复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第三章导数及其应用复习指导理pdf

第三章 导数及其应用 4 3 第第第第第 三三三三三 章章章章章 导数及其应用 内 容 要 求 ABC 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值 导数在实际问题中的应用 *简单的复合函数的导数 1 .导数是高中数学中的重要内容, 是解决实际问题的 强有力的数学工具.高考对导数的考查也主要是突出它的 “ 工具性” , 即考查应用导数的知识、 方法解决相关问题的能 力.重点考查的内容包括导数的概念和计算及一些简单的应 用, 在考查的过程中注重与应用问题相结合, 不过多地涉及 理论探讨和严格的逻辑证明. 2 .在近几年的高考中, 对导数知识的考查由浅入深, 已 成为每年必考的知识点.若以填空题的形式出现, 应是基础 题, 难度不大; 但若以解答题的形式出现, 应属综合题, 不排 除将导数知识与解析几何、 立体几何( 如2 0 1 1年高考江苏卷 第1 7题、2 0 1 3年高考重庆文科卷第2 0题就考查了导数与立 体几何相结合的问题) 、 函数的单调性( 如2 0 1 3年高考江苏 卷第2 0题就考查了利用导数来确定含参函数的单调性问 题) 、 极值、 最值, 二次函数, 方程, 不等式( 如2 0 1 4年高考江 苏卷第1 9题就考查了导数与含参不等式恒成立相结合的问 题) , 代数证明等知识进行交汇、 综合. 3 .从这几年的高考来看, 导数的常考题型有:简单的 函数求导( 若是复合函数仅限于形如f( a x+b) 的形式的函 数求导) 和利用导数的几何意义解决曲线斜率、 倾斜角及切 线的有关问题.其中“ 函数y=f(x) 在x=x0处的导数即 表示曲线在点P(x0,f(x0) ) 处的切线斜率” 是最常考的几 何意义之一( 如2 0 1 4年北京卷第2 0题, 福建卷第2 2题, 广 东卷第1 1题就考查了导数的几何意义). 应用导数求函数 的单调区间或判断函数的单调性, 应用导数求函数的极值和 最值等.这里的函数若是多项式函数, 则它的次数要求不超过 三次( 如2 0 1 1年江西理科卷第1 9题, 就考查了利用导数来解 决三次函数的单调性问题及求函数最值问题). 应用导数解 决实际问题, 即从实际问题出发, 建立函数模型, 解决实际问 题( 如2 0 1 3年重庆文科卷第2 0题就考查了利用导数来求实 际问题的最值). 1 .复习这部分知识时应强化以下几个基本思想: ( 1)数形结合思想: 复习本章时, 要注意无论是导数概 念的建立、 利用导数的几何意义求过曲线上的任意一点的切 线方程, 还是解决函数的单调性、 极值、 最值问题, 利用定积 分求平面图形的面积问题, 都是借助图形来帮助理解或解决 的, 因此本章自始至终都贯穿了数形结合的思想. ( 2)极限思想: 导数的引入源于“ 局部以直代曲” 、 “ 由近 似到精确” 、 “ 由有限到无限” 的极限思想.在研究导数概念 时, 先是“ 局部以直代曲” 研究平均变化率, 进而“ 由近似到精 确” 研究瞬时变化率, 从而导出导数的概念. ( 3)分类讨论思想: 分类讨论思想也应贯穿本章复习的 始终, 在研究函数的平均变化率、 瞬时变化率、 在点x0的导 数的几何意义, 利用导数研究函数的单调性、 极值、 最值以及 最优化问题中无不蕴含着分类讨论思想.许多热点问题中也 蕴含着分类讨论的思想, 如在解决由已知函数的单调性确定 参数范围问题时, 一般将问题转化为不等式的恒成立问题, 再经过分类讨论求得参数的范围. ( 4)化归与转化思想: 求函数的极值、 最值、 单调性、 过 点x0处的切线方程等都是一种程序化的运算过程.在解决 相关问题时只需将问题转化到上述问题, 就可按程序进行 解决. 高考复习指导 数学( 教师用书) 4 4 2 .