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- 利息理论复习提纲 第一章 利息的基本概念 第一节利息度量 一. 实际利率 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额 之比，通常用字母 i 来表示。 利息金额 In=A(n)-A(n-1) 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则 in=In/A(n-1)； 例题：1.1.1 二单利和复利 考虑投资一单位本金， （1） 如果其在 t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t，则称这样产生的利息为单利； a(n) a(n 1) i 实际利率 in a(n 1) 1 i (n 1) t （ 2） 时刻的积累函数为如果其在 t a(t)=(1+i)，则称这样产生的利息为复利。 i i实际利率 n1.1.3 例题： 实际贴现率三. 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通 常用字母 d 来表示实际贴现率。 之间关系如下： d 、贴现率和贴现因子（折现因子）v 等价的利率 i d i i ) i i , d , d(1 1 d 1 i v 1 d , d iv , v , i d id 1 1 i 1.1.6 例题： 四名义利率与名义贴现率 用i 表示每一度量期支付 m 次利息的名义利率，这里的 m 可以不是整数也可以小于 1。 ( m) 所谓名义利率，是指每 1/m个度量期支付利息一次，而在每 1/m个度量期的实际利率为i / m 。 (m) 与i 等价的实际利率 i 之间的关系：1 i (1 i / m) 。 m( m)( m)名义贴现率d ，1 d (1 d / m) 。 m(m)( m)- - ( m( )( )m m ( m) ) 名义利率与名义贴现率之间的关系：i d i d 。 m m m m 1.1.9 例题： 五利息强度a (t) A (t ) 定义利息强度（利息力）为，t A(t) a(t) t s ds a(t ) e 0 。( mi ) m 1 1 d ( p) p (1 d ) 1 i v 一个常用的关系式如下： e 。 1 1 m p 例题：1.1.12 要求： i, d, i , d , ，之间的计算。 ( p )( m) 习题：1、2、3、4、15、16、19、24。 第二节 利息问题求解 一. 价值等式 例题：1.2.1 二. 投资期的确定 计算利息的基本公式是：利息金额利率年数，其中年数投资期天数/基础天数。 三. 未知时间问题 72律：利率为 i 时，使得积累值是本金的 2 倍所需的时间大致是 72/i。 例题：1.2.4 四. 未知利率问题 1线性插值法 2迭代法 例题：1.2.7 重点：价值等式；利用线性插值法求利率。 习题：37、40、46。 第二章 年金 第一节 年金的标准型 一. 期末付年金 v v n 1 v 1 v nn2 现值为 avn i 1 1 (1 i ) (1 i ) (1 n 1(1 i ) i ) n 22n s终值为(1 i)n i s与 a 的关系：nn- - s i ) a n (1 1）（ nn - - 11i （2） 例题：2.1.、22.13 二. 期初付年金 n . n v n 11 v v 22 v 1 an 现值为v d . n n(1 i) 1 i ) (1 (1 i ) (1 i ) 2n 1 sn 终值为(1 i )d . . an 与sn 的关系： . s a（1） (1 i) nnn 1 1d . . （2） sa nn 期初付与期末付年金现值与终值之间的关系： . . (1 i )s a s(1 i )a ，nnnn . . n s，a1a s 1 n 1nn 1例题：2.1.5 三. 永续年金 （1） 期末付永续年金的现值 a v v n 1 v n2v1 n 1 v n lim v n i i n 1 （2） 期初付永续年金 . 1 1 v va v n n2v1 n 1 vnd n limd 1 v n例题：2.1.6 四. 年金的未知时间问题 - - 还款方式： - - （1） 标准式付款：按照规则的付款期进行支付 （2） 上浮式还款：最后一期规则付款的额度上外加一个根据等价原则计算出来的零头 （3） 扣减式付款：最后一期规则付款的下一期支付一个根据等价原则计算出来的零头 这三种方式付款的最后零头一般都不一致。 五. 年金的未知利率问题 有关年金时间的计算方法： （1） 对于 n 较小的情形，求解一元 n 次方程，其有效根即为利率 （2） 对于 n 较大的情形，可用已知的年金值以及其倒数进行展开，再利用线性插值法求 未知利率的有效数值解 （3） 对于 n 较大的情形，利用迭代法获得任意精度的数值解，此方法最为常用 只要求（1），迭代法不要求。 