有限元分析期末考试题目

1、 试说明有限单元法解题的主要步骤试说明有限单元法解题的主要步骤 网格划分： 先将弹性体划分为有限个单元组成的离散体， 单元之间通过单元节点相连接； 单元分析：建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式； 整体分析：对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移之间的关系 式，以求解结点位移。 2、 单刚和总刚各有什么特征单刚和总刚各有什么特征 单刚 e k是对称的，反映出单元抵抗这种变形的能力，里面的每一个元素 ij k表示的含义 为：当 j 号节点位移分量为 1，且其他节点位移分量皆为零时，对应的 i 号节点力分量。 总刚 m e e kK 1 是各单元刚度的总和（叠加） ，也是对称的，并且是稀疏的，呈带状 分布。即整体刚阵内有很多的零元素，且非零元素都集中在对角线附近。它反映出整个结构 抵抗这种变形的能力。 3、 刚阵中，每一项元素的物理意义是什么刚阵中，每一项元素的物理意义是什么 单刚 e k里面的每一个元素 ij k表示的含义为：当 j 号节点位移分量为 1，且其他节点位 移分量皆为零时，对应的 i 号节点力分量。 4、 三角形三节点三角形三节点形函数形函数N的特征的特征 （1）形函数在各单元节点上的值具有“本点为 1，它点为零”的性质，即 ki ki yxN kki 0 1 ),( ),(轮换mji （2）在单元内任意点上，三个形函数之和等于 1，即 1 mji NNN （3）三角形任意单元一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关，在ij边上： ij i i xx xx yxN 1),(， ij i j xx xx yxN ),(，0),(yxNm 5、 为了满足收敛性条件，位移模式满足哪些条件为了满足收敛性条件，位移模式满足哪些条件 （1）相容性：所选定的函数在整个求解域内有一定的连续性，即形状函数在单元内都是 连续的，因为连续性要求只反映在单元之间； （2）完备性：为能实现求解函数的的任意可变性，选定的试验函数在在整个求解域内应 能表现出任意可能的变化形式，即要求试验函数是完备的。 （3）几何对称性：单元内的插值函数选定是应满足函数形式上的几何对称性。 6、 位移模式中哪些项反位移模式中哪些项反映映单元的刚体位移和常应变单元的刚体位移和常应变 （1）平面问题：位移模式：yaxaavyaxaau 654321 ,中的常数项反映 单元的刚体位移，一次项反映刚体的常应变。 （2）薄板弯曲问题：位移模式 3 12 3 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 65 2 4321 xyayxayaxyayxaxayaxyaxayaxaaw 多项式中的前三项反映出中面平板无弯曲的刚体位移。 三个二次项经二阶微分后反映出中面 变形的 3 中应变形式。 7、 试述边界条件处理的大试述边界条件处理的大数数法原理和步骤法原理和步骤 以平面问题为例 （1）固定约束：n2个位移分量中第i号位移分量 i 为 0，则对应的方程被改为 0).( 222211 nniiiiii KKKMK 其中M为一个相当大的数（如 30 10M） ，则解出有 0 )( ii i MK 相对小量 （2）强迫约束：n2个位移分量中第i号位移分量 ii ， 载荷列阵Q中对应项的未知约 束改为 ii MKQ，则第i行方程式改为 iiinniiiiii MKKKKMK).( 222211 同理，M为一个相当大的数（如 30 10M） ，则解出有 i iiii iii i MKMK MK )(相对小量 步骤:引入约束条件后，结构的整体刚阵K和载荷列阵Q都在相应节点的元素进行改变 乘以一个相当大的数 30 10M，但其体积及编号不变，仍可记为QK。 8、用最小势能原理用最小势能原理推导推导QK 单元应变能： e hdDU Te 2 1 ，而 e B，代入有 eeTeeT T ee khdBDBU e 2 1 2 1 ， 其中 hdBDBk e Te 为单元刚阵。而结构总应变能 2 1 2 1 11 KkUU Te m e eTe m e e 单元外力功： m e TT ee dTudpuW 1 ，将 e Nu代入有 e T Tee p Te TTeTTe QQ dTNdpNW ee 其中 ee dTNQdpNQ Te T Te p ,，则整个结构的外力功 QQW TeTe . 