概率论与数理统计精华包过.ppt

德摩根定律（DeMorgan)：,对于n个事件（可列个事件）可推广为,例1,设A，B，C为三事件,用A,B,C的运算表示下列各事件.,（1）A发生B与C不发生；,（2）A与B都发生，而C不发生；,（3）A，B，C中至少有一个发生；,（4）A，B，C都发生；,（5）A，B，C都不发生；,（6）A，B，C中不多于一个发生；,（7）A，B，C中不多于两个发生；,（8）A，B，C中至少有两个发生；,概率性质：,1任意A，有,2若事件A1，A2，An两两互不相容（AiAj=）,（有限可加性）,3若事件,，则,5,则有,i,j=1,2,.,n,证：,4若对于任意事件则有：,6任意事件A,B,有,可推广为(A,B,C为任意事件),一般，对于任意n个事件A1，A2，.，An，有,证：,解：,设A=第一天下雨，B=第二天下雨,2,=0.3-0.1=0.2,1,=0.6-0.1=0.5,5,=1-0.1=0.9,4,=1-0.8=0.2,3,=0.6+0.3-0.1=0.8,例1假设电台每到整点都报时，一人早上醒来打开收音机，求他等待的时间不超过10分钟的概率。,解：,显然样本空间（单位：分钟）,设A=等待的时间不超过10分钟，则,例2（会面问题）两人相约6点到7点在某地会面，先到者等候另一个人15分钟，过时就可离去，试求这两个人能会面的概率。,解：,以x,y分别表示两个人到达时刻，则会面的充要条件为,即：,计算公式,由定义知：,=P(e1)+P(e2)+.+P(en),=nP(ei),i=1,2,.,n,=1,则：P(ei)=,i=1,2,.,n,若事件A包含k个事件，即,则有,上式即为等可能概型中事件A的概率的计算公式。,二、基本原理及排列组合公式,原理,1乘法原理：,返回,2加法原理,则假设进行A1过程与进行A2过程是并行的，则进行过程共有n1+n2种方法。,若进行A1过程有n1种方法，,进行A2有n2种方法，,排列：,从n个元素中取出r个来进行排列，,1有放回选取：称为有重复的排列，其总数共有nr个,2不放回选取：称为选排列，其总数共有,当n=r时，称为全排列,且与取出元素及其顺序有关。,常见的三种组合：,1从n个元素中取出r个元素，且不考虑其顺序。,其方法总数为,把n个不同的元素分成k个部分，第一部分r1个，第二部分r2个，.，第k部分rk个，则不同的分法有,种。,这时取法总数为,说明：约定0!=1,若n个元素中有n1个带足标“1”，,3,n2个带足标“2”,.,nk个带足标“k”,且n1+n2+.+nk=n,从这n个元素中取出r个，,使带有足标“i”的元素有ri个（1ik),而r1+r2+.+rk=r，,三、举例,例1某班级42名学生分成3组，每组14人，从中任意抽出3名学生，试求下列事件的概率：(1)被抽出的3名学生来自第1组；(2)被抽出的3名学生来自同一组；(3)被抽出的3名学生来自不同组。,解：,返回,解：,(1)放回抽样下，每次抽取都在相同的条件下进行，故基本事件总数与重排列有关，于是：,例2某种产品共30件，其中正品23件，次品7件；从中任意取5次，每次一件。试在下列情况下，分别求被取的5次中前2次抽次品、后3次抽得正品的概率。(1)每抽1件经检验后放回,再继续抽取下1件(放回抽样)(2)每抽1件经检验后不放回,然后在剩下的产品中继续抽取下1件(不放回抽样),(2)不放回抽样下，每次抽取都在不相同的条件下进行，故基本事件总数与排列有关，于是：,例3,设有n个人，每个人等可能的被分到N个房间中的任何一个（nN），求下列事件的概率。(1)指定的n个房间各住一个人(2)恰好有n个房间各住一人,解：每一个人都有N个房间可供选择，所以n个人共有种可能。,例3(续),某班有n个人，（n365）。问至少有两个人的生日在同一天的概率为多少？,解：A“n个人中至少有两个人的生日相同”则=“n个人的生日全不相同”，由：,例4在12000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率。P17例6,解：,A取到的数能被6整除,B取到的数能被8整除,=0.75,例5将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求：,（P17页例7）,1每一个班级各分配到一名优秀生的概率P（A）,2三名优秀生分配在同一班级的概率P（B）,解：,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为,例6某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？,解：,假设接待时间没有规定，A=所有这12次接待都是在周二和周四进行的,P（A）=,非常小，,由实际推断原理，推断接待时间是有规定的。,(P18页例8),实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的。,一、条件概率,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。,1任意事件B，有,（可列可加性）,说明：条件概率具有概率的所以性质,设A，B是两个事件，且P(A)0,称,则有,3若事件B1，B2，两两互不相容（BiBj=）i,j=1,2,.,返回,二、乘法定理,由条件概率定义,P(A)0,得：,推广：,1,返回,三全概率公式和贝叶斯公式,定义：,设S为试验E的样本空间，B1，B2，.