江苏数学一轮第十章第56课圆的方程要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 求动点的轨迹方程 求动点的轨迹方程 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线 PM,PN(点M,N分别为切点),使得PM= 2PN.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹 方程. (例1) 思维引导思维引导首先建立适当的坐标系,找到线段之间的关系,利用已知条件很容 易找到动点满足圆的条件,动点的轨迹应该是圆. 解答解答以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,建立平面直角坐标系, 则O1(-2,0),O2(2,0). 因为PM= 2PN,所以PM2=2PN2. 因为两圆的半径都为1,所以P 2 1 O -1=2(P 2 2 O -1). 设P(x,y),则(x+2) 2+y2-1=2(x-2)2+y2-1, 即(x-6) 2+y2=33. 故动点P的轨迹方程为(x-6) 2+y2=33(或写成x2+y2-12x+3=0). 精要点评精要点评建立的坐标系不同,则得到的结果可能不同,但是动点的轨迹仍是 圆,只是解析式不同而已,但是运算难易也会有所不同,所以建立适当的坐标系会给 解决问题带来不同的效果. 设 A(-3,0),B(3,0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1 2,则点P的轨迹图形所围成的面积是 . 答案答案16 解析解析设P(x,y),则由题意有 22 22 (3) ( -3) xy xy = 1 4,所以x2+y2+10 x+9=0,所以 (x+5) 2+y2=16,所以点P在半径为4的圆上,故其面积为16. 求圆的方程 求圆的方程 (2014江苏模拟)求圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程. 思维引导思维引导可以利用“待定系数法”求出圆的方程. 解答解答设圆为(0,b), 由题设知圆的方程为x 2+(y-b)2=1. 因为过点(1,2),所以代入得b=2. 故所求圆的方程为x 2+(y-2)2=1. 精要点评精要点评求圆的方程时,要根据已知条件选择合适的形式,一般地,与圆心和 半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都是确定三个独立参数, 所以应该有三个独立等式.另外,充分利用圆的有关几何性质,也可以求得圆的方程 中的三个参数.常用的性质有:圆心在过切点且与切点垂直的直线上;圆心在任 意弦的中垂线上;两圆相切时,切点与两圆心三点共线. (2014 南安模 拟)以 (-1,2)为 圆心、 5 为半径 的圆 的一般方程 为 . 答案答案x 2+y2+2x-4y=0 解析解析由圆心坐标为(-1,2),半径r= 5,则圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化 简可得x 2+y2+2x-4y=0. 圆中的定值(定点)问题 圆中的定值(定点)问题 已知圆C:x 2+y2=9,点A(-5,0),在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同 于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有 PB PA为一常数.试求所有满足条件的点B的坐 标. 思维引导思维引导由题意知点P为过A,B两点的阿波罗尼斯圆,但其定比未知,故可以 用特例求出定点B,然后再验证 PB PA是否为常数或先假设点B存在,再由恒等性确定B 的坐标. 解答解答方法一:假设存在这样的点B(t,0), 当点P为圆C与x轴的左交点(-3,0)时, PB PA= |3| 2 t , 当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时, PB PA= | -3| 8 t . 依题意知 |3| 2 t = | -3| 8 t ,解得t=-5(舍去)或t=- 9 5. 下面证明点B 9 -,0 5 对于圆C上任一点P,都有 PB PA为一常数. 设P(x,y),则y 2=9-x2, 所以 2 2 PB PA = 2 2 22 9 5 (5) xy xy = 22 22 1881 9- 525 10259- xxx xxx = 18 (517) 25 2(517) x x = 9 25,从而 PB PA= 3 5为常数. 方法二:假设存在这样的点B(t,0),使得 PB PA为常数,则PB2=2PA2, 所 以 (x-t) 2+y2= 2(x+5)2+y2, 将 y2=9-x2 代 入 得 x 2-2xt+t2+9-x2= 2(x2+10 x+25+9-x2), 即2(5 2+t)x+342-t2-9=0对x-3,3恒成立, 所以 2 22 50, 34- -90, t t 解得 3 , 5 9 - 5 t 或 1, -5t (舍去). 