结构总势能： 2 1 2 1 1 QKQkWU TT m e e TeeTe 由最小势能原理0 i ),.,2, 1(Ni 可得节点位移方程QK 9、平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式？为什么？平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式？为什么？ yaaxayxu 31 2 0 ),(. 1 2 654 ),(yaxaayxv 2 32 2 1 ),(. 2yaxyaxayxu 2 65 2 4 ),(yaxyaxayxv 均不能选取上述方程为位移模式， 因为均不满足位移模式的收敛性条件， 这样无法得出正确 的结果。 10、已知直梁单元单刚为、已知直梁单元单刚为 e k （课本第（课本第 7 页） 。试推导局部坐标下平面刚架的单页） 。试推导局部坐标下平面刚架的单 刚刚 22 22 3 4626 612612 2646 612612 llll ll llll ll l EJ k e 平面刚架i节点的载荷列阵可表示为 T iiii MYXQ，而e单元的 6 个节点位移分量和 6 个节点力分量均以列阵表示为 T jjjiii e ff T jjjiii e mqTmqTp 有材料力学可知，轴向位移只与轴向力T有关，弯曲位移 f 、只与弯曲力q、m有关， 由直梁的弯曲变形关系，弯曲部分的节点位移与节点力关系为： j j i i eb j j i i f f k m q m q 式中的 eeb kk ，对于轴向变形 j i es j i k T T ，由刚度矩阵的物理意义，当 0, 1 ji 时， l EA kT l EA kT s jij s iii , ，同理可求得 s jj s ij kk 和，则轴向变形刚 度矩阵： 11 11 l EA k s 则局部做标下平面刚架的单刚为： j j j i i i j j j i i i f f l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EA l EJ l EA l EJ l EJ l EJ l EJ l EA l EJ l EA m q T m q T 46 612 2 6 6 12 260 46 0 612 00 0 6 0 12 0 0 2 232 2 3 2 2 23 23 11、平面三节点三角形单元应力应变和位移有什么特征？为什么？、平面三节点三角形单元应力应变和位移有什么特征？为什么？ 平面三节点三角形单元的位移是连续线性变化的，应变是常应变，如果单元是均质的， 应力也是常应力。 因为位移模式的选取为yaxaavyaxaau 654321 ,，而单元应变的求解 方程为： e N x y y x 0 0 ，应力求解方程为D，而 e N v u ，三 节点三角形单元的位移模式中最高项为x、y的一次项，进行一次偏导后，应变值为常数， 而如果单元是均质的，应力也将是常应力。 12、平面三节点三角形单元，一次多项式位移模式、平面三节点三角形单元，一次多项式位移模式 yaxaau 321 yaxaav 654 试写出N B S e k的表达式 n n m m l l N N N N N N N 0 0 0 0 0 0 其中 2 2 2 ycxba N ycxba N ycxba N nnn n mmm m lll l ，为三角形单元的面积； n n n n m m m m l l l l b c c b b c c b b c c b B 0 0 0 0 0 0 2 1 i i i i i i i b c c c b b E S 2 1 2 1 )1 (2 2 ),(nmli BDBhdVBDBk T V Te e nn mm l yx yx a n m l y y b 1 1 n m l x x c 1 1 nn ll m yx yx a n l m y y b 1 1 n l m x x c 1 1 mm ll n yx yx a m l n y y b 1 1 m l n x x c 1 1 13、上题，试分析其单元收敛性上题，试分析其单元收敛性 （1）相容性： 1）单元内的形状函数都是x、y的连续函数 有 12 题中的形状函数方程可以看出， l N、 m N、 n N均是x、y的一次函数，于是可 得形状函数都是x、y的连续函数 2）相邻单元交界面上，两单元应有相同的位移 形状函数是连续的，设相邻单元（1）和（2）的节点号分别为a、b、c和a、d、b， 则ab为交界边，变形前ab为一直线。