第三章 有限元基本.ppt

重庆交通大学,有限元分析岩土工程数值计算,2010年10月,地质工程专业课,重庆交通大学,第三章有限元基本,3.1概述3.2基本原理3.3计算步骤3.4单元类型3.5单元位移函数与形函数3.6单元载荷与应力,重庆交通大学,3.1概述,1.有限元法（FiniteElementMethod）简称FEM，是弹性力学的一种近似解首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。2.FEM特点（1）具有通用性和灵活性。（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。,重庆交通大学,3.1概述,FEM简史FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。1956年，特纳等人提出了FEM。20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。,3.1概述,重庆交通大学,3.1概述,FEM简史20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用，计算速度快，精确程度高，具有灵活性和通用性，可以解决一些复杂的特殊问题，例如复杂的几何形状，任意的边界条件，不均匀的材料特性，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构件等。近二、三十年来，广泛应用于航空、造船、土木、水利、机械工业中。,3.1概述,重庆交通大学,3.2有限元法基本原理,基本思想是用有限个离散单元的集合体代替原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合体的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。材料的响应可以用状态变量描述。位移（场）应力（场）应变（场）一般地，状态变量是连续函数，求得状态变量解析解需要求解微分方程，这对于复杂问题是不可能的。,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：1、离散化2、单元分析3、单元综合,3.2有限元法基本原理,重庆交通大学,离散：用有限个状态变量描述整个结构响应,有限元的基本构成：节点（Node）：材料响应是通过节点处的基本状态变量表征的。是构成有限元系统的基本对象。单元（Element）：单元由节点与节点相连而成，单元的组合由各节点相互连接。单元内的材料响应由节点的基本状态变量和单元形函数导出。不同特性的工程系统，可选用不同类型的单元。,求解微分方程,求解线性或非线性方程组,重庆交通大学,离散：将连续体变换为离散结构。结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a）。弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。,重庆交通大学,将连续体变换为离散化结构（图（c）：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓离散化结构。将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。,重庆交通大学,图（c）与图(a）相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。,重庆交通大学,单元分析：,对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。取各结点位移为基本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,重庆交通大学,结点位移结点力,三角形单元，结点位移与结点力之间的转换关系。,重庆交通大学,取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：,其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：,（22）,重庆交通大学,整体分析,对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量-结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。,重庆交通大学,重庆交通大学,3.3有限元法的分析步骤（1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有限个离散单元体，并在单元指定点设置节点。研究单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。,单元的节点上有位移和力F,重庆交通大学,（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。,（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。,重庆交通大学,3.3.2有限元法分析思路流程,重庆交通大学,（3-1）,2、单元内任意点的体积力列阵qV,（3-2）,1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs,3.3.3基本力学量矩阵表示,重庆交通大学,3、单元内任意点的位移列阵f,（3-3）,4、单元内任意点的应变列阵,（3-4）,重庆交通大学,5、单元内任意点的应力列阵,（3-5）,6、几何方程,（3-6）,将上式代入式(3-4），,重庆交通大学,7、物理方程矩阵式,（3-7）,式中E、弹性模量、泊松比。