复习这部分知识时还应注意: ( 1)在复习时要明确导数作为一种工具在研究函数的 变化率, 解决函数的单调性、 极值、 最值等方面的作用, 这种 作用不仅体现在为解决函数问题提供了有效的途径, 还在于 让我们掌握一种科学的语言和工具, 能够加深对函数的理解 和直观认识. ( 2)要重视导数与解析几何( 特别是切线、 最值) , 导数 与函数的性质( 特别是单调性、 极值、 最值) , 导数与方程、 不 等式、 代数式的证明等知识进行交汇、 综合运用的题. ( 3)应以课本为主, 夯实基础, 注重课本的例习题的 改编. 第1 7课时 导数的概念 及几何意义 内 容 要 求 ABC 导数的概念 导数的几何意义 1 .了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义, 了解 导数概念的实际背景, 理解导数的概念. 2 .理解导数的几何意义, 会求简单函数的导数和曲线 在一点处的切线方程. 3 .导数的几何意义是高考的重点、 热点, 具体考查时往 往体现在求曲线的切线方程、 切线的斜率等.因此, 复习时应 在求导数、 导数的几何意义等方面多下功夫. ( 第1 题) 1 .一般地, 函数f(x) 在区间 x1,x2 上的平均变化率为 f(x2)-f(x1) x2-x1 , 即它是函数 值的改变量y与相应的自 变量的改变量x的比; 如 图, 平均变化率的几何意义是 过点( x1,f(x1) ) 及点(x2, f(x2) ) 的割线的斜率. 2 .设函数y=f(x) 在区间(a,b) 上有定义,x0(a,b). 当x无限趋近于0时, 比值 y x =f( x0+x)-f(x0) x 趋近于一个常数A, 则称f(x) 在x=x0处可导, 并称该 常数A为函数f(x) 在x=x0处的导数, 记作 f ( x0). 3 .若f(x) 在区间(a,b) 内任一点都可导, 则f(x) 在各点的 导数也随着自变量x的变化而变化, 因而也是自变量x 的函数, 该函数称为f(x) 的导函数, 也可简称为f(x) 的 导数, 记作 f ( x). 4 .导数 f ( x0) 的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0, f(x0) ) 处的切线的斜率. 5 .一般地, 设s=s(t) 是运动物体的位移函数, 那么s (t) 的 物理意义是运动物体在t时刻的瞬时速度v( t) ; 设v= v(t) 是运动物体的速度函数, 那么v (t) 的物理意义是运 动物体在t时刻的瞬时加速度a( t). 1 .某婴儿从出生到第1 2个月的体重变化如图所示, 则该婴 儿从 第6个 月 到 第1 2个 月 体 重 的 平 均 变 化 率 为 0 . 4k g / 月. ( 第1 题) ( 第2 题) 2 .如图, 曲线y=f(x) 在点P处的切线方程是y= -x+ 8, 则f(5)+3 f ( 5)=0 . 3 .一质点的运动方程为s=t 2+1 0( 位移单位: m, 时间单 位: s) , 则该质点在t=3 s时的瞬时速度为6m/s . 4 .已知曲线y=f(x) 在x= - 2处的切线的倾斜角为3 4 , 则 f ( -2)= -1, f(-2) =0 . 5 .曲线y=x 2的一条切线的斜率是-4, 则切点的坐标为 (- 2,4). 6 .球半径以2c m/s的速度膨胀, 当半径为5c m时, 表面积 的变化率是8 0 c m 2/ s . ( 例1) 1 .理解平均变化率、 瞬时变化率的联系与区别 例1 如图, 酒杯的形状为倒立的圆锥, 杯深 8 c m, 上口宽6 c m, 水以2 0c m 3/ s的流 量倒入杯中, 当水深为4c m时, 水升高 的瞬时变化率为 c m/s .( 结果 保留) ( 本题改编自选修2 2 P 1 7习题 1 . 1第1 3题、 选修1 1 P 6 8习题3 . 1第 1 3题) 点拨一 要求水升高的瞬时变化率, 先得求出杯中水高度的 变化量h, 再求出 h t, 当 t 0时, 比值 h t趋近的 第三章 导数及其应用 4 5 常数值即为水升高的瞬时变化率.解本题的另一个 关键在于弄清“ 水流量为2 0 c m 3/ s” 的含义. 解法一 设ts时, 水面半径为rc m, 水深为hc m, 则 r h = 3 8, 于是r= 3 8 h. 