，Bn为E的一组事件，若,(i)BiBj=,(ii),则称B1，B2，.，Bn为样本空间S的一个划分,若B1，B2，Bn为样本空间S的一个划分，那么，对每次试验，事件B1，B2，Bn中必有一个且仅有一个发生。,1样本空间的划分,返回,2全概率公式,定理,设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，Bn为样本空间S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2,.,n),则,解设,A:“一批产品通过”;,Bi:“一批产品中含有i件次品”,(i=04),则,得,例4某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中次品最多不超过4件，且具有如下的概率分布：,现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验。若发现其中有次品，则认为产品不合格。求一批产品通过检验的概率。,3贝叶斯（Bayes)公式,定理设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,.,Bn为样本空间S的一个划分，且P(A)0,P(Bi)0,(i=1,2,.,n),则,证,返回,例5,某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的（设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志）。根据以往的记录有以下的数据。,P24页例5,1求它是次品的概率；,在仓库中随机地取一只晶体管,2若取到的是次品，求出次品由三家工厂生产的概率分别是多少？,解,设A：“取得的一只是次品”，,Bi：“取得的产品是由第i家工厂提供的”(i=1,2,3),P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,1由全概率公式,=0.0125,2由贝叶斯公式,例6,对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为0.98，而当机器发生某一故障时，其合格率为0.55，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为0.95，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？P25例6,设A=“产品合格”,解,B=“机器调整良好”,由贝叶斯公式,一、事件的独立性,上节课我们学过乘法公式：,如果事件A的发生与否对事件B没有任何影响，,返回,则：,（一）两个事件的独立性：,性质：,1必然事件S与任何事件独立；,2若事件A,B独立，且P(A)0,则,不可能事件与任何事件独立。,返回,定义设是两事件，如果,则称为相互独立的事件。,“A,B相互独立”：P(AB)=P(A)P(B)0(当P(A)0,P(B)0）,“A，B互不相容”:P(AB)=0,3若事件相互独立，则,相互独立。,说明：,4，则“相互独立”与,“互不相容”不能同时成立。,（二）多个事件的独立性,说明：若事件A，B，C是相互独立的，则A，B，C一定,返回,则称事件A,B,C是相互独立的。,若前三式同时成立，则称事件A,B,C是两两独立。,两两独立。反之则不一定成立。,（三）事件独立性与概率的计算,计算公式：,（相互独立事件至少发生其一的概率）,若A1,A2,.,是n个相互独立的事件，由德莫根定律有,返回,二、试验的独立性与贝努利试验(P41),试验的独立性:将试验E重复进行n次，若各次,n重贝努利试验:,设随机试验满足：,1在相同条件下独立的进行n次重复试验；,这种试验称为n重贝努利试验。,3在每次试验中，A发生的概率均一样:P(A)=p,2每次试验只有两个可能结果：,返回,的结果互不影响，则称这n次试验是相互独立的。,教学要求：,小结,理解事件独立性以及贝努利试验的概念;掌握事件独立性以及贝努利概型有关问题的计算；,教学重点：,独立事件概率的计算、贝努利概型的计算,教学内容：,一、事件的独立性,（一）两个事件的独立性：,若P(AB)=P(A)P(B)则称A，B为相互独立的事件。,两个事件独立的性质：,（二）多个事件的独立性：,两点推论：,（三）相互独立事件至少发生其一的概率计算公式,二、贝努利试验,(1)n重贝努利试验:,作业：P35-27,28,34,(2)n重贝努利试验中A出现k次的概率计算公式：,1随机事件及样本空间，事件之间的关系及其运算2频率与概率的概念，概率的基本性质及其计算3古典概型，几何概率4条件概率，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式5事件独立性,教学要求,了解随机试验，掌握事件之间的关系及运算；理解事件的频率及概率；掌握古典概型定义，会用加法公式等；理解条件概率，掌握乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式；理解独立性，理解贝努里概型。