例题：2.1.10 习题：4、5、7、8、22。 第二节 年金的一般型 一. 付款频率与计息频率不同的年金 1 付款频率低于计息频率 （1） 期末付年金 年金现值为： 2 n vk v v k kkn k k vv v (1 v ) nkkk 1 v 1 v kk1 v 1 vi nni (1 i ) 1 1 (1 i ) kk a n s k 年金积累值为： (1 i ) n k(1 i ) 2k (1 i ) 1 kn i) (1 1 i 1 (1 i ) n n1 (1 i ) i k k1 (1 i) s k 32.2.4 2.2.例题：、 ）2（ 期初付年金- - 年金现值为： ( n1) k 1 v 2 k v kkv n k 1 1 v n vk 1 v 1 vkki v 1n1 v i k . an a n. k aak年金积累值为： (1 i ) k (1 i )i ) n kn(1 n i ) )i ) (1 (1 nk(1 (1 (1 i ) (1 i )1 k i 1 i ) n(1 vi 1 k . s sn n . a k ak 3）永续年金（ 其现值为nk k 2k vvv 1 v k (1 v i ) 1 1 kk 1 isk 2 付款频率低于计息频率 设 m 为每个计息期内的付款次数，n 为计息期数，i 为每个计息期的利率，m、n 为正整数，总付款次数为 mn次。 （1） 期末付年金 假设每个付款期期末付款额为 1/m，每个计息期付款为 m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为 a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。 (m)n- - 1/ ( mn 1) (vv v ) m 2/ m / m a (m)1nv n m 1/ n 1/ vv 1 m m m 1 v 1/ m 1 1 v nm (1 i ) 1 1/ m 1 v n (m ) i n时刻的年金积累值为(m) a (1 i ) n( m)sn n 1 v (1 i ) nn ( m) i (1 i )1 n i( m ) 显然 (ma ) 1 v 1 v i i a nn(m n (m) (m) n ) i i i i s (1 i ) a a (1 i ) s n(m)(m )iin(m)nnn(m)n i i 2.2.7 例题： ）期初付年金（2 假设每个付款期期初付款额为 1/m，每个计息期付款为 m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值 . 记为 a(m) ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。 n . 1/ (mn vv 1)/ m 2/ m a1 (1 m m )()nv m 1 1 v n 1/ m m 1 v v1 n 1/ m d n时刻的年金积累值为 - - . n . ( s m(m 1 v ) n ) n dn a (1 i ) (1 i) ( m) n1 (1 i )n d ( m) 显然 - - . . n n d d 1 v 1 v ( m (m) ) ( m) n a (m)an d d d d . . n . n d . d(m) (msa (m n ) a (1 i ) (1 i) (m )n snnd d 2.2.8 例题： . ( m1 1 ) ( m) 永续年金的现值分别为 n (m) a， (m ) a id 二. 连续年金 连续付款（付款频率无限大）的年金叫做永续年金。连续付款 n 个计息期，每个计息期的付款额之和为1的年金现值为 n n t n 1 v a vv dt tn 0 ln v 0 t t 的折现因子。到时刻 0 其中 v 为时刻 t s n n (1 i ) ds s a (1 i ) dt sn t(1 i ) 1 (1 i ) n n 0 n 0 n 0 ln(1 i ) s 三. 基本变化年金 1. 各年付款额成等差数列关系 1 v nv anv a 1 vnnnnnn ( Ia ) n i i i . a 1 a(n 1)v ( n 1)v nnn 1n i i . nv n- - a n i . n a nv n nni ) (1 i ) ( Ia ) ( Is)(1 nn i . sn n i , 同理可得 n a n nv a nva nvnnn n n n na( Da ) nn i i i s n(1 i ) n nn ( Ds) (Da ) i ) (1 nn i - - 要求计算它们的值。 2. 各年付款额成等比数列关系 假设期末付款，第一次付款额为 1，并且每次付款额都是前一次付款额的 1+k倍，共支付 n 次，每个付款期的利率为 i，则该年金的现值为 V (0) v v (1 k) v (1 k) v (1 k ) n 1322nv(1 k ) v1 (1v(1 k) v k ) n 122n 1v 1v(1 k) (i k ) n1 v(1 k) 1 k n 1 )( i 1 i k 四. 