若 此 时 杯 中 水 的 体 积 为V c m 3,则 V= 1 3 r 2 h= 3 6 4 h 3, 于是V= 3 6 4 (h+h) 3-h3 = 3 6 4 3h 2( h)+3h(h) 2+( h) 3 , V t = 3 6 4 3h 2 h t +3h h t ( h) + h t ( h) 2 . 当t 0时, 若记水升高的瞬时变化率为h t, 则 h t h t.又水流量为2 0 c m 3/ s, 因此当t0时, V t2 0 . 于是有2 0= 3 6 4 3h 2 h t, 当h=4时, 解得h t=8 0 9 c m/s . 反思 理解平均变化率与瞬时变化率的联系和区别是解本 题的关键.设函数y=f( x) 在x0处及附近有定义, 当自变量x在x0附近的改变量为x时, 函数值相 应地改变y=f( x0+x)-f(x0) , 则 y x 称作y= f(x) 在区间x0,x0+x ( 或x0+x,x0 ) 的平 均变化率; 当x0时, 平均变化率 y x 趋近一个常 数A, 则常数A为函数f(x) 在x0处的瞬时变化率. 点拨二 当t 0时, 增加的水的体积可用圆柱的体积来近 似计算. 解法二 当水面高度为4c m时, 可求得水面半径为3 2c m. 设水面高度增加h时, 水的体积增加V, 从而 V 3 2 2 (h) ( 用圆柱体积近似表示增加的 水的体积) , 所以 V t 9 4 h t . 当t 0时, 得2 0 =9 4 h t, 解得h t= 8 0 9 c m/s . 反思 在研究导数概念时, 先是“ 局部以直代曲” 研究平均变 化率, 进而“ 由近似到精确” 研究瞬时变化率, 从而导 出导数的概念, 这种极限的思想在解题中有着重要作 用.如本例的解法二简洁、 明了, 让人耳目一新. 2 .利用导数的几何意义解决曲线斜率、 倾斜角及切线的 有关问题 例2 (1)设P为曲线C: y=x 2+2 x+3上的点, 且曲线C 在点P处切线倾斜角的取值范围为0, 4 , 则 点P横坐标的取值范围为 ; ( 2)( 由2 0 1 0年江苏卷改编) 函数y=x 2( x0)的 图象在点( ak,a 2 k) 处的切线与x轴交点的横坐标 为ak+ 1, k为正整数.若a1=1 6, 则该函数图象在 点P(a5,a 2 5) 处的切线方程为 . 点拨 第(1) 题已知切线倾斜角的取值范围, 从而可确定切 线斜率的取值范围.不论是(1) 还是(2) 中曲线上点 x=x0处的切线斜率均为 f ( x0) , 从而将切线的斜 率与切点的横坐标x0联系起来求解. 解 (1)设切点P的横坐标为x0, 又 y =2 x+2, 所以切线的斜率 y x=x0 =2x0+2=t a n( 为 点P处切线的倾斜角). 又因为 0, 4 , 则0t a n 1 , 即02x0 + 2 1 , 所以x0 -1,- 1 2 . ( 2)因为 y =2 x, 所以函数图象在点(ak,a 2 k) 处的切 线的斜率 y |x= a k =2ak, 此时切线方程为y-a2 k= 2ak(x-ak).令y=0, 解得x=a k 2. 由题知ak+ 1= ak 2, 因此数列 an 是以a1=1 6为首项、 1 2为公比 的等比数列, 于是a5=a1 1 2 4 =1 6 1 2 4 = 1, 故点P的坐标为(1,1) , 在P处切线的斜率为 2a5=2, 于是切线方程为y- 1=2(x- 1) , 即2x- y-1=0 . 反思 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一, 用导数求 切线方程的关键在于确定切点P的坐标(x0,y0) 及 切线的斜率.在这基础上有: 若P(x0,y0) 是曲线y =f(x) 上的一点, 则以P为切点的切线方程为y- y0= f ( x0) (x-x0).此时, 特别要注意:斜率 f ( x0) 中的x0必须是切点的横坐标;若曲线y=f(x) 在点P(x0,f(x0) ) 的切线平行于y轴( 即导数不存 在) 时, 由切线定义知, 切线方程为x=x0. 