,上式可简写为,（3-8）,其中,对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可表示为：,重庆交通大学,(3-9）,矩阵D称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(3-9）中的E换为，换为。,重庆交通大学,1.3位移函数和形函数,1、位移函数概念由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。,重庆交通大学,不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面问题三角形单元（图3-2）为例，说明设定位移函数的有关问题。,三角形单元，其节点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有两个分量：,（3-10）,6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：,2、位移函数设定,重庆交通大学,本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：,(3-12）,式中：a1、a2、a6待定常数，由单元位移的6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、a3、a5、a6代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。,(3-11）,重庆交通大学,选取位移函数应考虑的问题,（1）位移函数的个数等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；,（3）位移函数中待定常数个数待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。,（2）位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为：x、y；,重庆交通大学,（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。,（5）位移函数中必须包含单元的常应变。,（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。,条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。条件（6）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。,重庆交通大学,（7）位移函数的形式一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。,重庆交通大学,例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。,对任一单元，如单元，取位移函数：,重庆交通大学,、单元的位移函数都是,可以看出：位移函数在单元内是连续的；,以、的边界26为例,两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。,位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。,重庆交通大学,3、形函数,形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。,(3-13）,（1）形函数确定,现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数a1、a2、a6。设节点i、j、m的坐标分别为（xi、yi）、（xj、yj）、（xm、ym），节点位移分别为（ui、vi）、（uj、vj）、（um、vm）。将它们代入式（3-12），有,重庆交通大学,从式(3-13）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为,(3-14）,重庆交通大学,式中，A为三角形单元的面积，有,(3-15）,特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节点作为起始节点i，则没有关系。,将式(3-14）代入式(3-12）的第一式，整理后得,同理,重庆交通大学,(3-16）,式中,重庆交通大学,(3-16）,令,(3-18）,位移模式(3-16）可以简写为,(3-19）,式(1-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又称插值函数。,重庆交通大学,(3-16）,用形函数把式(3-16）写成矩阵，有,缩写为,(3-20）,重庆交通大学,形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：,N为形函数矩阵，写成分块形式：,(3-21）,其中子矩阵,(3-22）,I是22的单位矩阵。,（2）形函数性质,性质1形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。对于本单元，有,重庆交通大学,（i、j、m）,性质2在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对于本单元，有,图3-3,？