天津第一中学数学三角函数的图象和性质资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 1313 第一学期 第十三周第一学期 第十三周 课程内容 三角函数的图象和性质 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 1313 1、本阶段知识要点： 了解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的定义域、值域及形如 )(sin+=xAy的函数的周期，或经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数 的周期；能判断三角函数的奇偶性和单调性 三角函数的基本性质 三角函数的基本性质 函 数 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 (-,+) (-,+) 2 | +kxRxx且 (kZ) 值 域 -1,1 -1,1 (-,+) 最 值 x=2k+ 2 ，kZ，ymax=1 x=2k+ 2 3 ，kZ， ymin=-1 x=2k，kZ,ymax=1 x=2k+，kZ，ymin=-1 无 奇偶性 sin(-x)=-sinx 奇函数 cos(-x)=cosx 偶函数 tan(-x)=-tanx 奇函数 周期性 sin(x+2k)=sinx (kZ) 最小正周期 T=2 cos(x+2k)=cosx (kZ) 最小正周期 T=2 tan(x+k)=tanx (kZ) 最小正周期 T= 单调性 2 2 ,2 2 kk+在 （kZ），增函数 2 2 3 ,2 2 kk+在 （kZ），减函数 在(2k-1) ，2k （kZ）增函数 在2k，(2k+1) （kZ）减函数 ) 2 , 2 ( kk+在 （kZ），增函数 图 象 （二）三角函数的图象 （二）三角函数的图象 1描点法作图 2三角函数线作图 3变换法作图 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 4 / 1313 的图象函数RxAxAy+=,)0,0()(sin i 把 y=sinx 图象上所有点 则向右如 则向左如 ,0 ,0 ii 再把所得各点的横坐标 如1，则缩短 如 01，则伸长 如 0A1，则缩短 例 1 例 1求下列函数的定义域： ) 1lg(tancos 2 1 )2( 2 1 cos)sin 2 2 lg() 1 ( = = xxy xxy 分析：分析：分别利用三角函数线或三角函数图象求出它们的解集进而求出交集 解：解： 2 1 cos 2 2 sin ) 1 ( x x 在 x-，内观察单位圆或正余弦曲线 , 4 2 3 2| 43 Zkkxkxx+ 1tan 2 1 cos )2( x x 在 x0，2内观察单位圆或正余弦曲线 平行移动|个单 到原来的 1 倍（纵坐标不变） 到原来 A 倍（横坐标不变） 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 1313 2 3 4 5 23 xx或得 , 2 3 2 4 5 2 2 2 3 2|Zkkxkkxkx+0，可直接利用正余弦函数的单调区间求之 （2）若 + xx x x 或知由 关于原点对称定义域为：,) 2 , 4 () 4 , 2 (Zkkkkk+ 0 1lg 1tan 1tan lg 1tan 1tan lg 1tan 1tan lg 1)tan( 1)tan( lg)()( = = + + + = + + + =+ x x x x x x x x xfxf f(-x)=-f(x)为奇函数 时函数无意当时函数有值可知当由 2 , 2 0cossin1)2( =+xxxx 义，显然定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数也不是偶函数 评析：评析：判断三角函数的奇偶性应先求定义域，定义域是否关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要条件当函数不具有奇偶性时取特殊值说明最简洁 例 5例 5求下列函数的周期： （1）y= cos |x| （2）y= sin |x| （3）y= |sinx|+|cosx| （4）y= sin2x+sin2x 解：（1）y=cos|x|=cosx T=2 （2）y=sin|x|= 0 2 , |2sin|1 =+=Txy 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 1313 =+= += +=+= Tx xx xxxxy 2 1 )2sin( 2 5 2 1 2cos 2 1 2sin )2cos1 ( 2 1 2sin2sinsin)4( 2 评析：评析：求三角函数的周期时，关键是将函数表达式转化为)sin(+xA或)cos(+xA 的形式。 例 6例 6 .),2, 0( , 3 2 , 2)20, 0, 0()sin( 求此函数的解析式的图象过点 且它周期为的最小值为函数 +=AxAy 解：解： ) 4 7 3sin(2) 4 5 3sin(2 4 7 4 5 2 2 sin )03sin(22 3 2 2 +=+= = += = xyxy T A 或 或 由题意可知 评析：评析：求函数)sin(+=xAy的解析式，一般先利用最高点或最低点的纵坐标做振幅 A；再通过周期求，最后求时，可先考虑利用最高点或最低点的坐标，求，也可考 虑用右侧离原点最近的 x 轴交点，求，也可用一般点的坐标求，后两种方法注意检 验。 