例3 已知曲线y= 1 3 x 3+4 3. ( 1)求曲线在点P(2,4) 处的切线方程; ( 2)求曲线过点P(2,4) 的切线方程; ( 3)求满足斜率为1的曲线的切线方程. 点拨 (1)求导数求切线斜率写切线方程 ( 2)设切点求切点坐标写切线方程 ( 3)设切点由k=1求切点坐标写切线方程 解 (1) y =x 2, 曲线在点P(2,4) 处的切线的斜率k= y |x= 2=4, 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y- 4= 4(x-2) , 即4x-y-4=0 . ( 2)设曲线y= 1 3 x 3+4 3 与过点P(2,4) 的切线相切 高考复习指导 数学( 教师用书) 4 6 于点A x0,1 3 x 3 0+ 4 3 , 则切线的斜率k= y |x=x0=x 2 0, 切线方程为y- 1 3 x 3 0+ 4 3 =x 2 0(x-x0) , 即y=x2 0x- 2 3 x 3 0+ 4 3. 点P(2,4) 在切线上, 4=2x 2 0- 2 3 x 3 0+ 4 3, 即x3 0-3x 2 0+4=0, x 3 0+x 2 0-4x 2 0+4=0, x 2 0(x0+1)-4(x0+1) (x0-1)=0, (x0+ 1) (x0- 2) 2=0, 解得x 0= - 1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y- 4=0或x-y+ 2=0 . ( 3)设切点坐标为(x0,y0) , 故切线的斜率k=x 2 0=1, 解得x0= 1, 故切点坐标为1,5 3 , ( - 1,1 ) , 故 所求的切线方程为y-5 3 =x- 1和y- 1=x+ 1, 即3x-3 y+2=0和x-y+2= 0 . 反思 由(1) (2) 两问的结果可以看出在点P(2,4) 处的切线 与过点P(2,4) 的切线的区别.过曲线上一点的切 线, 该点未必是切点, 解决此类问题时可先设切点坐 标, 再求切点, 然后利用导数的几何意义确定斜率, 从 而求得切线方程.第(3) 问已知切线斜率求切线方程, 可设切点坐标, 然后利用导数的几何意义求切点, 从 而求得切线方程. 拓展 已知函数y=x3-3x, 过点A(0,1 6) 作曲线y= f(x) 的切线, 求此切线方程. 提示 点A(0,1 6) 不在曲线y=x3-3x上.设切点为 M(x0,x 3 0-3x0) , 又 f ( x0)=3(x 2 0-1) , 所以切线 的方程为y-(x3 0-3x0)=3(x 2 0-1) (x-x0).又点 A(0,1 6) 在切线上, 代入上式解得x0=-2 .因此, 切 点为M(- 2,- 2) , 切线方程为9x-y+1 6=0 . 提醒 圆的切线就是“ 与圆只有一个交点的直线” , 这个定义 符合圆、 椭圆等一类曲线, 但对任意一条曲线C不能 用“ 与曲线C只有一个交点”来定义曲线C的切线. 曲线的切线不再是“ 圆的切线” 的定义, 而是通过“ 割 线逼近切线” 的方法来定义曲线在某点处的切线的. 如本例曲线y=x3- 2x的一条切线5x+ 4 y- 1=0 就过了曲线上- 1 2, 7 8 和( 1,- 1) 两点, 这也说明 若直线与曲线相切, 公共点未必只有一个. ( 例4) 3 .深刻理解函数及其导函数之间 的联系, 并能灵活地用于解题 例4 已知函数y=f( x) ,y=g(x) 的导函数的图象如右图所示, 那 么y=f(x) ,y=g(x)的图象 不可能 是 . ( 填序号) 点拨 本题考查的是导函数的几何意义, 从导函数的图象能 反映斜率的变化情况. 解 从导函数的图象可知这两个函数在x0处的切线的斜率 相同, 因此是错误的; 再者导函数的函数值反映的是 原函数的切线的斜率大小, 从图中可明显看出导函数y = f ( x) 的值随着x的变大而减小, 所以反映在原函数 的图象应该是随着x的增大, 在点(x,f(x) ) 处切线的 斜率慢慢变小, 所以也是错误的.同理, 再由y= g ( x) 的值的变化情况去验证y=g(x) 的斜率变化情 况, 可知是正确的.所以本题应填. 