江苏数学一轮第六章第34课平面向量的基本定理及坐标表示要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理的应用 在梯形ABCD中,ABCD,M,N分别是AD,BC的中点, DC AB =k(k1),设 AD =e e1 1,AB =e e2 2,选择基底e e1 1,e e2 2,试写出向量DC ,BC ,MN 在此基底下的分解式. (例1) 思维引导思维引导由 DC AB =k(k1),易求出DC ,再由AB +BC +CD +DA =0,求得BC ; 最后利用MN +NB +BA +AM =0,求得MN . 解答解答因为AB =e e2 2,且 DC AB =k,所以DC =kAB =ke e2 2. 又AB +BC +CD +DA =0 0, 所以BC =-AB -CD -DA =-AB +DC +AD =-e e2 2+ke e2 2+e e1 1=e e1 1+(k-1)e e2 2. 又 MN + NB + BA + AM =0,所以 MN =-NB -BA -AM =BN +AB -AM = 1 2 BC +e e2 2- 1 2 AD = 1 2e e1 1+(k-1)e e2 2+e e2 2- 1 2e e1 1= 1 2 k e e2 2. 精要点评精要点评应用平行向量的基本定理及向量的多边形加法法则是解决本题的 关键. (2014镇江期末)已知ABC中,点D,E分别为边AC,AB上的点,且 DA=2CD,EB=2AE,若BC =a a,CA =b b,则以a a,b b为基底表示DE = . 答案答案- 1 3a a+ 1 3b 解析 b 解析因为DE =AE -AD = 1 3 AB - 2 - 3 CA = 1 3(CB -CA )+ 2 3 CA =- 1 3a a+ 1 3b b. 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 已 知 点 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4). 设 AB =a a, BC =b b, CA =c c, 且 CM =3c c,CN =-2b b. (1) 求3a a+b b-3c c; (2) 求满足a a=mb b+nc c的实数m,n; (3) 求点M,N的坐标及向量MN 的坐标. 解答解答由已知得a a=(5,-5),b b=(-6,-3),c c=(1,8). (1) 3a a+b b-3c c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42). (2) 因为mb b+nc c=(-6m+n,-3m+8n), 所以 -65, -38-5, mn mn 解得 -1, -1. m n (3) 设O为坐标原点,因为CM =OM -OC =3c, 所以OM =3c c+OC =(3,24)+(-3,-4)=(0,20), 所以M(0,20). 又CN =ON -OC =-2b b, 所以ON =-2b b+OC =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), 所以N(9,2). 所以MN =(9,-18). 精要点评精要点评向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有 向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及 正确使用运算法则. (2014灌云高级中学)已知向量a a=(1,-3),b b=(4,-2),若(a a+b b)b b,则 = . 答案答案0 解析解析由题意得a a+b b=(1,-3)+(4,-2)=(+4,-3-2),由(a a+b b)b b,得 (+4)(-2)-(-3-2)4=0,解得=0. 利用平面向量的坐标表示解决综合问题 利用平面向量的坐标表示解决综合问题 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标. (例3) 思维引导思维引导两线段相交可反映为两组向量分别共线来处理. 解答解答设P(x,y),则OP =(x,y),OB =(4,4). 因为OP ,OB 共线,所以4x-4y=0,即x=y. 又CP =(x-2,y-6),CA =(2,-6),且CP , AC 共线, 所以-6(x-2)-2(y-6)=0,解得x=3,y=3, 所以P(3,3). 精要点评精要点评坐标运算往往含有待定的未知参数,转化为方程求解即可.本题还 可用求直线方程的方法求坐标. (2014陕西卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上. (1) 若PA +PB +PC =0,求|OP |; (2) 设OP =mAB +nAC (m,nR R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 解答解答(1) 方法一:因为PA +PB +PC =0 0, 又PA +PB +PC =(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 所以 6-30, 6-30, x y 解得 2, 2, x y 即O P =(2,2),故|O P |=2 2 . 方法二:因为PA +PB +P C =0 0, 则(O A -O P )+(O B -O P )+(OC -O P )=0 0, 所以O P = 1 3 (O A +O B +OC )=(2,2), 所以|O P |=2 2 . (变式) (2) 因为O P =mAB +nAC , 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以 2 , 2, xmn ymn 两式相减得m-n=y-x. 令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为 1. 在ABC中,角A所对的边长为2,向量m m= 2 2,2-1 2 BC cos ,向量n n= ,-1 2 A sin . (1) 求mnmn取得最大值时角A的大小; (2) 在(1)的条件下,求ABC面积的最大值. 规范答题规范答题 (1) mn mn=2sin2 A - 2 2-1 2 BC cos =2sin2 A -cos(B+C).(2分) 因为 A+B+C=, 所以B+C=-A. 于是mnmn=2sin2 A +cos A =-2sin 22 A +2sin2 A +1 =-2 2 1 - 2 2 A sin + 3 2 .(4分) 因为2 A 0, 2 ,所以当且仅当sin2 A = 1 2 ,即A=3 时,mnmn取得最大值 3 2 . 故mnmn取得最大值时角A=3 .(6分) (2) 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 由余弦定理,得 b 2+c2-a2=2bccos A, 即bc+4=b 2+c22bc, 所以bc4,当且仅当b=c=2时取等号.(10分) 又SABC= 1 2 bcsin A= 3 4 bc 3 ,当且仅当a=b=c=2时,ABC的面积取得最大值 3 .(14分) 1. 已知a a=(1,y),b b=(x,-2),且2a a-3b b=(5,8),那么x+y= . 答案答案0 2. 若向量AB =(1,2),B C =(3,4),则AC = . 答案答案(4,6) 3. 已知点M(3,-2),N(-5,-1).若MP = 1 2 M N ,则点P的坐标为 . 答案答案 3 -1,- 2 解 答 解 答 设 P(x,y), 则 MP =(x-3,y+2), MN =(-8,1), 由 MP = 1 2 MN , 得 (x-3,y+2)= 1 2 (-8,1),解得x=-1,y=- 3 2 . 4. (2014陕西卷)设02 ,向量a