直径.求证：BAE=DAC.图2-1-12思路分析：连结BE，由AE为直径可以得到ABE=90.则在ABE与ADC中，又有同弧所对的圆周角C与E相等，可以证明结论.证明：连结BE,AE为直径，ABE=90.AD是ABC的高，ADC=90.ADC=ABE.E=C，BAE=180-ABE-E，DAC=180-ADC-C.BAE=DAC.例5已知ABC的外接圆中，D、E分别为与的中点，弦DE交AB、AC于F、G.求证：AF=AG.图2-1-13思路分析：可以通过等角对等边来证明此题，即证明AFE=AGF，将AFE、AGF分别看作FBE与DGC的外角，利用已知中