反思 导函数y= f ( x) 表示曲线在点(x,f(x) ) 处的切线 的斜率, 当y= f ( x) 的值随着x增大而增大时, 原函 数y=f(x) 图象上各点处的切线的斜率越来越大, 它 的图象是“ 下凸” 的; 而当y= f ( x) 的值随着x增大 而减小时, 原函数y=f(x) 图象上各点处的切线的斜 率越来越小, 它的图象是“ 上凸” 的.反之, 若已知函数 图象是“ 下凸” 的, 则说明图象上各点处的切线的斜率 越来越大, y= f ( x) 的值则随x增大而增大; 若已知 函数图象是“ 上凸” 的, 则说明图象上各点处的切线的 斜率越来越小, y= f ( x)的值则随x增大而减小. 由此可见函数的“ 凸性” 反映了函数值的变化速率, 各 点处切线斜率的变化快慢, 它是高等数学中的一个概 念, 对这类知识迁移的题的复习也应引起我们的 注意. 拓展 已知定义在R上的函数f(x) 的导函数 f ( x) 在R 上也可导, 且 f ( x) 0, 则y=f(x)的图象 可能是下列各图中的.( 只需填相应的序号即 可) 提示 由 f ( x) 0, 且a1) ; (l nx)= 1 x ; ( 4)三角函数的导数: (s i nx)= c o sx; (c o sx)=-s i n x. 3 .函数的和、 差、 积、 商的求导法则: 设f(x) ,g(x) 是可导的, 则 ( 1) f(x)g(x) = f ( x) g ( x) ; ( 2) C f ( x) =C f (x) (C为常数) ; ( 3) f(x)g(x) = f ( x)g(x)+f(x) g ( x) ; ( 4) f(x) g(x) =f ( x)g(x)-f(x)g (x) g 2( x) ( g(x)0). 高考复习指导 数学( 教师用书) 4 8 *4 .简单复合函数的求导法则: 一般地, 若y =f(u) ,u= a x+b, 则 y x= y uu x, 即 y x= y ua.也就是说y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1 .(1)函数f(x)=x 2+ x的导数 f ( x)=2x+ 1 2x ; ( 2)函数g(x)=x 3-3 2 x 2-6 x+2的导数 g ( x)= 3x 2-3 x-6; ( 3)函数h(x)=x 2+1 x 的导数h (x)=1- 1 x 2; ( 4)函数y=x e x 的导数 y =(1+x)e x. 2 .下列算式中正确的序号是. x+ 1 x =1+ 1 x 2; ( l o g2x)= 1 xl n 2 ; (3 x) =3 x l n 3; (x 2 c o sx)= -2xs i nx. 3 .设函数f(x)=x 2-2 x-4 l nx, 则 f ( x)0的解集为 ( 2,+). 4 .曲线y= 1 x 在点2,1 2 处的切线方程为x+4 y- 4= 0 . 5 .已知点P(2,2) 在曲线y=a x 3+ b x上, 如果该曲线在点 P处切线的斜率为9, 那么a b= -3 . 6 .若抛物线y=x 2-x+ c上一点P的横坐标是2, 过点P 的切线恰好过原点, 则c=4 . 1 .利用求导公式、 求导法则求导 例1 求下列函数的导数: ( 1)y=(2x 2+3) ( 3x-2) ; ( 2)y=x-s i nx 2c o s x 2; ( 3)y=t a nx; *( 4)y=2 x +l n(1-5x). 点拨 第(1) 题可利用函数积的求导法则进行求导, 还可利用 多项式乘法, 先将原函数解析式化为多项式后再求导; 第( 2) 题利用三角恒等变化对函数解析式化简后再求 导; 第( 3) 题t a nx=s i n x c o sx, 将原函数化归为熟知的求 导公式的函数的商后, 再求导; 第( 4) 题复合函数的 求导. 解 (1)方法一: y =(2x 2+ 3) (3x- 2)+(2x 2+ 3) ( 3x- 2)=4x(3x- 2)+(2x 2+ 3) 3=1 8x 2- 8 x+ 9 . 