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广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 1 / 10 广东省广东省 20162016 年高考信息卷年高考信息卷 数学（理工农医类） （七） 第第 I I 卷卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.若集合 2 lg,1 x Mx yNx x x ,则 R MN( ) A 0,2 B 0,2 C 1,2 D 0, 2已知复数 z 满足 3 11zii , 则复数 z 对应的点在（ ）上 A 直线 1 2 yx B 直线 1 2 yx C 直线 1 2 x D 直线 1 2 y 3下列命题中为真命题的是（ ） A 若 x0，则 x+ 2 B 命题：若 x 2=1，则 x=1 或 x=1 的逆否命题为：若 x1 且 x1，则 x21 C “a=1”是“直线 xay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件 D 若命题p ： xR，x 2x+10，则 p ： xR，x 2 x+10 4某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重 要指标） ，所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方 图如图所示从抽样的 100 根棉花纤维中任意抽取一根， 则其棉花纤维的长度小于 20mm 的概率是( ) A. B. 2 5 C. 3 8 D. 3 5 5某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A.12 B.24 C.30 D.48 俯视图 左视图 正视图 3 2 4 5 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 2 / 10 6已知 n a为正项等比数列，Sn是它的前n项和.若 1 16a ，且 a4与 a7的等差中项为 9 8 ，则 5 S 的值 ( ) A29 B31 C33 D35 7已知某程序框图如图所示，则输出的i的值为 （ ） A7 B8 C9 D10 8函数sin 2 6 yx 的图像与函数cos 3 yx 的图像（ ） A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴 9. 从 6 本不同的书中选出 4 本，分别发给 4 个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则 不同分配方法有 A.180 B.220 C.240 D.260 10已知函数 f（x）=e xmx+1 的图象为曲线 C，若曲线 C 存在与 直线 y=ex 垂直的切线，则实数 m 的取值范围是（ ） A. 1 , e B. （ ，+） C. 1 ,e e D. , e 11.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB2DC2，DAB60，E 为 AB 的中点将ADE 与 BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则三棱锥 P- DCE 的外接球的体积为( ) A B 6 6 C 6 4 D 6 2 12.已知双曲线 22 * 2 1 4 xy bN b 的两个焦点 12 ,F F，点 P 是双曲线上一点， 1122 5,OPPFFFPF成等比数列，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 5 3 D 5 2 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（22）题第（24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 开始 S=1 i=3 S S=Si i=i+2 输 结束 是 否 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 3 / 10 13. 设不等式组 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面区域为 D，若指数函数 y= x a的图像上存在 区域 D 上的点，则 a 的取值范围是 14. 若 等 边ABC的 边 长 为2， 平 面 内 一 点M满 足 CACBCM 2 1 3 1 ，则MBMA . 15设数列an满足：a1=1，a2=4，a3=9，an=an-1+an-2-an-3 （n=4,5, ）,则 a2015 = 16.已知偶函数 y= f (x)对于任意的 x0,) 2 满足 f(x)cosxf(x)sinx0(其中 f (x)是函数 f (x)的导函数） ，则下列不等式中成立的有 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知 2 3coscos23sinsinC 2cosBCBA. (I)求角A的大小； (II)若b5，sin Bsin C=5 7,求ABC 的面积S 18 (本小题满分 12 分) 某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响， 企业生产每件的利润与该产品首次出现 故障的时间有关某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为 2 年现从该厂已售出的两种品 牌家电中各随机抽取 50 件，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障时 间x(年) 00）上的最小值； (II)对一切0,x，2 ( )f xg x）恒成立，求实数 a 的取值范围； (III)证明：对一切0,x都有 12 ln x x eex 成立 21.（本小题满分 12 分） 已知点P是圆 22 1:( 1)16Fxy上任意一点( 1 F是圆心)，点 2 F与点 1 F关于原点对称.线 段 2 PF的中垂线m分别与 12 PFPF、交于MN、两点 （I）求点M的轨迹C的方程； （）直线l经过 F2，与抛物线 y 2=4x 交于 A 1，A2两点，与C 交于 B1，B2两点.当以 B1B2 为直径的圆经过 F1时，求|A1A2|. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB 是 O 的直径，弦 BD、CA 的延长线 相交于点 E，EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证： （I）DFADEA ； （II）AB 2=BEBD-AEAC. 23(本题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线 C1： 4cos , 3sin , xt yt （t 为参数） ， C2： 8cos , 3sin , x y （为参数） 。 （I）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （II）若 C1上的点 P 对应的参数为 2 t ，Q 为 C 2上的动点，求PQ中点M 到直线 A C B D P 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 5 / 10 3: cos2sin7C 距离的最小值. 24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 设函数21)( xxxf。 （I）画出函数 y=f(x)的图像； （II）若不等式)(xfababa ， （a0,a、bR）恒成立，求实数 x 的范围. 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 6 / 10 参考答案参考答案 一、 选择题：1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 二、填空题：13. (1,3 14. 8 9 15. 8057 16. 三、解答题： 17. 【解】 (I)由 2 3coscos23sinsinC 2cosBCBA，得 2cos 2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0.-2 分 解得 cos A1 2或 cos A2(舍去)-4 分 因为 0AE(X2)，所以应生产甲品牌家电 19. 证明： （）取AB中点D，连结PDCD， 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 7 / 10 APBP，PDAB ACBC，CDABPDCDD， AB平面PCD-3 分 PC 平面PCD， PCAB，又PCAC，PCABC 平面-6 分 解： （）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz 则(0 0 0)(0 2 0)(2 0 0)CAB， ， ， ，设(0 0)Pt， ，-8 分 2 2PBAB，2t ，(0 0 2)P ， ， -9分 取AP中 点E， 连 结 BECE，ACPC， ABBP， CEAP，BEAP BEC是二面角BAPC的平面角 (011)E， ，(011)EC ， ，(211)EB ， ，-10 分 23 cos 326 EC EB BEC EC EB 二面角BAPC的余弦值为 3 3 -12 分 20. 解：(I)f (x) = lnx+1 ， 11 0,0,.( ,),0,xyyxyy ee -2 分 当 1 02tt e 时不可能； 当 min 111 02,0,( )( );tttfxf e eee 即 当 min 11 2,( ) ,2,( )( )lntttf x t tfxf ttt ee 即 11 ,0 ( ) 1 ln , t ee f x tt t e ；-5 分 (II)可化为 33 2ln,( )2ln(0)axxh xxxx xx 设 2 (3)(1) ( ) xx h x x ， 当0x0， 4a -9 分 (III)问题等价于证明 2 ln0 x x xxx ee ，由（1）知( )ln ,(0)f xxx x的最小值是 1 e ，当且仅当 1 x e 时取到等号，设 m(x)= 21 (0),( ) xx xx xm x eee ，易知 m(x)最小 A C B P z x y E 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 8 / 10 等于 m(1) 1 e ， 当且仅当 x=1 时取到， 从而对一切0,x都有 12 ln x x eex -12 分 21. 解： （I）由题意得， 12 ( 1,0),(1,0),FF圆 1 F的半径为4，且 2 | |MFMP 从而 121112 | | | 4 |MFMFMFMPPFFF 2 分 点 M 的轨迹是以 12 ,F F为焦点的椭圆, 4 分 其中长轴24a ,得到2a ,焦距22c ， 则短半轴3b 椭圆方程为: 22 1 43 xy 5 分 （）当直线l 与 x 轴垂直时，B1(1， 3 2 ),B2(1，- 3 2 ),又 F1(-1,0), 此时 1121 0B F B F，所以以 B1B2为直径的圆不经过 F1.不满足条件.（6 分） 当直线l 不与 x 轴垂直时，设 L：y=k(x-1) 由 2222 22 (1) 3484120 1 43 yk x kxk xk xy 即 因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点. 设 B1(x1,y1)，B2（x2,y2）,则 22 1212 22 8412 , 3434 kk xxx x kk 因为以 B1B2为直径的圆经过 F1，所以 1121 0B F B F，又 F1(-1，0) 所以（-1-x1）(-1-x2)+y1y2=0，即（1+k 2）x 1x2+(1-k 2)(x 1+x2)+1+k 2=0 所以解得 2 9 7 k （8 分） 由 2 4 (1) yx yk x 得 k 2x2-(2k2+4)x+k2=0 因为直线l 与抛物线有两个交点，所以0k 设 A1(x3,y3) ，A2(x4,y4)，则 2 3434 22 244 2,1 k xxx x kk 所以 1234 2 464 22 9 A Axxp k . (12 分) 22. 解：(I)连结 AD 因为 AB 为圆的直径，所以ADB=90，又 EFAB，EFA=90 则 A、D、E、F 四点共圆 -4 分 DEA=DFA-5 分 广东省 2016 年高考信息卷 数学（理工农医类） 9 / 10 (II)由(I)知，BDBE=BABF 又ABCAEF -7 分 即：ABAF=AEAC BEBD-AEAC =BABF-ABAF =AB(BF-AF) =AB 2-10 分 23. 解： （） 22 22 12 :(4)(3)1,:1 649 xy CxyC， 1 C为圆心是( 4,3)，半径是 1 的圆. 2 C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆.-4 分 （）当 2 t 时，( 4,4). (8cos ,3sin )PQ，故 3 ( 24cos ,2sin ) 2 M ， 3 C为直线270 xy，-7 分 M 到 3 C的距离 5 |4cos3sin13| 5 d 从而当 43 cos,sin 55 时， d取得最 小值 8 5