天津第一中学数学极坐标参数方程资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 1111 第一学期 第四周第一学期 第四周 课程内容 极坐标，参数方程 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 1111 1、准备知识要点： 直角坐标系下的坐标概念及曲线的普通方程 2、本阶段知识要点：理解坐标系的作用，会极坐标与直角坐标的互化；了解参数方程， 会将参数方程与普通方程互化；会利用参数方程解决有关圆锥曲线的最值问题。 （一）坐标系 1平面直角坐标系的建立：在平面上在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确 定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系平面直角坐标系。 2空间直角坐标系的建立：在空间中在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这 三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标 系 空间直角坐标 系。 3极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单 位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为 正方向），这样就建立了一个极坐标系。极坐标系。 （其中 O 称为极点，射线 OX 称为极轴。） 设 M 是平面上的任一点，表示 OM 的长 度，表示以射线 OX 为始边，射线 OM 为终边所 成的角。那么有序数对( , ) 称为点 M 的极坐 标。其中称为极径，称为极角。 4极坐标与直角坐标的互化： 互化的前提条件：（1）极点与原点重合； （2）极轴与 x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。 设点 P 的直角坐标为（x，y），它的极坐标为( , ) ，则 = += = = x y yx y x tan sin cos 222 或 若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点 P 所在的象限（即角的终边的 位置），以便正确地求出角。 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 （二）曲线的极坐标方程 1特殊位置的直线与圆的极坐标方程： 1coscossinsin0aaaa a= = （）直线：，（） 22 cos2 cos2 sin2 sin0aaaaa= = （ ）圆：，（） 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 4 / 1111 2直线的极坐标方程：若直线过点 00 (,)M ，且极轴到此直线的角为，则它的方程 为： 00 sin()sin() = 3圆的极坐标方程： 若圆心为 00 (,)M ，半径为 r 的圆方程为： 222 000 2cos()0r += （三）参数方程与普通方程的区别与联系： 在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点 P（x，y）的坐标 x，y 之间满足的等 量关系 F（x，y）0，这样得到的方程 F（x，y）0 就是曲线的普通方程；而有时要想 得到联系 x，y 的方程 F（x，y）0 是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量 t， 使之与曲线上动点 P 的坐标 x，y 间接地联系起来，此时可得到方程组 ( ) ( ) ( ) ( ) xf t Ptt yt xyCCxyxyt xf t Ct yg t = = = = ，即点 的运动通过变量 的变化进行描述。若对 的每一个值，由方程组确定的点 （ ， ）都在曲线 上；反之对于曲线 上的每一个点（ ， ），其中 ， 都是 的函数， 则把方程组叫做曲线 的参数方程，其中的 称为参数。 显然，参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别，更大的区别是普通 方程反映了曲线上任一点坐标 x，y 的直接关系，而参数方程则反映了 x，y 的间接关系。 尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但他们之间又有着密切的联系，这种联系表现 在两方面：（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方 面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通 过引入参数，也可把普通方程化为参数方程。需要注意的是，在将两种方程互化的过程 中，要注意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取值范围对 x，y 的取值 范围的影响。 实质上，参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也 可认为引入参数就是引入函数的自变量。参数法在求曲线的轨迹方程，以及研究某些最值 问题时是一种常用的甚至是简捷的解题方法。 （四）参数方程与普通方程互化的基本思路 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减 消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一个关系 x=f(t)（或 y=(t)），再代入普通方程 F（x，y）0，求得另一关系 y=(t)（或 x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵 坐标）。 （五）常见曲线的参数方程的一般形式： （1）经过点 P0（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程为 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 1111 0 0 cos sin xxt t yyt =+ =+ （ 为参数） 0 PtPP设 是直线上的任一点，则 表示有向线段的数量 利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便。 方法是： 把 ：代入圆锥曲线 ： （ ， ），即可消去 ， ；l xxt yyt CFxyxy =+ =+ = 0 0 0 cos sin 2 00tatbtca+=而得到关于 的一元二次方程：（） 则（1）当0 时，l与 C 有两个公共点；此时方程 at2+bt+c=0 有两个不同的实根 t1、t2，把参数 t1、t2 代入l的参数方程，即可求得l与 C 的两个交点 M1、M2的坐标；另外，由参数 t 的几何 意义，可知弦长|M1M2|=|t1-t2|= 21 2 21 4)(tttt+。 （2）椭圆、双曲线、抛物线的参数方程 22 22 cos 1 sin xa xy ybab = += = 椭圆的参数方程为（ 为参数） 22 22 sec 1 xa xy ybtgab = = = 双曲线的参数方程为（ 为参数） 2 2 2 2 2 xpt ypxt ypt = = = 抛物线的参数方程为（ 为参数） 例 1. 例 1. 解答下列各题 （1）化点 M 的直角坐标（3，4）为极坐标； 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 6 / 1111 例 4 例 4 2 4sin5 2 =极坐标方程表示的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 分析与解：分析与解： 2 1 cos 4sin422 cos5 22 = 22 225xyx+=化为直角坐标方程： 化简，得：yx 2 5 25 4 =+ 显然该方程表示抛物线，故选 D。 若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标 方程，加以研究。 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 7 / 1111 例 5例 5 2 sin 42 += 已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是 分析：分析：对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因 此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点，直线的方程 化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程。 解：解：极点的直角坐标为 O（0，0） 222 sinsincos 4222 +=+= sincos11 0 xy+=+ =，化为直角坐标方程为： +=点 （ ， ）到直线的距离为Oxyd0010 1 2 2 2 22 sin 422 += 即极点到直线的距离为 例 6例 6554 3 623 ABCABC 已知的三顶点的极坐标分别为，判断三 角形 ABC 的形状，并求出它的面积。 分析：分析：判断ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易， 不妨先计算边长。 解：解： 55 366 AOBBOCAOC =， 又|OA|=|OB|=5，|OC|=43 由余弦定理，得： |AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|OC|cosAOC () 2 2 5 54 32 54 3 cos133 6 =+ = |AC|=133 (133BC =同理， |AC|=|BC| ABC为等腰三角形 (5ABOAOB=又 = =ABhACAB边上的高 2 2 1 2 13 3 2 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 1111 113 365 3 5 224 ABC S= 例 7.例 7. 2 10 xyt+ =与普通方程等价的参数方程为（）（ 为参数） = = = = = = = = ty tx D ty tx C ty tx B ty tx A 222 sin cos . 1 . tan1 tan . cos sin . 分析与解： 分析与解： 2 10 xyxy+ =所谓与方程等价，是指若把参数方程化为普通方程，形式一致，且 ， 的变化范围对应相同，按照这一标准逐一验证。 