二 数值代数PPT课件

第二章数值代数，2.1高斯消去法，2.2直接三角法，2.3范数和误差分析。引用示例：克莱姆定律不可行，克莱姆定律n20计算量太大，在现实中不可行。克莱默定律在数学上很重要，在计算上一文不值。3，2.1高斯消去法，1理论基础，2连续高斯消去法，3主成分技术选择，4追赶法。4，1。理论基础，引理2.1的证明(P14)，5，2顺序高斯消去法，例2.1消去过程替换过程。6，顺序高斯消去法、b、Ax、7，消除过程(步骤1)，通过矩阵的初等行将系数矩阵转换成三角形，8，消除过程(步骤2)，9，消去过程(步骤k)用计算公式、编程，10，消去过程(结果)，11、上三角方程、12、反生成过程、13、计算量(乘除法的次数)、消元和反生成，计算量主要是消元，这比克莱姆定律的高斯法快得多。14，可行性。如果=(AIJ)神经网络的阶主子公式不为零，则序贯高斯消去法是可行的。15，3选择主元素技术，为什么选择主元素？主元素=0，计算无法执行。主元素0，计算过程中数值不稳定。如何选择主要元素？如果a=(aij) nn的行列式不为零，则所选主元素的高斯消去法是可行的。比较：如果a=(aij) nn的阶主子方程不为零，则阶高斯消去法是可行的。将三对角方程的追赶法、18，4追赶法和序贯高斯消去法应用于三对角方程，得到所谓的追赶法，其中消去过程是“追赶”，替换过程是“追赶”。19，4追赶法，追赶k=2，n追赶k=n-1，1追赶法不计算零元素，只计算2(n-1) (n-1) n (n-1)=5n-4次乘法和除法。请注意，追赶法假设主元素不是0，并且在计算中没有选择主元素。，20，2.2直接三角分解法，矩阵表示法，高斯消去法，LU分解法，cholesky分解法，改进的cholesky分解法。21，矩阵表示的高斯消去法，以及对矩阵进行一行变换的顺序高斯消去法相当于矩阵三角分解A=LUP21例P3P2P1A=U列选择原则高斯消去法相当于三角分解PA=LU，其中p是行置换矩阵(见教材第38页)。22，LU分解，A=LU(Doolittle分解)解方程P22例2.5待定系数法，23，LU分解计算顺序，待定系数法(依次显式计算，无需解方程)，24、LU分解法与高斯消元法、LU分解法和高斯消元法具有相同的可行性条件，计算量和精度基本相同。逻辑单元分解法比高斯消去法具有更好的设计灵活性。当具有相同系数矩阵和不同右线段向量的线性方程组被多次求解时；防止“大数字吃小数字”；逻辑单元分解存储可以使用紧凑的格式。三角分解的其他形式：克罗特分解等。嘿。25，cholesky分解，A=LLT (Choresky分解)基本方法：待定系数法手动计算：编程：首先从连续的主子公式中找出对角线使用公式I=k1，n，k=1，n次乘法和除法n(n 4)(n-1)/6，n次平方根P24情形2.6，26，数值稳定性，可行性条件：是对称和正定的。直接验证表明，在cholesky分解中，k的中间量lkj，k=1，n，j=1，不会被放大，因此cholesky分解在数值上是稳定的。没有必要选择主成分。改进的cholesky分解，A=LDLT，使用序列主成分首先找到对角线。改进在哪里？(1)避免平方计算；(2)计算的可行性条件减弱为对称非奇异。P26 2.7，28，2.3范数和误差分析，1范数和条件数2数据扰动分析，29，1范数和条件数，引用实例，病态等式注意：两组解都是相应方程的精确解。没有计算错误。30岁。问题，是什么导致方程病态？如何识别病态方程？如何求解病态方程？嘿。31，向量范数，Rn |上的实函数。| |，满足正定性| | x | | 0，以及| | x | |=0x=0齐次性| | x | |=| | | x | |三角不等式| | x y | | | | x | | | y | |公共向量范数， 32，矩阵范数，Rnn |上的实函数。| |，满足正定性| | a | | 0， And | | a | |=0a=同质| | a | |=| | | | a | |三角不等式| | ab | | | | | b | |相容性| | ab | | | a | | | b | |与向量范数的相容性| | ax | | | | | a | | | | | | a | | | x | |， 33，公共矩阵范数， 兼容性：| | ax | | v | | a | | v | | x | | v，v=1，2，| | ax | | 2 | | a | | f | | x | | 2，34，等价规范(p44，ex10)，| | x | | P0 | | x | | q0，35，病态方程，病态方程：P32例2.10(2)(P16例2.2)，病态，序高斯，主成分选择，非病态，非病态，36，2数据扰动分析，右数据扰动ax *=b，a (x * x)=b b证明| | x | | | | a-1 | | | | b | | | b | | | b | | | a | | | | x * |，病态方程：数据大误差小扰动解。嘿。37，2数据扰动分析，系数矩阵扰动(a) (x * x)=b证明x=-a-1a(x * x)| | x | | |