,重庆交通大学,图3-4,也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或0）证明。,重庆交通大学,性质3在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有,证,图3-5,（1）,重庆交通大学,性质4形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为,(3-23）,式中为边的长度。,1.4单元应变和应力,根据几何方程和位移函数(3-16）可以求得单元应变。,1、单元应变,重庆交通大学,对位移函数（式(3-16）,(3-24）,(3-16）,求导后代入几何方程，得到应变和节点位移的关系式。,重庆交通大学,上式简写一般式：,(3-25）,式中，B单元应变矩阵。,对本问题，维数为36。它的分块形式为：,子矩阵,(3-26）,由于与x、y无关，都是常量，因此B矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是B矩阵与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。,重庆交通大学,2、单元应力,将式(3-25）代入物理方程式(3-8），得单元应力,(3-27）,也可写为,(3-28）,其中：S称为单元应力矩阵，并有,(3-29）,这里，D是33矩阵，B是36矩阵，因此S也是36矩阵。它可写为分块形式,重庆交通大学,(3-30）,将弹性矩阵（式(3-9）和应变矩阵（式(3-26）代入，得子矩阵Si,由式(3-29）,(3-31）,式(3-31）是平面应力的结果。对于平面应变问题，只要将上式中的E换成，换成即得。,重庆交通大学,(3-32）,由于同一单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，所以S矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常量。当然，相邻单元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。,重庆交通大学,3.5单元平衡方程,1、单元应变能,对于平面应力问题中的三角形单元，设单元厚度为h。,将式(3-25）和(3-8）代入上式进行矩阵运算，并注意到弹性矩阵D的对称性，有,应变能U为,重庆交通大学,由于和T是常量，提到积分号外，上式可写成,引入矩阵符号k，且有,(31-33a）,式(3-33a）是针对平面问题三角形单元推出的。注意到其中hdxdy的实质是任意的微体积dv，于是得计算k的一般式。,(3-33）,式(3-33）不仅适合于平面问题三角形单元，也是计算各种类型单元k的一般式。,重庆交通大学,3.6节中将明确k的力学意义是单元刚度矩阵。式(3-33）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它适合于各种类型的单元。,单元应变能写成,(3-34）,2、单元外力势能,单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的内力等。,(3-33）,重庆交通大学,（1）体积力势能,单位体积中的体积力如式(3-35）所示。,单元上体积力具有的势能Vv为,重庆交通大学,注意到式(3-20）,有,（2）表面力势能,面积力虽然包括单元之间公共边上互相作用的分布力，但它们属于结构内力，成对出现，集合时互相抵消，在结构整体分析时可以不加考虑，因此单元分析时也就不予考虑。,重庆交通大学,现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部分单元上形成表面力（右下图）。设边界面上单位面积受到的表面力如下式：,l单元边界长度h单元厚度A表面力作用面积,qs,qs沿厚度均匀分布，则单元表面力的势能Vs为,重庆交通大学,（3）集中力势能,当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力Pc的势能Vc为,重庆交通大学,（4）总势能,把(3-35）式中原括符内的部分用列阵Fd代替，,综合以上诸式，单元外力的总势能V为,(3-35）,Fd具有和相同的行、列数。则,(3-36）,重庆交通大学,由单元的应变能U(3-34）和外力势能V(3-36），可得单元的总势能,(3-37）,将式(3-37）代入，,根据弹性力学最小势能原理：结构处于稳定平衡的必要和充分条件是总势能有极小值。,3、单元平衡方程,于是有，,重庆交通大学,式(3-38）是从能量原理导出的单元平衡方程。这个方程表达了单元力与单元位移之间的关系。其中，Fd和单元节点力F具有相同的意义。,(3-38）,即得单元平衡方程,1.6单元刚度矩阵,平衡方程(3-38）中的矩阵k是单元力和单元位移关系间的系数矩阵，代表了单元的刚度特性，称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的体积为njnj，nj是单元位移总数。其一般计算公式为：,1、一般计算公式,重庆交通大学,它与单元应变矩阵B和弹性矩阵D有关。,对于平面应力三角形单元，应变矩阵B是常数矩阵，同时弹性矩阵D也是常数矩阵，于是式(3-33）可以化简为,式中A表示三角形单元的面积。h是单元厚度。,2、平面问题三角形单元刚度矩阵,（1）平面应力三角形单元,应力矩阵,重庆交通大学,将式(3-9）和(3-26）代入上式，,即得平面应力三角形单元刚度矩阵。