2 10110 1Axyxy+= （ ）化为普通方程为， 2 10(1BxyxRy+ = （ ）化为普通方程为， 2 100)(1Cxyxy+ =+ （ ）化为普通方程为， 2 10110 1Dxyxy+= （ ）化为普通方程为， 2 10(1xyxRyB+ = 而已知方程，显然与之等价的方程是（ ）。 例 8. 例 8. 22 22 tt tt x t y = =+ 方程（ 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线下支 D. 圆 分析与解：分析与解： 把方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型。注意到 2t与 2-t互为倒 数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含 t 的项： ()() 22 2222 222244 tttt xyyx =+= =，即 20 222 2222 ttttt y +=又注意到，即 22 42yxy=可见与以上参数方程等价的普通方程为：（） 显然它表示焦点在 y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选 B。 例 9. 例 9. 22 2 1 3 xt txy yt =+ = = 直 线（ 为 参 数 ） 被 双 曲 线上 截 得 的 弦 长 为 。 分析与解：分析与解：方法之一可把直线的参数方程化为普通方程，与双曲线方程联立，消元，再结 合韦达定理，利用弦长公式|AB|= 2 21 2 )()1 (xxk+可求得弦长；若不把参数方程化为 普通方程，又怎样求弦长呢？注意到直线参数方程不是标准形式 += += sin cos 0 0 tyy txx ，故上 述方程中的 t 不具有显而易见的几何意义，因此有必要先将其化为标准形式： () () 11 222n 22 n2 33 2n 22 xtt tt ytt =+=+ = = （为参数） 代入，得：xytt 22 2 2 12 1 2 3 2 1=+ = 2 n4 n 6 0tt =整理，得： 12 nntt设其二根为，则 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 1111 1212 nn 4nn6tttt+=， 从而弦长为|AB|=|t1n-t2n|=10240)6(444)( 2 21 2 21 =+nnttntnt 例 10. 例 10. 22 23122Pxyxy+=+设 是椭圆上的一个动点，则的最大值是，最小值是。 分析一分析一：注意到变量（x，y）的几何意义，故研究二元函数 x+2y 的最值时，可转化为几 何问题。若设 x+2y=t，则方程 x+2y=t 表示一组直线（t 取不同的值，方程表示不同的直 线），显然（x，y）既满足 2x2+3y2=12，又满足 x+2y=t，故点（x，y）是方程 22 2312 2 2 0 xy xyt xyt += += += 组的公共解。依题意，可知直线与椭圆总有公共点。从而转化为 研究消元后的一元二次方程的判别式。 解法一：解法一： 22 2x y2x312xyty+=+=令， ， 还满足，故 22 2 2312 xyt x xy += += 方程组有公共解，消去 () 22 1182120yyt yt+=得 的一元二次方程： () 22 644 1121202222ttt = 由解得： 22222xy +的最大值为，最小值为 分析二：分析二：由于研究二元函数 x+2y 相对困难，因此有必要消元，但由 x，y 满足的方程 2x2+3y2=12 表出 x 或 y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有 其他途径把二元函数 x+2y 转化为一元函数呢？ 方法是利用椭圆的参数方程代入中，即可转化为以 xyx y xy 22 64 1 6 2 2+= = = + cos sin 为变量的一元函数。 解法二：解法二： 22 2x +3y =12x= 6cos2siny=由椭圆的方程，可设， ()226 cos2 2sin22 sinxyxy+=+=+代入，得： 其中 4 6 tan=，由于1)sin(1+，所以22222+yx yx2+的最小值为22，最大值为22 注以上两种解法都是通过引入新的变量来转化问题，解法一是通过引入 t，而把 x+2y 几何化为直线的纵截距的最值问题；解法二则是利用椭圆的参数方程，设出点 P 的 坐 ( )6 cos2sin2xyf+标（，），代入中，转化为一元函数求其最值，这两种解法不妨都 称为“参数法”。 例 11.例 11. 已知线段 BB=4，直线l垂直平分 BB，交 BB于点 O，在属于l并且以 O 为起点的 同一射线上取两点 P，P，使 OPOP9，求直线 BP 与直线 BP的交点 M 的轨迹方程。 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1010 / 1111 解：解：以 O 为原点，BB为 y 轴，l为 x 轴建立直角坐标系，则 B（0，2），B（0，-2）， 设 P（a，0），0a，则由 OPOP=9，得：) 0 , 9 ( a Pn 1 2 xy BP a +=直线的方程为： 直线 BP的方程为：1 )2( ) 9 ( = + y a x 22029180 xayaaxy+=即与 220 29180 xaya M xy axy += = 设 （ ， ），则由解得： 2 2 2 18 9 218 9 a x a a a y a = + = + （ 为参数） 22 49360axyx+=消去 ，可得：（） 点 M 的轨迹是长轴为 6，短轴长为 4 的椭圆（除去点 B，B） 注这是一道参数法（引入 a 作为参数）求轨迹方程的典型题，注意体会参数在解决 问题中的作用。 