例 7例 7.) 3 2sin(sin的图象的两种方法的图象变换为指出将 +=xyxy 解一y=sinx 2 1 横坐标缩短为原来的 y=sin2x . 6 个单位向左平移 ) 6 (2sin) 3 2sin( +=+=xxy 解二y=sinx 个单位向左平移 3 ) 3 sin( +=xy 2 1 横坐标缩短为原来的 ) 3 2sin( +=xy 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 1313 评析：评析：解一中，先伸缩，后平移；解二中，先平移，后伸缩。表面上看来是两种不同 关键所以实质上都是一致的已有变化但由于平移的单位长度和的平移,.), 36 ( 平移时只对 x 变化。 例 8例 81) 3 2cos(2sin+= xxy已知函数 求函数的值域，单调区间及周期，判断函数的奇偶性。 解： 解： 12sin 2 3 2cos 2 1 2sin+=xxxy 2 26 1, 2 26 1 1) 12 5 2sin( 2 26 12cos 2 1 2sin) 2 3 1 ( + + = += 值域为 x xx . 24 1 , 24 11 : . 2 2 12 5 2 2 2 为增区间即 当 + + kk Zkkxk ) 24 5 () 24 5 (, 24 5 . . 24 13 , 24 1 2 3 2 12 5 2 2 2 ffx kk Zkkkk = + + 时显然当 周期为 为减区间即 当 既不是奇函数也不是偶函数。 评析：评析：讨论三角函数性质的关键是能否将函数表达式转化为只含有一个三角函数的表达 式。本题用和与差三角公式达到目的。 例 9例 9 2 3 cos3cossin 2 +=xxxy已知函数 求函数的值域，单调区间及周期，并判断函数的奇偶性。 分析：可以将角转化为 2x，再利用和角公式化简。 解： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1010 / 1313 ) 3 2sin( 2 3 )2cos1 ( 2 3 2sin 2 1 2 3 cos3cossin 2 +=+= += xxx xxxy 显然值域为-1，1，周期为 Zkkxk kk Zkkxk + + + 2 3 2 3 2 2 2 12 , 12 5 2 2 3 2 2 2 当 为增区间即 当 . 12 7 , 12 为减区间即 +kk 例 10例 10 x x y sin 1 2 tan=已知函数 求函数的值域、单调区间及周期，并判断函数的奇偶性。 分析分析：将角转化为 x，利用半角公式化简。 解： 解： Zkkxk RZkkx kx k x xx x x xx x x x y + + =aa x x y a 且已知函数 求函数的值域、单调区间及周期，并判断函数的奇偶性。 分析：分析：将真数转化为只含有一个三角函数的表达式。 解：解： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1111 / 1313 . ,) 4 , 4 ( 2 22 2 2 , 02cos0 2cos 2sin1 ) 4 tan(log ) 2 2sin( ) 2 2cos(1 log: ) 4 tan(log ) 4 cos( ) 4 sin( log sincos cossin log sincos )cos(sin log 2cos 2sin1 log 22 2 周期为 值域为定义域为 可知由 另 RZkkk kxkx x x x x x y x x x xx xx xx xx x x y aa aaa aa + + + += + + = += + + = + = + = + = . 01log ) 4 cot() 4 tan(log ) 4 tan() 4 tan(log ) 4 tan(log) 4 tan(log)()( .) 4 , 4 (10 .) 4 , 4 (1 函数为奇函数 为减区间时当 为增区间时当 = += += +=+ + a a a aa xx xx xxxfxf Zkkka Zkkka 例 12例 12已知函数 y=sincosx 求函数的值域、单调区间及周期，并判断函数的奇偶性。 分析：分析：将 cosx 视为角利用正余弦函数性质求解。 解：解：显然定义域为 R。 2cossin)2cos(sin . 1sin, 1sin 2 , 2 cos1cos1 =+ Txx y xx Q Q 为值域 间可知由正弦曲线的单调增区 当 x2k-，2kkZ 为增区间. 时 x2k，2k+kZ 时为减区间. sincos(-x)=sincosx 函数为偶函数。 例 13例 13求函数 f(x)=2sin2x-4asinx+1 的最大值与最小值。 解：解：y=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2 由-1sinx1 可知 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1212 / 1313 （1） 当 a= = =+= = aa ax a ya a aa a x aa ya a 或综上 此时时即当 舍 此时时即当 评析：评析：此类问题关键是除了利用正余弦函数的有界性及二次函数的单调性之外，要正确的 对参数分类讨论。 