新新教案系列高中数学4.1圆的方程教案pdf新人教A必修2

新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 圆 圆的的方方程程 圆的标准方程 课标解读 课标要求学习目标 掌握确定圆的几何要素和 圆的标准方程 会根据不同的已知条件， 利 用坐标法、 数形结合思想以及 转化与化归的思想求出圆的 标准方程 培养学生细心的学习习惯、 认真的学习态度， 并激发学生 学习数学的兴趣 会推导圆的标准方程， 掌握 圆的标准方程的特点 会判断点与圆的位置关系 能根据所给有关圆心、 半径 的具体条件用待定系数法准 确地写出圆的标准方程 能运用圆的标准方程正确 地求出其圆心和半径 教学策略 重点难点 本节重点是对圆的标准方程结构特征的正确理解与认 识以及在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法难点 是圆的标准方程的求法 教学建议 在得到圆的标准方程（） （ ） 之后， 用 “ 曲线与方程” 的思想解释圆的标准方程与圆之间的关系， 即： 若点（， ） 在圆上， 则点的坐标是方程的解， 反过 来， 若点（， ） 的坐标适合方程， 则点在圆上 对于圆的标准方程（） （ ） ， 应强调其 圆心为（ ，） ， 半径为， 注意方程中的减号 提出坐标 法 的 思 想， 即 根 据 给 出 的 圆 心 坐 标 以 及 半 径 写 出 圆 的方程 从几何到代数； 根据坐标是否满 足 方 程， 来 认 识所对应的几何对象之间的关系 从代 数到几何 在引导学生列关于、的方程或方程组时， 要注意 联系平面几何的知识， 尤其是其中的一些直角三角形、 垂径 定理等 要结合题目， 让学生初步体验用“ 待定系数法” 求曲线 方程这一数学方法使用的过程， 但此处不要过早地归纳其解 题步骤 情境创设 同学 们， 你 们 做 过 摩 天 轮 吗？登 高 而 望 远， 不 亦 乐乎 坐落于泰 晤 士 河 畔 的 英 航 伦 敦 眼， 距 地 面 总 高 度 为 米， 由于伦敦眼属于观景摩天轮结构， 有些人认为其在 排行上应该与重力式摩天轮分开来计算目前世界上最大的重 力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈， 是直径 米， 离 地面总高度为 米的摩天轮 对于这些摩天轮， 我们如何通过建立平面直角坐标系， 利用方程的知识来研究呢？ 我国宋代的祖冲之喜欢研究天文历法， 特别爱好研 究数学， 他造过“ 指南车” ， “ 千里船” ， “ 定时器” ； 但他最杰 出的贡献是对圆的研究， 他计算出圆周率在 和 之间， 成为世界上最早把圆周率数值推算到七 位数字以上的科学家， 今天， 我们将从一个全新角度对圆 作进一步的研究 合作探究 探究一 圆的标准方程 想一想： 圆是怎样定义的？ 在平面内任一点到定点的距离等于定长的点的集合（ 轨 迹） 叫做圆， 定点就是圆心， 定长就是半径 图 议一议： 确定圆需要哪些条件？ 一个圆的圆心位置和半径一旦 给定， 这个圆就被确定下来了 探 究：如 图，设 圆 心 是 （，） ， 半径为， 设（，） 是圆上 任意一点， 则 ， 由两点间的 距离公式得（ ） （ ）槡 ， 即（） （ ） ， 其中圆心为（ ，） ， 半径为 这个方程我们称之为圆的标准方程 提升总结： 圆心为（ ，） ， 半径为的圆的标准方程为 （） （ ） 温馨提示： （） 如果圆心在坐标原点， 此时， 则 圆的方程为 （） 圆的标准方程 （） （ ） 圆 心 为 （，） ， 半径为 例 求满足下列条件的各圆的方程： （） 圆心在原点， 半径是槡 ； （） 圆心为点（， ） ， 半径是 ； （） 经过点（， ） ， 且圆心为点（，） 分 析 根据圆心和半径直接代入标准方程 解： （） ； （ ） （） （ ） ； （） 方 法 ： 圆 的 半 径 （） （ ）槡 ， 圆心为点（ ，） ， 圆的方程是（） （ ） 方法：圆心为（ ， ） ， 设圆的方程为（ ） （ ） 又点（， ） 在圆上，（） （ ） ， 圆与方程第四章 教 学 札记 所求圆的方程是（） （ ） 点 拨 确定圆的标准方程只需要确定圆心的坐标和圆 的半径即可， 因此圆心和半径被称为圆的两要素 跟踪练习 圆 （） （） 的 圆 心 和 半 径 分 别 为（ ） （，） ， （，） ， （，） ，槡 （，） ，槡 解 析 根据圆的标准方程的定义和参数的几何意义， 直 接写出圆心坐标和半径 答案： 已知一圆的圆心为点（，） ， 一条直径的两个端 点分别在轴和轴上， 则此圆的方程是（ ） （） （ ） （） （ ） （） （ ） （） （ ） 解 析 由 中点坐标公式得直径的两 个 端 点 为（，） ， （，） ， 所以半径（ ） （ ） 槡 槡 答案： 探究二 如何确定点与圆的位置关系？ 在平面直角坐标系中， 圆一旦确定， 该平面的任何一点 与圆的位置关系也就确定下来了， 那么该如何判断点与圆的 位置关系呢？ 想一想： 初中学习圆的内容时， 点与圆的位置关系有哪 些？是怎样判定的？ 点与圆的位置关系有三种情形： 点在圆内、 点在圆上、 点 在圆外 其判断方法是看点到圆心的距离与圆半径的关系 时， 点在圆内；时， 点在圆上；时， 点在圆外 探究： 以圆 为例， 在圆上的点（ ，） 都满足 数形 结 合 易 知 点 （，） 、 ， （） 、 ， （） 、 ， （） 都在圆的 内 部， 它 们 满 足 、（ ） （ ） 、 （） （） 、（ ） （ ） 事实上， 若点（， ） 在圆的内部， 过点（，） 作轴的垂 线， 交圆于（， ） ， 显然有且 ， 从而 有 也就是说圆内部的点（，） 都满 足 数形结合易知点 ，（） 、 ， （） 、 ， （） 、 （，） 都在圆的外部， 它们满足 （ ） 、（ ） 、 （） 、 事实上， 若点（， ） 在圆的 外部， 过点（， ） 作轴或轴的垂线， （） 若与圆有交点， 则同理可得 ； （） 若均与圆无交点， 则 ， 从而也有 也就是说圆的外部的 点（， ） 都满足 将圆替换为（） （ ） （ ） ， 结论同样 成立 提升总结： 点（ ，） 在圆（） （ ） （ ） 上等价于（ ） （ ） （ ） ； 点（ ，） 在圆（） （ ） （ ） 内部等价 于（ ） （ ） （ ） ； 点（ ，） 在圆（） （ ） （ ） 外部等价 于（ ） （ ） （ ） 温馨提示： 点与圆的位置关系的比较有两种方法： 几何 法与代数法 例 写出以点（，） 为圆心，为半径的圆的标准 方程， 并判断点（，） ，（，） ，（ ，） 与该圆的 位置关系 分 析 先求出圆的标准方程， 然后再判断 解： 圆的标准方程为（ ） （ ） 因为（ ） （ ） 槡 ， 所以点在圆上 因为（ ） （ ） 槡 ， 所以点在圆内 因为 （ ） （ ） 槡 ， 所以点在圆外 点 拨 求点与圆心之间的距离或将点的坐标代入方程 是关键 跟踪练习 试判断点（，） ，（，） ，（，） 是在圆（） （ ） 的内部还是外部 分 析 既可以先求出该点与圆心的距离， 通过比较 与半径的大小得出结论， 也可以把所给点的坐标代入已知 圆的标准方程进行判断， 于是可得以下两种方法 解法： 圆心为（， ） ， 则 （） （ ） 槡 槡槡 ， 故点在圆上； （） （ ） 槡 槡槡 ， 故点在圆外； （） （ ）槡 槡， 故点在圆内 解法： 将点（， ） 、（，） 、（，） 分别代入圆的标 准方程， 得 （） （ ） ， 故点 在圆上； （） （ ） ， 故点在圆外； （） （ ） ， 故点在圆内 点 拨 两种解法是一致的， 但第二种解法更直接一些 探究三 圆的标准方程的求法 想一想： 圆的标准方程中有几个参变量？使用什么方法 求解？ 