所以存在点B 9 -,0 5 对于圆C上任一点P,都有P PB A为常数 3 5. 精要点评精要点评一般地,我们把“平面内到两个定点距离之比为常数(1)的点 的轨迹是圆”叫作圆的第二定义,此圆被叫作“阿波罗尼斯圆”. 本题以阿波罗尼斯圆 为背景构建定点问题,体现了阿波罗尼斯圆在解析几何中的重要位置. (2014淮安模拟)已知圆M的方程为x 2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P 在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.经过A,P,M三点的圆是否经过异于 点M的定点?若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由. 解答解答因为点P在直线l:x-2y=0上, 设P(2m,m),MP的中点Q ,1 2 m m , 因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以点Q为圆心、MQ为半径的圆, 故其方程为(x-m) 2+ 2 -1 2 m y =m 2+ 2 -1 2 m . 化简,得x 2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m的恒等式, 故 22-2 0, 2-20, xyy xy 解得 0, 2 x y 或 4 , 5 2 . 5 x y 所以经过A,P,M三点的圆必过异于点M的定点 4 2 , 5 5 . 已知圆O的方程为x 2+y2=1,直线l 1过点A(3,0),且与圆O相切. (1) 求直线l1的方程; (2) 设圆O与x轴交于P,Q两点,点M是圆O上异于点P,Q的任意一点,过点A且与x轴 垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P,直线QM交直线l2于点Q.证明:以PQ为直 径的圆C总经过定点,并求出定点坐标. 思维引导思维引导动点M是问题之源.设M点坐标为(s,t),且s 2+t2=1,然后求出动圆方 程.令含参数s,t的代数式的系数为0,余下部分为0,解方程组便得定点坐标. 规范答题规范答题(1) 因为直线l1过点A(3,0),且与圆O:x 2+y2=1相切,所以可设直线l 1 的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.(2分) 则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d= 2 3 1 k k =1,解得k= 2 4 .所以直线l1的方程 为y= 2 4 (x-3). (4分) (2) 对于圆O:x 2+y2=1,令y=0,得x=1,即P(-1,0),Q(1,0).又直线l 2过点A且与x 轴垂直,所以直线l2的方程为x=3.设M(s,t),则直线PM的方程为y= 1 t s (x+1). 由方程组 3, (1), 1 x t yx s 解得P 4 3, 1 t s . 同理可得Q 2 3, -1 t s . (10分) 所以以PQ为直径的圆C的方程为(x-3)(x-3)+ 42 - 1-1 tt yy ss =0. 又s 2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+ 6 -2s t y=0. (12分) 若圆C经过定点,则只需令y=0,从而有x 2-6x+1=0,解得x=32 2. 所以以PQ为直径的圆C总经过定点(32 2,0). (14分) 精要点评精要点评 (1) 对于以PQ为直径的圆C的方程而言,本题解答选用了直径式, 若选用标准式,则运算较繁. (2) 证明动曲线经过定点的一般方法是:将整理好的方程中含有参变量的代数 式的系数令为0,余下部分也令为0,然后解方程组即可求得定点坐标.如:动圆 (x 2+y2-6x+1)+(x2+y2-5)=0恒过定点(1,2),(1,-2). 1. (2014江苏模拟)若圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则 圆C的方程为 . 答案答案(x-2) 2+(y+3)2=5 解析解析由圆的几何意义知圆心坐标为(2,-3),半径r= 22 (2-0)(-32) = 5,所以圆 的方程为(x-2) 2+(y+3)2=5. 2. 经过三点A(0,0),B(4,0),C(0,6)的圆的方程是 . 答案答案(x-2) 2+(y-3)2=13 3. 圆心为C(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为 . 答案答案(x-3) 2+(y+5)2=32 4. 已知点P(2,1)在圆C:x 2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C 上,那么圆C的圆心坐标为 ,半径为 . 答案答案(0,1) 2 解析解析因为点P(2,1)在圆C:x 2+y2+ax-2y+b=0上,所以2a+b=-3,点P关于直线x+y-1=0 的对称点(0,-1)也在圆C上,所以b=-3,a=0,故圆的方程为x 2+y2-2