方法二: 因为y=( 2x 2+ 3) ( 3x- 2)=6x 3- 4 x 2+ 9x-6, 所以 y =1 8 x 2-8 x+9 . ( 2)因为y=x-s i nx 2c o s x 2 =x- 1 2 s i nx, 所以 y =1- 1 2 c o sx. ( 3) y = s i nx c o sx = ( s i nx)c o sx-s i nx(c o sx) ( c o sx) 2 =c o s 2 x+s i n 2 x c o s 2 x = 1 c o s 2 x. ( 4) y =(2 x) +l n(1-5x) =2 xl n 2+( 1-5x) 1-5x =2 xl n 2+ 5 5x-1 . 反思 (1) 求导数时, 先化简再求导是运算的基本方法, 这样 可以减少运算量.一般地, 分式函数求导, 要尽可能先 将原函数化为整式函数或较简单的分式函数; 对数函 数求导要先化成和、 差形式; 三角函数求导, 要先利用 恒等变换进行变形或化简( 如第( 2) 题) , 然后再利用 求导公式或求导法则进行求导.(2) 复合函数的求导 过程就是对复合函数由外层向里层求导, 每次求导针 对的均是外层, 直到求到最里层为止.所谓最里层是 指已可以直接引用基本公式进行求导( 如第( 4) 题). ( 3) 注意化归思想在解题中的应用( 如第(3) 题). 拓展 求下列函数的导数. ( 1)y=(x 2-2 x+3)e 2x; ( 2)y=3 x 2-x x +5x-9 x . ( 答案: (1) y = 2 ( x 2 -x+2)e 2x;( 2) y = 9x 2 1+ 1 x 2 -1) 提醒 牢记求导公式、 求导法则的结构和形式, 不要混淆. 如: f(x) g(x) f (x) g ( x) ,且 f(x) g(x) f (x)g(x)+f(x)g (x) g 2( x) ; f(x)g(x) f ( x) g ( x) 等. 2 .数形结合, 利用导数的几何意义解题 ( 例2) 例2 如图, 已知抛物线y=x- x 2上两点A, B的横坐标分 别是-1,1, 在抛物线的弧 A B 上求一点C, 使 A B C 的面积最大. 点拨一 依题可知A B为定值, 所 以只要点C到A B的距 离最大,A B C的面积 就最大.尝试从导数的几何意义出发进行分析, 可知当C为抛物线上与直线A B平行的切线的 切点时满足题意, 于是问题转化为求此时点C 的坐标. 解法一 设C( x0,y0) (-1x01).要使A B C的面积 最大, 只需点C到直线A B的距离最大即可, 此时 抛物线在点C处的切线与直线A B平行. 因为y=x-x2, 所以 y =1-2x, 所以 y x=x0 =1 -2x0.又直线A B的斜率为1,所以1 -2x0= 1, 解得x0=0 . 第三章 导数及其应用 4 9 所以当点C的坐标为(0,0) 时,A B C的面积最大. 点拨二 尝试设出点C的坐标, 构建点C到直线A B的距离 d的函数来求解. 解法二 设C( x0,x0-x 2 0) (-1x01).要使A B C 的面积最大, 只需点C到直线A B距离最大即可. 又直线A B经过点A(- 1,- 2) ,B(1,0) , 所以直 线A B的方程为x-y-1=0 . 设点C到 直 线A B的 距 离 为d,则d = |x0-(x0-x 2 0)-1 | 2 = 1 2| x 2 0-1 | . 又-1 0, 那么f(x)为 该 区 间 上 的 增 函 数; 如 果 在 某 区 间 上 f ( x)0, 求得的相应区 间是函数f( x) 的单调增区间; 解不等式 f ( x) 0, 右侧 f ( x)0且x1) 的单调减区间为 1 e, 1,(1,+). 第三章 导数及其应用 5 1 3 .若函数f(x)=x 3+ b x 2+ c x+d的单调减区间为-1, 2 , 则b=-3 2, c=- 6 . 4 .函数f(x)=x 3+m x2+x+1在R上没有极值点, 则m 的取值范围为- 3,3. 5 .函数f(x)=2x 3- 3 x 2+ a的极大值为6, 那么a的值为6 . 6 .已知函数f(x)=x 3+ a x在1,+) 上是增函数, 则a 的最小值是- 3 . 1 .