,小结,主要结论,事件之间的关系,(1)包含若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记作,(3)互不相容若事件A，B不能同时发生，那么称事件A与B互不相容。,事件之间的运算,(1)和事件,(2)积事件,(3)对立事件（逆事件）,(4)差事件,德摩根律：,概率的计算公式,(1)古典概率,(2)求逆公式,(4)求差公式,(5)条件概率,(8)贝叶斯公式,(7)全概率公式,B1，B2，Bn为样本空间S的一个划分,(6)乘法公式,(可以推广),有关独立性结论,1必然事件S与任何事件相互独立；不可能事件与任何事件相互独立,2事件A,B独立，且P(A)0,则,4P(A)0,P(B)0，则“A,B相互独立”与“A，B互不相容”不能同时成立。,5若事件A1,A2,.,An是相互独立的，则A1,A2,.,An中任意多个事件换成它们的逆事件，所得的n个事件仍然是相互独立的，且,思考与练习,2已知A，B两个事件满足，且，求,5设一厂和二厂的产品的次品率分别为1%和2%，现从一厂和二厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该产品是一厂生产的概率。,6设两两独立的三个事件A，B，C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)0,k=1,2,.;非负性,例1一汽车要过四盏信号灯，每盏信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下时，已通过信号灯的盏数（设各信号灯的工作是相互独立的）求X的分布律,教材第40页例1,解：,以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，,易知X的分布律为,PX=4=,二.三种重要的离散型随机变量的概率分布,（一）（01）分布：XB（1，p）,设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是,则称X服从（01）分布,返回,设随机变量X的分布律是,PX=k=Pn(k)=,说明：(01)分布是二项分布的特殊情况,则称X服从二项分布,按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只。问20只元件中恰有k只（k=0,1,.,20)为一级品的概率是多少？,解：,由于抽样的元件数相对元件总数比例较小，不放回可近似看作放回误差不大,设X为20只元件中一级品的只数,XB（20，0.2）,PX=k=,（k=0,1,.,20),列表如下：,(n+1)p=(20+1)0.2=4.2,设X是一个随机变量，x是任意实数，函数,称为X的分布函数。,一、分布函数的定义,对于任意实数x1,x2(x1x2),有,0 x1x2,返回,二、性质,1F(x)是一个不减函数,即x1x2，F(x1)F(x2),证：,3右连续：,返回,解：,由概率的有限可加性，得所求分布函数为,返回,图形为一条阶梯形曲线，在x=-1,2,3处有跳跃点，跳跃值分别为,一般，设离散型随机变量X的分布律为：,由概率的可列可加性，得X的分布函数为,解：,（不可能事件）,例3已知有分布函数：,求的分布列。,解：,所以：,一、连续型随机变量：,对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数,则称X为连续型随机变量。,概率密度的性质,判断是否是密度函数的条件,2,1,f(x)，对于任意实数x，有,注：连续型随机变量的分布函数是连续函数。,返回,3,4,二、三种重要的连续型随机变量（均匀分布，指数分布，正态分布）,连续型随机变量X具有概率密度,称X在区间（a,b）上服从均匀分布。,返回,分布函数为,2、指数分布,如果连续型随机变量X具有概率密度为,称X服从参数为的指数分布。,分布函数：,分布函数：,注：如果连续型随机变量X具有概率密度为,则X也服从指数分布。,分布函数：,如果连续型随机变量X具有概率密度,称X服从参数为常数的正态分布,3、正态分布,密度函数的性质：,称X服从标准正态分布。,分布函数记为,标准正态分布,概率密度函数记为,注：的函数表见附表2,连续型随机变量具有下列性质：,三种常见分布：,2、指数分布,3、正态分布,一、离散型随机变量函数的分布,已知离散型随机变量X的分布律为：,求Y=g(X)的分布律。（y=g(x)是已知的连续函数）,一般求解方法：,（1）利用Y=g(X)求出Y的所有可能取值yj，j=1,2,3；,（2）随机变量Y的分布律为：,返回,解,Y所有可能取的值为0,1,4,即得Y的分布律为,二、连续型随机变量函数的分布,已知连续型随机变量X的概率密度为：,求Y=g(X)的概率密度。（y=g(x)是已知的连续函数）,一般求解方法：,（1）求随机变量Y的分布函数：,（2）求随机变量Y的概率密度：,返回,例2,设随机变量X具有概率密度,教材P51例2,的概率密度。,试求随机变量,解,于是，得,的概率密度为,重点内容概要,设随机试验的样本空间是S,如果对于每一个样本点eS,有一个实数X(e)与之对应，称X为随机变量。,称为X的分布函数。