例 12.例 12. 如图，点 A 在直线 x=5 上移动，等腰OPA 的顶角OPA 为 120（O，P，A 按顺 时针方向排列），求点 P 的轨迹方程。 分析一：分析一：若设 A（5，t），即引入变量 t，则可求点 P 的轨迹的参数方程。为此，只需寻 找两个等量关系：（1）POPA；（2）APO120o 解法一：解法一： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1111 / 1111 设 A（5，t），P（x，y） |PO|=|PA| ()() 22 22 5xyxyt+=+ 2 1022501xt yt+=整理，得： APO=120o， OPAP OPAPoo KK kk APOAPO + = 1 120tantan,120Q 5 APOP yty kk xx = ，代入上式，得： 22 5 32 5 yt x xyxty = + 由，消去 t，可得点 P 的轨迹方程（此时发现：消去 t 显得多么繁杂，甚至不 可能。因此此法应放弃，该选择新的方法）。 分析二：分析二：若建立极坐标系，也许求点 P 的轨迹的极坐标方程更简明些。只需以 O 作为极 点，Ox 轴的正方向为极轴建立极坐标系。再寻找点 P（，）与点 A（0，0）的坐标 之间的关系，可分别寻求与0的关系以及与0的关系。 解法二：解法二：取 O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线 x=5 的极坐标方程为 cos=5 设 A（0，0），P（，） cos5A=Q点 在直线上 00 cos51= OPA 为等腰三角形，且OPA=120o，而|OP|=，|OA|=0以及POA=30o 00 3302= ，且 把代入，得点 P 的轨迹的极坐标方程为： ()3 cos305 = 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 11 1已知 3 , 5 M，下列所给出的不能表示点的坐标的是 A 3 , 5 B 3 4 , 5 C 3 2 , 5 D 3 5 , 5 2点()3, 1P，则它的极坐标是 A 3 , 2 B 3 4 , 2 C 3 , 2 D 3 4 , 2 3极坐标方程 = 4 cos表示的曲线是 A双曲线 B椭圆 C抛物线 D圆 4圆)sin(cos2+=的圆心坐标是 A 4 , 1 B 4 , 2 1 C 4 ,2 D 4 , 2 5在极坐标系中，与圆sin4=相切的一条直线方程为 A2sin= B2cos= C4cos= D4cos= 6、 已知点()0 , 0, 4 3 ,2, 2 , 2OBA 则ABO为 A、正三角形 B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、直角等腰三角形 7、)0( 4 = 表示的图形是 A一条射线 B一条直线 C一条线段 D圆 8、直线=与1)cos(=的位置关系是 A、平行 B、垂直 C、相交不垂直 D、与有关，不确定 9.两圆cos2=,sin2=的公共部分面积是 A. 2 1 4 B.2 C.1 2 D. 2 10.已知点 1 P的球坐标是) 4 , 32( 1 P, 2 P的柱坐标是) 1 ,5( 2 P,求 21P P. A2 B3 C22 D 2 2 11极坐标方程5 2 sin4 2 = 化为直角坐标方程是 12圆心为 6 , 3 C，半径为 3 的圆的极坐标方程为 13已知直线的极坐标方程为 2 2 ) 4 sin(=+ ，则极点到直线的距离是 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 11 14、在极坐标系中，点 P 6 11 , 2 到直线1) 6 sin(= 的距离等于_。 15、与曲线01cos=+关于 4 =对称的曲线的极坐标方程是 _。 1设椭圆的参数方程为() = = 0 sin cos by ax ，() 11, y xM，() 22, y xN是椭圆上两 点，M，N 对应的参数为 21, 且 21 xx 0)上变化，则x2 +2y的最大值为 A + )4(2 )40(4 4 2 bb b b B r,那么直线()是常数ryx=+sincos与圆()是参数 = = sin cos ry rx 的位置 关系是 A相交 B相切 C相离 D视的大小而定 11 下列参数方程（t 为参数）中与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的是 = = = = + = = + = = ty tx D ty tx C t t y tx B t t y tx A 22 cos cos . | . 2cos1 2cos1 tan . 2cos1 2cos1 tan . 12已知过曲线() = = 0 sin4 cos3 ， y x 为参数上一点 P，原点为 O，直线 PO 的倾斜 角为 4 ，则 P 点坐标是 A（3，4） B 22 2 23 ， C(-3，-4) D 5 12 5 12， 13过抛物线 y2=4x 的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过 8，则的取值范围是 _。 