确定函数的单调性及由函数的单调性确定参数的取 值范围 例1 (1)(2 0 1 2年苏州调研) 函数y= 1 x +2 l nx的单调减 区间为 ; ( 2)已知二次函数f(x)= -a 2x 2+( a- 2) 2 x+ 1在 区间( -1,1) 上是单调增函数, 则a的取值范围 为 ; *( 3)若f(x)= -1 2 x 2+ bl n(x+2) 在(-1,+) 上是单调减函数, 则b的取值范围是 . 点拨 第(1) 问可先求出导数 f ( x) , 再令 f ( x) 0, 解出x 的取值范围, 即可求出单调减区间.第(2) 、 (3) 问由f ( x) 在区间D上单调递增( 减) , 知f(x) 的导数 f ( x) 在区间D上 f ( x)0( f ( x)0) 恒成立, 由此将问 题转化为不等式恒成立问题求解. 解 (1)函数的定义域为(0,+) , y = - 1 x 2+ 2 x = 2x-1 x 2 .令 y 0 , 即2x - 1- 1,x+ 20, 所以只需bx( x+ 2)= ( x+1) 2-1恒成立即可, 而( x+ 1) 2- 1的最小值为- 1, 所以只需b- 1即可. 当b= - 1时, f ( x)= -x- 1 x+2在x (-1, +) 恒不为零, 即此时f( x) 在(-1,+) 上为 减函数, 符合题意. 所以b的取值范围是(-,- 1. 反思 (1) 利用导数确定函数的单调区间时, 首先得确定函 数的定义域, 这是易错之处.(2) 已知函数f(x) 在区 间D上是增函数( 或减函数) 求参数的取值范围, 一 般可用不等式恒成立理论来求解, 即令 f ( x)0( 或 f ( x)0) 在区间D上恒成立解出参数的取值范 围.此时, 应注意对取等号时的参数值进行检验, 看这 个值是否使 f ( x) 恒等于0, 若恒等于0, 则参数的这 个值应舍去( 检验过程可以不写, 但这个过程不能省 略).如本例( 3) 中当b=-1时, f ( x)= -x- 1 x+2恒不为零, 所以能取 -1 .由此可知f (x) 0( 或 f ( x)0, f(n)0; 若它在x m,n 上恒小于零 f(m)0, f(n)0( f ( x)0)即可.反过 来, 若已知f(x) 在区间D上单调递增( 减) , 求f(x) 中参数的取值范围, 此时可将问题转化为 f ( x) 0( f ( x)0) 在D上恒成立问题求解.但此时一定 要注意对结果中参数能否取等号进行检验. 2 .由函数的极值确定参数的值 例2 已知函数f( x)=x 3+ a x 2+ b x+c, 当x= - 1时, 取 得极大值7; 当x=3时, 取得极小值.求a,b,c的值 及函数的极小值. 点拨 通过极值点与导数的关系, 可知函数f(x) 的极值点为 f ( x)=0的根, 这样可得到两个相等关系 f ( -1)=0, 高考复习指导 数学( 教师用书) 5 2 f ( 3)=0; 又当x= - 1时, 取得极大值7, 即f(- 1)= 7, 再得一个相等关系, 联立方程组即可求得参数a,b, c的值. 解 f ( x)=3x 2+2 a x+b.由题意知-1,3是方程3x 2+ 2a x+b= 0的 两 根, 则 -1+3= - 2a 3, -13= b 3, 解 得 a= -3, b= -9, 所以f( x)=x 3- 3 x 2- 9 x+c.又f(- 1)=7, 解得c=2, 所以f( x)=x 3-3 x 2-9 x+2 . 经检验, f(x)=x 3-3 x 2-9 x+2符合题意, 所以极小值f( 3)=3 3-332-93+2= -2 5 . 所以a= -3,b= -9,c=2, 极小值为- 2 5 . 反思 理解极值点与导数的关系, 利用方程的思想, 通过列 方程( 组) 来求解参数是解决这类问题的最常用策略. 但此时要注意: 若x=x0是函数y=f( x)的极值 点, 则一定有 f ( x0)=0成立, 但反之则不一定成立, 即能使 f ( x)=0成立的x0并不一定是y=f(x) 的 极值点.那么, 怎样保证求出的x0是y=f(x) 的极 值点呢? 