写成分块形式，有,(3-40）,重庆交通大学,式(3-40)中子矩阵krs为22矩阵，有,(3-41）,（2）平面应变三角形单元,对于平面应变问题，须将上式中的E换为，换为，于是有,其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函数式(3-16）中的系数(式3-17)。,重庆交通大学,(3-42）,平面问题的单元刚度矩阵k不随单元（或坐标轴）的平行移动或作n角度（n为整数）的转动而改变。由公式(1-41）、(1-42）知，krs矩阵和其中的br、cr、bs、cs（r、s=i、j、m）有关。单元平移时，bi、ci不变。,(3)三角形单元刚度矩阵与坐标系无关,重庆交通大学,单元转动时，bi、ci不变。当单元旋转时，各节点的编号保持不变。如图1-7所示，图a所示的单元旋转时，到达图b所示位置。,重庆交通大学,可以证明，这两种情形的k是相同的。其实，推演公式(3-40）、(3-41）、(3-42）时并没有规定坐标系的方位，当坐标系旋转任意角度时，也不影响刚度矩阵的结果。因此，平面问题的单元刚度矩阵可以认为是结构坐标系中的单元刚度矩阵，没有坐标变换问题。,重庆交通大学,(3-38）,（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，kij表示单元第j个自由度产生单位位移(j=1)，其他自由度固定（=0）时，在第i个自由度产生的节点力Fi。,主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。,3、单元刚度矩阵性质,重庆交通大学,（2）k的每一行或每一列元素之和为零,以上式中第i行为例，,当所有节点沿x向或y向都产生单位位移时，,单元作平动运动，无应变，也无应力。则有：,即：k的每一行元素之和为零。根据对称性，每一列元素之和也为零。,重庆交通大学,（3）k是对称矩阵由k各元素的表达式，可知k具有对称性。,njnj,对于主对角线元素对称。对称表达式：,kij=kji,重庆交通大学,证明,kij表示当单元位移中第j个元素为1(j=1)其余元素为零时，引起的单元力中的第i个节点力Fi,kji表示当单元位移中第i个元素为1(i=1)其余元素为零时，引起的单元力中的第j个节点力Fj,由虚功原理，得,kij=kji,重庆交通大学,（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵即k的行列式为零（由行列式性质）。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（3）中的“平动问题”，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程(3-28）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。,（5）单元刚度矩阵是常量矩阵,单元力和单元位移成线性关系是基于弹性理论的结果。,重庆交通大学,4、例：平面应力直角三角形单元刚度矩阵,图3-8示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分别为a、b，厚度为h，弹性模量为E，泊松比为，计算单元刚度矩阵。,图3-8,重庆交通大学,第一步：计算bi、ci和单元面积A。,图3-8,（3-17）,表3-1单元节点坐标和bi、ci值（i、j、m）,参数,节点,单元面积:A=ab/2,计算步骤,重庆交通大学,第二步：求子矩阵由式(3-41），算得,其他从略。,第三步：形成k将kii等按式(3-40）组集成k。,(3-40）,重庆交通大学,(3-43a）,2i-12i2j-12j2m-12m,红色号码是单元位移（1、2、）在结构中对应的节点位移的序号。,i,j,m,i,j,m,重庆交通大学,i、j、m表示单元中3个节点在结构系统中的编号。,当a=b时，即等腰直角三角形单元，有,(3-43b）,ijm,i,j,m,重庆交通大学,3.7等价节点力,从前面单元分析可以看出：单元平衡所用到的的量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。载荷亦应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成为等价节点力（载荷）。在第3.5节中已经得到了公式(3-35）和(3-36）。,这里，Fd就是体积力、表面力和集中力之和的总等价节点力。,重庆交通大学,(3-44）,把总等价节点力Fd分解成体积力、表面力和集中力的等价节点力之和，有,FV单元上体积力的等价节点力FS单元上表面力的等价节点力pC单元上节点上的集中力,注意到式(3-35），得体积力等价节点力计算公式：,表面力的等价节点力计算公式：,(3-45）,(3-46）,1、体积力的等价节点力,2、表面力的等价节点力,重庆交通大学,3、等价节点力计算举例,（1）单元自重,图1-9所示平面应力三角形单元，单元厚度为h。单元单位体积自重为，自重指向y轴的负方向。,(3-45）,计算式,重庆交通大学,注意到形函数的性质4：,(3-23）,得自重荷载的等价节点力,根据体积力和式(3-45）、(3-21）、(3-22），得,重庆交通大学,(3-47）,上式表明：自重载荷的等价节点力为单元重量的1/3。,重庆交通大学,（2）均布面力,单元边界上作用了均匀的分布力，如图3-10所示，其集度为qs。,(3-46）,(3-21）,根据式(3-46）、(3-21）和(3-22）,计算式,重庆交通大学,注意到形函数性质4：,(3-23）,得,(3-48）,(3-22）,均匀分布力的等价节点力为,重庆交通大学,式(3-48）表明：在ij边上受均布面力的平面问题三角形单元，其等价节点力等于将均布面力合力之半简单地简化到i、j节点上，方向与分布力方向相同。