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,泛函与变分,虚位移原理,Fi主动力,FNi约束反力,ri虚位移,Fi+FNi=0,Firi+FNiri=0,Firi+FNiri=0,FNiri=0,Firi=0,对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原理,拓展微分几何,考虑系统的构型流形M。假定约束都是可积的，不可积的情形需考虑M上的一个分布。如果系统不含时（指拉格朗日函数L或者哈密顿H），那么就一直看M就行了。虚位移就是M上某点处的切向量。如果系统含时（意义同上），那么需考虑MR，某一点处的切空间可看作M的切空间与R的切空间的直和（Tp(MR)与TpMTpR的同构，本来全部用p是不对的，但意思是清楚的就不多写了），仅仅在M的切空间中的那些切向量才被叫做虚位移，也就是一般所谓的“冻结时间”的说法。,Firi=0,上式称为虚位移原理的解析表达式,应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：,（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；,（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。,结论与讨论,1.虚位移,质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移,作用在质点上的力在虚位移上所做的功虚功,2.理想约束,质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。,Firi=0,具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原理,3.虚位移原理,通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，代之以约束反力，并将此约束反力当作主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。,（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；,（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。,5.建立虚位移关系间的方法,4.广义坐标与自由度,广义坐标确定质点系位形的独立参变量。用q1，q2，表示。
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