只需利用判断极值点的方法, 对x0进行判 断即可.换言之, f ( x0)=0是可导函数f(x) 在x= x0处有极值的必要不充分条件. 拓展 已知函数f( x)=x 3+a x2+ b x+a 2在x=1处有 极值1 0, 求f(2) 的值.( 答案: f(2)= 1 8) 反思 只能取a=4,b= -1 1这组解, 想想看, 为什么? 3 .对参数进行分类讨论, 确定函数的单调性与极值 例3 ( 根据2 0 1 0年山东卷改编) 已知函数f( x)=l nx-a x+ 1-a x -1(aR). ( 1)当a=- 1时, 求曲线y=f(x) 在点(2,f(2) ) 处 的切线方程; ( 2)当a 1 2 时, 讨论f(x) 的单调性. 点拨 第(1) 问,欲求出切线方程, 只须求出其斜率, 故先利 用导数求出在x=2处的导函数值, 再结合导数的几 何意义即可求出切线的斜率, 从而解决问题.第(2) 问, 利用导数来讨论函数的单调性即可, 因函数式中 含字母参数, 故要对字母a进行分类讨论. 解 (1)当a= -1时, f(x)= l nx+x+ 2 x -1 , 所以 f ( x)= 1 x + 1- 2 x 2, 因此 f ( 2)=1, 即曲线y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线的斜 率为1 . 又f(2)=l n2+2,所以曲线y=f(x)在点 ( 2,f(2) ) 处的切线方程为y-(l n 2 + 2)=x- 2, 即x-y+l n 2=0 . ( 2) f ( x)= 1 x -a-1- a x 2 = - a x 2-x+1-a x 2 ,x (0,+). 令 f ( x)= 0, 即a x 2-x+1-a= 0 . ( i)当a=0时, 解得x=1 . 因为x(0,1) 时, f ( x)0 . 所以f(x) 在(0,1) 上单调递减, 在(1,+) 上单 调递增. ( i i) 当a0时, 解得x=1或x=1- a a . 当a= 1 2 时, f ( x)= -( x-1) 2 2x 2 0在x(0, +) 上 恒成立, 所以f(x) 在(0,+) 上单调递减. 当a0时, 因为x(0,1) 时, f ( x)0 . 所以f(x) 在(0,1) 上单调递减, 在(1,+) 上单调 递增. 当0a 1 2 时, 因为x(0,1) 时, f ( x)0; x 1-a a ,+时, f ( x) 0 . 所以f(x) 在(0,1) ,1-a a ,+上单调递减, 在 1, 1-a a 上单调递增. 综上所述, 当a0时, f(x) 在(0,1) 上单调递减, 在( 1,+) 上单调递增; 当a= 1 2 时, f(x) 在(0,+) 上单调递减; 当0a0和 f ( x)0;确定f(x) 的单调 区间.若在函数式中含字母参数, 往往要分类讨论. 4 .数形结合, 通过探讨函数的单调性与极值情况作图 ( 草图) 来解决有关方程根的问题 例4 已知函数f( x)=l nx,g(x)= a x ( a0) , 是否存 在实数m, 使得函数y=g 2a x 2+1+m- 1的图象与 y=f(1+x 2) 的图象恰好有四个不同的交点? 若存 在, 求出m的取值范围; 若不存在, 说明理由. 点拨 令y1=g 2a x 2+1+m-1= 1 2 x 2 +m- 1 2, y2=f(1+x 2) =l n(x2+1) , 解决这类问题的常规 方法是采用图象法, 作出y1,y2的图象, 但这样做一 方面对作图准确性要求较高, 另一方面因为有了参数 m, 图象往往不好作, 因此, 常由于作不出图或作图误 差而无法正确解答.由题意知方程y1-y2=0应有 第三章 导数及其应用 5 3 四个不同的解, 尝试构造函数Q(x)=y1-y2, 通过 探讨Q(x) 的单调性与极值的关系来求解. 解 由题意知y1=g 2a x 2+1+m-1= 1 2 x 2+m-1 2, y2=f(1+x 2) =l n(x2+1). 令Q( x)=y1-y2= 1 2 x 2+m-1 2- l n ( x 2+ 1) , y1, y2的图象恰有四个不同的交