更一般变化年金 付款频率小于计息频率的情形1. n n a mv a k (0) V isk 2. 付款频率大于计息频率的情形 （1） 每个计息期内的 m 次付款额保持不变 (m) 1 v niv niv 1 v nnn 1n 1( (m) ( m) m) ( Ia ) nivi di ivi n a nv n ( m) i（2） 每个计息期内的 m 次付款额按等差数列递增 ( m) nv na n ( m)( m) a)( I n (m) i 五. 连续变化年金 n V (0) dtf (t)vt 0 注：四、五、部分不要求。 习题：28、31、36。 第三章 收益率 第一节 收益率 一. 收益率的定义 n 0 t 假设，从中求出满足该式的 V(0)=0，即 i，其值就是该项投资的收益- - vR V (0) t t 0 率，也就是使投资支出现金和回收现值相等的利息率，在金融保险实务中，也称为内部收益率。二. 再投资收益率 - - 3.1.8 例题： 收益率的应用第二节 . 基金收益率（投资额加权收益率）一 I i (1 t) CA t0 t 1 3.2.2 例题： 时间加权收益率二. 定义这个时期内的时间加权投资收益率为 m m Bk 1 (1 i ) 1 k 1 B Ci k kk 1 k 1 1 3.2.4 例题： 23、7、19、。4习题：、6 债务偿还第四章 第一节 分期偿还计划 . 一 贷款余额 过去法1. L Pa n i L L (1 Ps i ) k L (1 i )贷款余额为ks k i k i n i a 未来法2. 。 k 在 时刻的贷款余额现值为： Pan k i 4.1.2 例题： . 二 分期偿还表 若每期还款额为: P L / an |n k v 1 若每期还款额为，本金部分 I k 1，第次偿还款中利息部分为： 1 v Pn k 1；kk 倍。，则表中各列同比例增长为若每期还款额为PP 4.1.7 4.1.4例题：、 第二节偿债基金 . 一 偿债基金表 L D s L 即n j- - D n j s- - n j L a P a定义 ，则有n i & j 1 ( i )j a n i & j an j j ； L Ds第 k 次利息支付及向基金存款后的贷款净余额为 NB kk jDs Li第 k 期内的净利息支出为 NI k 1 jk 4.2.2 例题： 。1、7、10、29习题： 债券 第五章第一节 一、债券价格 债券价格=息票收入的现值+偿还值的现值 P rNa C v nn|C1 ( g i )a P n | 例题：5.1.1 二、溢价与折价 rNa Cv C1 ( g i) a n BV第 k 期末的账面价值 为：n k|n k|k ，第一年末的票息收入为 gCi )a n| 利息收入为期初的帐面值 P C1 (g i与收益率的乘积。(g i )a C ( giC 1 i )v n 对其溢价购买债券的补偿为： gCn| 例题：191- 193页 要求：（1）债券的价格；（2）第k 年末的账面值;（3）第 k 年的利息收入。.习题：1、2、4 教学大纲 第一章：利息的概念与问题 9 本章课时： 一、学习的目的和要求 1、必须掌握以下基本概念：利息、现值、终值、实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率、利息强度等； 2、理解实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率、利息强度之间的关系； 3、掌握常见利息问题的求解原理，根据不同的情况运用不同的表达形式。 二、主要内容 第一节：利息的基本概念 第二节：利息问题求解 第二章 年金 本章课时： 9 一、学习的目的与要求 1 、 必须掌握以下基本概念：标准年金、一般年金、期初年金、期末年金、连续年金、永久年金、递增年金、递减年金、年金现值、年金积累值等； 2 、 理解期初年金、期末年金、连续年金之间的关系以及递增年金、递减年金之间的关系； 5 、 能够求解常见年金的现值和积累值问题、与年金有关的利率或期限等利息问题。 二、主要内容 第一节：标准年金 第二节：一般年金 第三章 收益率 本章课时： 9 - - 一、学习目的与要求 1 、 必须掌握以下基本概念：收益率、净现值法（ NPV ）、收益率法 (IRR) 、再投资率、币值加权收益率、时间加权收益率、投资组合法、投资年度法； 2 、 掌握现金流收益率、币值加权收益率、时间加权收益率的求解方法； 3 、 理解净现值法与收益率法在投资决策中的应用范围、再投资收益率对投资的影响以及投资组合法、投资年度法对基金收益分配的不同处理。 二、主要内容 第一节：收益率 第二节：收益率的应用 第四章 债务偿还 本章课时： 9 一、学习目的与要求 1、必须掌握以下基本概念：等价原理、贷