议一议： 圆的标准方程中含有三个参变量， 必须具备三 个独立的条件， 才能定出一个圆的方程 当已知曲线为圆时， 一般采用待定系数法求圆的方程 提升总结： 求圆的标准方程的一般步骤为： 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 （） 根 据 题意， 设所求的圆的标准方程为 （） （ ） ； （） 根据已知条件， 建立关于、 、的方程组； （） 解此方程组， 求出、 、的值； （） 将所得的、 、的值代回所设的圆的方程中， 就得 到所求的圆的标准方程 例 已知一个圆经过两个点（，） 、（，） ， 且圆心在直线： 上， 求此圆的方程 解： 因为（，） 、（，） ， 所以 中点为（，） ， 从而 的中垂线方程为（ ） ， 即 解方程组 ， ， 得 ， 所以圆心为（，） 从而圆的半径 （） （） 槡 槡 故所求圆的方程为（ ） （ ） 跟踪练习 圆心为（，） 且与直线相切的圆的方程 是 解 析 圆心为（， ） ， 半径 槡 槡， 所求圆的 方程为（） （ ） 答案： （） （ ） 备选例题 例 已知点（，） 在圆（） 上， 求 的值 分 析 本题是点与圆的位置关系问题， 直接利用点与圆 的位置关系的等价条件求解 解： 因为点（， ） 在圆（） 上， 所以（） （ ） 化简得 ， 解得 或 点 拨 判断点在圆上、 圆内还是在圆外， 一般是将点的 坐标代入， 并利用相应的等价条件求解， 由于是等价条件， 所 以逆向应用求解参数范围的方法也一样 例 在平面直角坐标系中， 求与轴相交于（，） 和（， ） 两点， 且半径为槡的圆的标准方程 分 析 设出圆的标准方程进行求解或利用平面几何的 知识求解 解法： 设圆的标准方程为（） （ ） 因为、两点在圆上， 所以可得到方程组 （） （ ） ， （） （ ） ， 解得 ， 所以圆的标准方程是（ ） （ ） 或（ ） （ ） 解法： 由、两点在圆上， 知线段 是圆的一条弦， 根据平面几何知识， 这个圆的圆心在线段 的垂直平分线 上， 于是可以设圆心为（，） 又由 槡 得 （ ） 槡 槡 ， 解得 或 因此， 所求圆的标准方程为（） （ ） 或 （ ） （ ） 点 拨 本题求解的核心就是求出圆心的坐标， 待定系数 法是最容易想到的办法， 但用待定系数法计算有时会比较麻 烦如果在求解有关这类问题时能够结合圆的有关几何性质 来考虑（ 如垂径定理等） ， 可以使思路比较直观且计算会更为 简捷 例 有一种商品，、两地都有出售， 且价格相同， 某地 居民从两地之一购得商品后运回的费用：地每千米的费用是 地每千米费用的倍已知、两地的距离是 千米， 顾客 选择地或地购买这种商品的标准是运费和价格的总费 用较低求地居民选择地或地购货总费用相等时， 点 所在曲线的形状， 并指出曲线上、 曲线内、 曲线外的居民应 如何选择购物地点？ 分 析 本题是一个实际问题， 要通过建立数学模型来 图 解 决， 判 断 曲 线 的 形 状， 实 际 上 是 求 曲线方程， 宜用解析法 解： 如图所示， 以、所在 直线为轴， 线段 的中点为原点， 建立平面直角坐标系 ，（ ，） ，（，） 设（， ） ，地每千米的费用为元，到、所在 地购物费用相等时有： 价格地运费价格地运费， （ ） 槡 （ ） 槡 ， 化简整理， 得 （） （ ） （） 当点在以 ， （） 为圆心， 为半径的圆上时， 居民到地或地购货总费用相等 （） 当点在上述圆内时， （） （ ） ， （ ） （ ） （） （ ） （） 槡 （） 槡 ， 故此时到地购 物较合算 （） 当点在上述圆外时， 同理可知， 此时到地购物 较合算 点 拨 作为应用题要注意领悟题目的实际意义， 对于曲 线上、 曲线内、 曲线外的居民应如何选择购物地点， 这实际是 研究点与圆的位置关系问题 圆与方程第四章 教 学 札记 反思感悟 利用圆的标准方程直接求出圆心和半径， 比较点到圆 心的距离与半径的大小， 能得出点与圆的位置关系求圆的 标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径， 借助弦心距、 弦 长、 半径之间的关系计算时， 可大大简化计算的过程与难度 圆的标准方程为（） （ ） （ ） ， 其中 圆心坐标为（ ，） ， 圆的半径为圆心在原点、 半径为的圆 的标准方程为 （ ） 点与圆的位置关系有三种情形： 点在圆内、 点在圆上、 点 在圆外， 其判断方法是看点到圆心的距离与圆半径的关系 时， 点在圆内；时， 点在圆上；时， 点在圆外 