例 15例 15 )2tan3lg( 10 x y =已知函数 （1）求函数的定义域及值域；（2）x 为何值时函数值为 1； （3）求函数的周期；（4）求函数的单调区间并判断奇偶性。 解： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1313 / 1313 . ,1 , 0 , 1 ) 42 , 2 ()4( 2 )3( 1226 2 3 3 2tan12tan3)2( ), 0( 2tan3) 42 , 2 ( 2 202tan3) 1 ( 是偶函数 函数既不是奇函数也不点对称时显然定义域不关于原当 单调增区间为 周期为 值域为 定义域为 即 LL= + +=+= = + =+ + k Zk kk Zk k xkx xx xy kk Zkkxkx 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 17 （一）选择题 （一）选择题 , 6 5 . 3 2 , 6 . 6 5 , 6 . 6 , 0 . )( 2 1 sin2 , 0 . 1 DCBA xx的取值范围是的上满足在 2使得 sinxcosx 成立的一个 x 的取值区间是（ ） , 0 . 4 3 , 4 . 2 , 2 . 4 , 4 3 . DC BA 3下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） xxyDxyC xyBxxyA cottan)(cos)( ) 2 cos()(|cossin|)( 2 = += 个单位向左平移 个单位向右平移 个单位向左平移 个单位向左平移 的图象的图象只须将函数要得到 程是的图象的一条对称轴方函数 2 )( 8 )( 8 )( 4 )( )(2sin3) 4 2sin(3. 5 4 5 )( 8 )( 4 )( 2 )( )() 2 5 2sin(. 4 D C B A xyxy xDxC xBxA xy =+= = = += )()2 ,2()(3 , 3)(3 , 0()()0 , 3)( sin 1 9. 7 4 17 )( 4 9 )(2)( 4 7 )( )( 4 7 2cossincos. 6 2 2 ZkkkDCBA x xy DCBA xxxy + += += 的定义域是函数 的最大值为函数 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 17 2 2 , 0)( 2 6 , 0)( 2 6 , 2 2 )( 2 6 , 2 6 )( )(sin 2 1 1. 8 DC BA xy =的值域是函数 （二）填空题（二）填空题 _ . 2 12 7 , 2 12 ,)0 , 0, 0)(sin(.13 ._ _, 2 1 , 2 3 sin.12 _, 4 cossin.11 .) 3 2sin(3 ,_2sin3.10 _ 32 25 sin . 9 则该函数的解析式是时有最小值当时有最大值 当在同一周期内已知函数 则最小值为的最大值为若函数 那么对称的图象关于直线如果函数 的图象 得到函数个单位平移的图象向函数 的取值范围是的实数适合 = += =+= =+= += = = xx wAwxAy baxbay axxxay xy xy m m m x （三）解答题（三）解答题 . coslg 25 .15 . sin |sin| .14 2 的定义域求函数 的图象作出函数 x x y x x y = = )0 , 6(),2, 2( ), 0, 0)(sin(.19 .coscossin2sin.18 . 1sinsin1 1sinsin1 )(.17 .sin9.16 22 2 2 2 轴交于点低点间的曲线与由这个最高点到相邻最最高点为 的图象的一个已知函数如图 的最值求函数 的奇偶性判断函数 的定义域求函数 x wAwxAy xxxxy xx xx xf xxy += += + + = += 求这个函数解析式。 20求函数 y=2sinx(sinx+cosx)的单调区间、周期及值域。 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 17 （一）选择题 （一）选择题 )(sincos. 3 2 3 )( 2 3 )( )()( )(,cottan), 2 (. 2 cot22cot)(tan22tan)( cos22cos)(sin22sin)( )(, 4 0. 1 的终边所在的象限是是增函数，那么角是减函数且若 则有且、若 是则下列不等式恒正确的已知 xxyxy DC BA DC BA = + cd Babb d Dacbd 8已知：0a1, 0x log - cosxa 成立，只须（ ） 4 5 . 2 3 . 2 3 4 5 . 4 5 . ，则= 9.设函数( )sin 2 2 f xxx = R，则( )f x是（ ） A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为 2 的奇函数 D最小正周期为 2 的偶函数 10.