变形后，移至 a、 b、 c、 d。由于单元内位移采 用线性插值，单元（1）变形后仍是一条直线ba；单元（2）变形后也是一条直线ba，由 于同一节点的位移式一样的，有两点确定一条直线可知两个单元的ba边是重合的。 （2）完备性：该位移模式能反映出此单元的三种独立的刚体位移及三种常应变形式，因 此这种单元满足完备性要求。 综上所述，该单元是收敛的。 14、三角形单元等效节点力的计算公式，算一个具体数字的题目（体积力或表、三角形单元等效节点力的计算公式，算一个具体数字的题目（体积力或表 面力面力） 15、哪个节点编号好？为什么？、哪个节点编号好？为什么？ 只需要满足半宽带越小越好 16、轴对称问题怎样由三维问题转化为二维问题、轴对称问题怎样由三维问题转化为二维问题 P68 4.3 轴对称问题：几何形状对称于中心轴，载荷对称于中心轴，变形也对称于中心轴 17、轴对称问题应力应变分量有几项、轴对称问题应力应变分量有几项 应力应变分量各有 4 项，应力分量： T rzzr 应变分量： rzzr 18、轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？、轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？ 不是常应力和常应变。 因为应变与位移分量的关系式为： w u rz z r r r w z u z w r u r u rz z r 0 0 1 0 ，这里面除含有微分算符外，还包含了r的倒数 项 r 1 ，则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关，即不会是常应 变。应力应变的物理关系为 D，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是 常应力。 19、轴对称问题等效节点力计算中的积分域有什么要注意的？、轴对称问题等效节点力计算中的积分域有什么要注意的？ 积分域为子午截面上单元三角形面积域 20、复杂函数的积分计算如何近似处理？、复杂函数的积分计算如何近似处理？ 常须计算三角形域内的面积积分，其形式为 e S drdzzrfF),(，一般情况下，上式应 采用适当的数值积分。对简单的三角形单元，上述积分可直接近似求得。如l、m、n为单 元的 3 个节点，当单元较小时，可取 )( 3 ),( nml S fffdrdzzrfF e l f、 m f、 n f为被积函数),(zrf在l、m、n3 点的值。有时也有 )( 3 1 nml rrrr )( 3 1 nml zzzz 则 e S c fdrdzzrfF),( 21、四节点的矩形薄板单元位移模式，并讨论其连续性、四节点的矩形薄板单元位移模式，并讨论其连续性 3 12 3 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 65 2 4321 xyayxayaxyayxaxayaxyaxayaxaaw 22、等参单元的优点、等参单元的优点 参数单元可以具有曲面形状，以便于拼成复杂的实际结构，也可以方便地构造多节点， 高精度的参数单元， 有利于复杂三维结构的有限元分析。 而等参单元可以通过坐标变换将实 际单元“映射”为一个正方形，拥有相同的形状函数，只是等参单元的形状函数不表示为直 角坐标x、y的显函数，而表示为自然坐标、的函数。 23、等参单元为何引入自然坐标、等参单元为何引入自然坐标 等参单元引入自然坐标是为了把实际单元通过坐标变换“映射”为一个正方形 24、求形函数表达式的方法（求形函数表达式的方法（划线法划线法） 25、雅可比矩阵在等参元中的意义、雅可比矩阵在等参元中的意义 雅克比矩阵 yx yx J为坐标变换矩阵，可以求出有整体坐标x、y到局部坐标 的、关系 26、采用何种方法进行积分（数值积分）、采用何种方法进行积分（数值积分） 采用高斯积分进行数值积分： 1 1 1 )()( n i ii wxfdxxfI 式