m节点上为零。,(3-48）,重庆交通大学,（3）线性分布面力,表面力集度在i点为qsxqsyT，而在j点为0。设坐标轴s的原点取在j点，沿ji为正向，。,ij边上任一点的面力集度qs,重庆交通大学,在ij边上有：,将qs和上式代入式(3-46），有,由形函数的性质3：,重庆交通大学,(3-49）,重庆交通大学,式(1-49）表明：ij边受线性分布面力：i点为qsx,qsyT，j点为0时，其等价节点力可将总载荷的2/3分配给i点，1/3分配给j点，m点为零得出。,体积力和表面力向节点的移置符合静力等效原理的前提条件是：线性位移模式。,重庆交通大学,3.7系统分析,3.7.1坐标系,研究各离散单元集合成整体结构，集合整体结构的平衡和变形协调，建立整体结构平衡方程。,单元分析时采用的坐标系成为局部坐标或单元坐标（单元刚度矩阵的通用性）。而结构系统分析时，必须在统一的坐标系内进行（各力学量才能叠加），称为“结构坐标”或“整体坐标”，如图3-13所示。,重庆交通大学,单元坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为：,整体坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为：,如何从单元坐标转化为结构坐标将在后面学习中讨论。,重庆交通大学,1.7.2整体刚度矩阵,假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在整体坐标系下，对于每个单元均有：,将上述这些方程集合起来（整体坐标下叠加），便可得到整个结构的平衡方程。为此，需要将k、F体积膨胀，分别扩大为n1n1、n11和n11的矩阵才能相加。膨胀后，原有节点号对应位置的元素不变，而其它元素均为零。,重庆交通大学,组装方法：建立一个体积为n1n1的方阵，按单元序号依次把结构坐标单元刚度矩阵的元素放入该方阵中。放入方法：（1）按单元节点编码对号入座；（2）同位置元素累加。,式中：K为整体刚度矩阵，为整体节点位移列阵；P为整体等价节点荷载列阵。如下：,（3-50）,重庆交通大学,i,j,m,i,j,m,例：平面三角单元,双行双列,重庆交通大学,3.7.3结构刚度矩阵特性,1、结构刚度矩阵元素的力学意义,把方程(3-50）写开，,=1,(3-51）,重庆交通大学,2、结构刚度矩阵是对称矩阵已知单元刚度矩阵是对称矩阵,用单元刚度矩阵组集结构刚度矩阵的过程又没有破坏其对称性，结构刚度矩阵必然也是对称的。当然，对称性也可以通过虚功原理得到证明。,结构刚度矩阵中的任一元素kij是j为单位位移（j=1），其它位移为零时的Pi。,重庆交通大学,3、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值由性质(1)可知，任一主对角线上元素kii是使节点位移i为一单位位移，其它节点位移为零时必须在第i号位移方向施加的力Pi。它的方向自然应与位移方向相同，因而是正值。,重庆交通大学,4、结构刚度矩阵是一个稀疏矩阵,稀疏矩阵指：存在大量零元素。非零元素稀疏排列。,矩阵的每一列都有很多零元素。考察矩阵中第j列。,重庆交通大学,再分析图（3-14）。设节点b发生单位位移j=1，其它位移为零时，j只能在与点节b有直接联系的q、r节点引起节点力，不能在其它节点引起节点力。所以式（3-52）中，只有和q、p、r、b节点位移的相关元素才不为零，其余的元素都是零元素。,任一元素kij是j=1（其它=0）引起的Pi（i=1、2）,（3-52）,b,重庆交通大学,其它各列的情况也是类似的。结构的节点总数通常都比直接环绕于任何一个节点的节点数大得多，因而，结构刚度矩阵中很大一部分元素是零，即所谓的稀疏矩阵。,5、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵,从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知，处于静力平衡状态的无约束单元可以发生任意的刚体位移。与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样，无约束结构的结构刚度矩阵K也是奇异矩阵，即K的行列式为零。,重庆交通大学,1.7.6引入支承约束的结构节点平衡方程,6、结构刚度矩阵是常量矩阵,结构刚度矩阵是常量矩阵。结构的节点力和节点位移成线性关系都是基于弹性理论的结果。,（3-53）,用平衡方程（3-53）是解不出结构的节点位移的，因为结构刚度矩阵是奇异矩阵。因此，必须引入约束，排除任何刚体位移，使结构为几何不变体系。,重庆交通大学,方程（3-53）中的刚度矩阵K和节点荷载向量列阵P可分割为约束和自由两部分：,式中，Pr是支承反力，约束位移,自由,约束,(3-55）,(3-56）,展开（354），有：,重庆交通大学,Kff引入约束后的结构刚度矩阵。它通对K引入约束后获得，具体方法:从无约束的结构刚度矩阵K中删去与受约束位移号对应的行和列，再将矩阵压缩排列成nn阶方阵，即为约化后的结构刚度矩阵Kff。Kff这是一个非奇异矩阵，它存在逆矩阵。,方程(3-55）是引入约束后的结构节点平衡方程，用于计算结构所有非刚性约束节点的节点位移。而方程(3-60）可以用来计算结构所有受刚性约束节点的反力。,重庆交通大学,(3-61）,由式(3-55）即可解出全部未知的节点位移：,3.7.7节点位移和单元力的解答,3、结构节点位移,2、支座反力,把解出的f代入(3-56），即得支座反力P