在同一平面直角坐标系中，函数 3 cos 22 x y =+ （0 2x，）的图象和直线 1 2 y = 的交点个数是（ ） A0 B1 C2 D4 11.为得到函数 cos 2 3 yx =+ 的图像，只需将函数sin2yx=的图像（ ） A向左平移 5 12 个长度单位 B向右平移 5 12 个长度单位 y x 1 1 2 3 O 6 y x 1 1 2 3 O 6 y x 1 1 2 3 O 6 y x 2 6 1 O 1 3 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 17 C向左平移 5 6 个长度单位 D向右平移 5 6 个长度单位 12.将函数 sin 2 3 yx =+ 的图象按向量a平移后所得的图象关于点 0 12 ，中心对称， 则向量a的坐标可能为（ ） A 0 12 ， B 0 6 ， C 0 12 ， D 0 6 ， 13.已知函数( )3sin()cos()f xxx=+（0 的最小正周期为，将( )yf x=的图像 向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是 A. 2 B. 3 8 C. 4 D. 8 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 17 18.设函数 2 ( )sin()2cos1 468 xx f x =+ （）求( )f x的最小正周期 （）若函数( )yg x=与( )yf x=的图像关于直线1x =对称，求当 4 0, 3 x时 ( )yg x=的最大值 19、定义在区间 2 0 ,上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图象交于点为 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1与函数 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2的长为 _。 20、已知函数(x)f 2 2cos2sin4cosxxx=+。 （）求() 3 f =的值； （）求(x)f的最大值和最小值。 必会基础题答案： （一）选择题 必会基础题答案： （一）选择题 1B 可以采用图形解决 2A 仍然采用数形结合的思想画图. 3. C 4. A 5. B 6. B 7. B 8. B （二）填空题： （二）填空题： 1 9.010.,11.1 26 1 12., 113.2sin(2) 23 m yx =+ 左 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 17 （三）解答题 （三）解答题 Zk kkx kkx x x y + + = )22,2(1 )2,20(1 sin |sin| .14 . 1cos 0cos 025 5 , 2 3 () 2 , 0() 0 , 2 () 2 3 , 5.15 2 图形便可得出结论来解以上不等式组并结合 不等式组依题意可知应满足以下 x x x x UUU 16解： 3 , 0,3 , 0 )2()(22 ) 1 (33 0sin 09 sin9 2 2 即函数定义域为 需使 有意义要使函数 + += x Zkkxk x x x xxy 17解： .)(),()( sin sin11 )( sin 1sin1 )() 1(sinsin1 , 01sinsin1)( 2 2 2 2 为奇函数即 得分子分母同乘以 易知有意义的条件为分母 xfxfxf x x xf x x xfxx Rxxxxf = + = + =+ + 18解：y=sin2x-cos2x+2sinxcosx =sin2x-cos2x ) 4 2sin(2 =x 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 17 ) 48 sin(2 4 ,( 4 2 )( 2 2 4 2) 8 2sin(2 )2, 2( 8 2 164 4 ,2.19 2,)( 8 7 , 1) 4 sin( 2,)( 8 3 1) 4 2sin( min max += =+= +=+=+ = =+= =+= xy k Zkk T T T A yZkkxx yZkkxx 解析式为 又 即 代入解析式得将点 时即当当 时即当当 Q 20解： 2121. . 88 5 ),(2 4 22 8 3 8 )(2 4 22 ) 4 2cos(21 4 cos2) 4 2cos(2sin) 4 sin(22 ) 4 sin(2sin2 += + + += +=+= += yT kxkZkkxk kxkZkkxk x xxx xxy 值域 时为减区间即当 时为增区间即当 Q 提高拓展题答案： （一）选择题： 提高拓展题答案： （一）选择题： 1. C 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7A 10 4 sin 10 cos 10 9 cos 10 29 cos 10 3 sin 10 13 sin 10 2 sin 10 3 cos 10 13 cos. 10 sin 10 19 sin = = dc ba 显然有 abcd 8B 0a1 0xlog-cosx a 2 3 4 5 cossin 1cos0cos 1sin0sin x xx xx xx 且 且 应有 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 12 / 17 （二）填空题 二）填空题 22 1 2 .13)( 123 2 , 12 5 3 2 .12 3 2 , 4 1 .11 ) 4 5 cos(.10 3 2 ,2 . 