14直线()为参数t ty tx += = 23 22 上与点()32，P 距离等于2的点的坐标是 15圆锥曲线()为参数 = = sec3 tan2 y x 的准线方程是 16直线l过点()5 , 1 0 M，倾斜角是 3 ，且与直线032= yx交于M，则 0 MM的 长为 17曲线 = = tan sec by ax （ 为参数）与曲线 = = sec tan by ax （ 为参数）的离心率分别为 e1 和 e2，则 e1e2的最小值为_. 18已知椭圆 = = sin5 cos4 y x 上两个相邻顶点为 A、C，又 B、D 为椭圆上的两个动点，且 B、D 分别在直线 AC 的两旁，求四边形 ABCD 面积的最大值。 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 11 1在平面直角坐标xOy中，直线l的参数方程为 = += ty tx 3 3 (参数tR),圆 C 的参数方程 为)2 , 0( 2sin2 cos2 += = 参数 y x ,则圆 C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l的距离 为 . 2.O1和O2的极坐标方程分别为4cos , 4sin = . （）把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程. 3.已知曲线 12 CC，的极坐标方程分别为cos3=， 4cos0 0 2 =ba，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极 坐标系中，射线l：=与C1，C2各有一个交点当=0 时，这两个交点间的距离为 2，当= 2 时，这两个交点重合 （I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； （II）设当= 4 时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当= 4 时，l与C1，C2的交 点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 11 必会基础题答案： 必会基础题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A B D A B C A 11 4 25 5 2 +=xy 12 = 6 cos6 13 2 2 1413+ ； 15 01sin=+ 提高拓展题答案： 提高拓展题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A B A B D D B B D D 13 4 3 4 ， 14() ()2 , 1,4 , 3 15 13 139 =y 163610+ 1722 18220 链接高考题答案： 链接高考题答案： 1. （0，2）；2 2. 解析：直线的方程为 x+y-6=0，d= | 26| 2 2 2 =; 2.解： 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度 单位. （）cos ,sinxy=，由4cos=得 2 4 cos=， 所以 22 4xyx+=. 即 22 40 xyx+=为O1的直角坐标方程. 同理 22 40 xyy+=为O2的直角坐标方程. （）由 22 22 40, 40 xyx xyy += += 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 11 解得 1 1 0, 0; x y = = 2 2 2, 2. x y = = 即O1，O2交于点（0，0）和(2, 2). 过交点的直线的直角坐标方程为yx= . 3.【解析】我们通过联立解方程组 cos3( 0,0) 4cos2 = = 解得 2 3 6 = = ,即两曲线的 交点为(2 3,) 6 。 4. 解： （） 1 C是圆， 2 C是直线 1 C的普通方程为 22 1xy+=，圆心 1(0 0) C，半径1r= 2 C的普通方程为20 xy+= 因为圆心 1 C到直线20 xy+=的距离为1， 所以 2 C与 1 C只有一个公共点 （）压缩后的参数方程分别为 1 C： cos 1 sin 2 x y = = ， （为参数）； 2 C： 2 2 2 2 4 xt yt = = ， （t为参数） 化为普通方程为： 1 C： 22 41xy+=， 2 C： 12 22 yx=+， 联立消元得 2 22 210 xx+ =， 其判别式 2 (2 2)4 2 10 = =， 所以压缩后的直线 2 C与椭圆 1 C仍然只有一个公共点，和 1 C与 2 C公共点个数相同 5. 5 103 6. -1 【解析】1)2( 2 = k ，得1=k. 7.解：7.解：（） 22 22 12 :(4)(3)1,:1. 649 xy CxyC+=+= 1 C为圆心是（4,3)，半径是 1 的圆. 2 C为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆. （）当 2 t =时， 3 ( 4,4). (8cos ,3sin ),( 24cos ,2sin ). 2 PQM +故 3 C为直线 3 5 270,|4cos3sin13|. 5 xyMCd=到的距离 从而当 43 cos,sin 55 = 时， 8 5 . 5