,二、分布函数及其性质,一、随机变量,三、离散型随机变量：,如果随机变量X的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，称X为离散型随机变量。,常见离散型随机变量：,1（01）分布，记为XB（1，p）,2贝努里试验、二项分布，记为XB（n，p）,四、连续型随机变量及其概率密度函数：,对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数,则称X为连续型随机变量。,f(x)，对于任意实数x，有,概率密度的性质,判断是否是密度函数的条件,2,1,3,4,三种重要的连续型随机变量（详见课件）（均匀分布，指数分布，正态分布）,2、指数分布,3、正态分布,五、随机变量函数的分布,离散型随机变量函数的一般解法如下：,（1）利用Y=g(X)求出Y的所有可能取值yj，j=1,2,3；,（2）随机变量Y的分布律为：,连续型随机变量函数的一般解法如下：,（1）求随机变量Y的分布函数：,（2）求随机变量Y的概率密度：,设E是随机试验，它的样本空间是S。如果对于每一个eS,有两个实数X=X(e)，Y=Y(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上变量（X，Y），称为二维随机变量。,一、二维随机变量,(2)应把二维随机变量（X，Y）看作一整体,(3)几何上，（X，Y）可看作平面上的点,(1)二维随机变量又称为二维随机向量,返回,二、分布函数(联合分布函数）,称为(X,Y)的分布函数（X和Y的联合分布函数）。,如果将（X，Y）看成是平面上随机点的坐标，F(x，y)即为随机点（X，Y）落在以(x，y)为右顶点无穷矩形域G内的概率。,返回,设是二维随机变量，是任意实数，二元函数,分布函数的性质,1F(x,y)是变量x和y的不减函数。,即对于任意固定的y，当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)。,对于任意固定的x，当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2)。,2,对于任意固定的y，,对于任意固定的x，,，且,4对于任意实数x1,x2(x1x2)；y1,y2(y1y2)有,借助于下图，容易证明：,若随机变量（X，Y）的全部可能取到的值是有限对或无限可列多对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。,设二维离散型随机变量(X，Y）所有可能取到的值为(xi,yj)，i，j=1，2，3，.。记,上式称为随机变量X和Y的联合分布律。,（X，Y）的联合概率分布律：,返回,性质：,（1）,（2）,非负性,规范性,随机变量X和Y的联合分布律也常常用表格来表示:,由概率的可列可加性，得（X，Y）的联合分布函数为,解：,例1将一枚均匀硬币连掷3次，X表示3次试验中正面出现的次数，Y表示出现正面次数与反面次数差的绝对值，求(X,Y)的联合分布列。,的可能取值为：0，1，2，3；,的可能取值为：1，3；,由题意计算下列概率,四、二维连续型随机变量,x，y，有二次积分：,则称(X,Y)为二维连续型随机变量。,定义：对于二维随机变量(X,Y),它的分布函数,F(x，y)，如果存在函数f(x，y),使对于任意实数,返回,1,2,概率密度函数的性质：,解：,(1)利用联合密度函数的性质：,(2)由定义：,(3),解：,(1)由定义：,x,y,(2),G,例4甲乙两人各自在0,1区间上随机取数,求甲所取数超过乙所取数两倍的概率。,从而所求概率为:,解用表示甲所取的数,表示乙所取的数,则（X，Y）服从正方形区域D上的均匀分布，其中：,教学内容：,设E是随机试验，它的样本空间是S。如果对于每一个eS,有两个实数X=X(e)，Y=Y(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上变量（向量）（X，Y），称为二维随机变量。,一、二维随机变量,二、分布函数(联合分布函数）,三、二维离散型随机变量,二维离散型随机变量（X，Y）的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律,四、二维连续型随机变量,x，y，有二次积分：,则称（X,Y）为二维连续型随机变量。,定义：对于二维连续型随机变量(X,Y),它的分布函数,F(x，y)，如果存在函数f(x，y),使对于任意实数,1,2,概率密度函数的性质：,五、两种重要的连续型二维随机变量,1、均匀分布,（均匀分布，正态分布）,2、正态分布,作业：P1041，3,设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为：,一、边缘分布函数,称为(X,Y)关于X的边缘分布函数；,返回,称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数；,二、离散型随机变量的边缘分布,设联合分布函数为：,则X的边缘分布函数为：,Y的边缘分布函数为：,返回,(X,Y)关于X的边缘分布律：,(X,Y)关于Y的边缘分布律：,X的边缘分布律,Y的边缘分布律,用表格表示如下：,例1设的联合分布列为,求关于