9 ba ab Zkkk xyZkkk + =+ （三）解答题 （三）解答题 14解： = = = =+ += += 1 2 3 1 522 0 5 2 3 5 122 0 12cos1 22cos2 2cos)2cos1 ( b a b baa a b a b baa a x baxa baxaxay 时当 时当 Q Q 15解： 01 011cos 2 2 46 coslog2coslog )sin1 (log )sin1)(sin1 (log 2 2 2 2 2 2 = = += y yxx xx x xx 即函数的值域为 原式 Q 16解： 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 13 / 17 ) 4 3 2 3 sin(2 2 3 2 2 3 ) 1 (, 4 3 , 2 3 : 2 6 5 6 :)3)(2( )3() 6 5 sin(0 )2() 6 sin(0 ) 1 (sin 2 3 .)sin()0 , 6 5 ()0 , 6 () 2 3 , 0( += = =+ =+ += += = += xy Aw w w w A w A A xAy 函数解析式为 式得代入解得 并结合图得由 将点的坐标代入有 的曲线上在函数点Q 17解： =+= += += += 2 2 1) 4 2sin(23 12cos32sin3 2cos22sin32cos1 ) 2 cos2(cos 2 1 42sin32cos1 Tx xx xxx xxxyQ )( 8 5 , 8 )( 2 3 2 4 2 2 2 )( 8 , 8 3 ,)( 2 2 4 2 2 2 123 , 4 1) 4 2sin( 2 2 4 3 4 2 42 20 4 0 Zkkk Zkkxk Zkkk Zkkxk y x xxx + + + + + + + 即单调递减区间为 函数单调递减时当 即单调递增区间为 函数单调递增时当 即为所求值域 又Q 链接高考题答案： 链接高考题答案： 1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7. A 8. 10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 2 10 5 T = 9.B 10. C 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 14 / 17 11. A. 55 cos 2sin 2sin2, 3612 yxxx =+=+=+ 只需将函数 sin2yx= 的图像向左平移 5 12 个单位得到函数 cos 2 3 yx =+ 的图像. 12. C 13. 解：（） ( )3sin()cos()f xxx=+ 31 2sin()cos() 22 xx =+ 2sin 6 x =+ 因为 ( )f x 为偶函数， 所以对xR， ()( )fxf x= 恒成立， 因此 sin()sin 66 xx +=+ 即 sincoscossinsincoscossin 6666 xxxx +=+ ， 整理得 sincos0 6 x = 因为 0 ，且xR， 所以 cos0 6 = 又因为0 ， 故 62 = 所以 ( )2sin2cos 2 f xxx =+= 由题意得 2 2 2 = ，所以 2= 故 ( )2cos2f xx= 因此 2cos2 84 f = （）将 ( )f x 的图象向右平移 6个单位后，得到 6 fx 的图象，再将所得图象横坐 标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 46 x f 的图象 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 15 / 17 所以 ( )2cos 22cos 464623 xxx g xf = 当 2 2 23 x kk+ （k Z）， 即 28 4 4 33 kxk+ （kZ）时， ( )g x 单调递减， 因此 ( )g x 的单调递减区间为 28 4 4 33 kk + ， （kZ） 14. 解：（） ( )cos 22sinsin 344 f xxxx =+ Q 13 cos2sin2(sincos )(sincos ) 22 xxxxxx=+ 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx=+ 13 cos2sin2cos2 22 xxx=+ sin 2 6 x = 周期 2 2 T= 由 2() 62 xkk=+Z ，得 23 k x=+ （kZ） 函数图象的对称轴方程为 23 k x=+ （kZ） （） 12 2 x Q， ， 5 2 636 x ， ， 因为 ( )sin 2 6 f xx = 在区间 12 3 ， 上单调递增，在区间 3 2 ， 上单调递减， 所以当