求圆的标准方程的基本方法有直接法、 定义法、 待定 系数法， 在求解时要注意数形结合思想方法的使用 课后作业 圆心在轴上， 半径为， 且过点（，） 的圆的方程 是（ ） （ ） （ ） （） （ ） （ ） 解 析 设圆的圆心（， ） ， 则 （） （ ） 槡 ，圆的标准方程是 （ ） 答案： 直线将圆（） （ ） 平分， 则等于（ ） 以上答案都不对 解 析 直线过圆心时才将圆平分， 将圆心（ ，） 代入 直线方程 ， 解得 答案： 圆（） 关于原点（ ，） 对称的圆的方程 为（ ） （） （ ） （） （ ） （ ） 解 析 求出圆心的对称点即可圆心（，） 关于原点 的对称点为（， ） ， 半径不改变， 故所求对称圆的方程 为（） 答案： 点（，） 在圆（） （ ） 的内部， 则的取 值范围是（ ） 或 解 析 因为点（，） 在圆（） （ ） 的内 部， 所以有（） （ ） ， 解得 答案： 圆（） （ ） 与圆 关于直线 对称， 则与的值分别等于（ ） ， ， 解 析 已知两圆圆心分别为（，） 、（，） ， 所以 ， 的中点为（，）故直线 的方程为 （ ） ， 即， 所以， 故选 答案： 直线 与坐标轴交于、两点， 则以线 段 为直径的圆的标准方程是 解 析 由直线方程知（，） ，（，） ， 所以圆心坐 标是 ，（） ， 半径为 ， 故所求圆的标准 方 程 是 （ ） （） 答案： （ ） （） 经过点（，） ， 圆心在轴负半轴上， 半径等于的圆 的方程为 解 析 根据条件得出圆心为（，） ， ， 故方程为 （ ） 答案： （ ） 过点（，槡） 的直线将圆（ ） 分成两段弧， 当 劣弧所对的圆心角最小时， 直线的斜率 解 析（） （ 槡） ， 点（，槡） 在圆（） 的内部 当劣弧所对的圆心角最小时， 圆心（， ） 与点（，槡） 的 连线垂直于直线， 槡 槡 ，所求直线的斜率为槡 答案： 槡 已 知 两 定 点（，） 、（，） ， 动 点在 圆： （） 上移动 求证： 恒为定值； 证明： 设（， ） ， 则 （ ） ， （） ， 于是 （ ） （ ） （ ） （，） 在圆上，（） ， 即 （ ） 求过点（，） 和直线相切， 且圆心在直 线上的圆的方程 解： 因为所求圆的圆心在直线上， 所以设圆 的方 程 是 （） （） ， 其 圆 心 是 （ ，） ， 半径为， 所 以 槡 ， （） （ ） 烅 烄 烆 ， 解 得 ， 或 ， 所以所求圆的方程是（） （ ） 或（） （ ） 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 圆的一般方程 课标解读 课标要求学习目标 掌握圆的一般方程的特点， 会进 行标准方程与一般方程的转化 会根据不同的已知条件， 利用待 定系数法、 相关点法以及数形结合 思想、 转化与化归思想求出圆的一 般方程 使学生通过观察、 分析、 尝试， 培 养学生的创造能力和逻辑思维能 力， 培养学生敢于探索的创新精神 和对待挫折的良好的心理品质 掌握圆的一般方程的 特点 能将圆的一般方程化 为圆的标准方程， 进而求 出 圆 心 的 坐 标 和 圆 的 半径 能根据所给具体条件 用待定系数法、 相关点法 准 确 地 求 出 圆 的 一 般 方程 教学策略 重点难点 本节重点是圆的一般方程的特征和圆的一般方程的求 法； 难点是用相关点法求圆的轨迹方程 教学建议 引导学生重视配方法的技巧， 对于 表示圆的方程的研究， 要注意使用由特殊到一般的思想 方法， 多举几个例子， 让学生感悟、的关系， 确定圆的 条件 在教学中可以要求学生画出图形， 增强数与形的关 系、 转化与化归思想 引导学生抓住圆的一般方程中含有三个参变量、 的特点， 列出方程或方程组， 体会待定系数法、 相关点法的思想 要引导学生比较圆的标准方程与一般方程形式的差 异， 能够根据题目中的条件选择合适的方程求解 情境创设 同学们， 你到过中国的第一村 华西村吗？ 图 如图， 这 是 一 幅 关于 古 城 镇 民 居 类 型 的 图 片， 所在景点为华西村， 位于 我国江苏的无锡市在画面 中我们可以看到许多几何结 构的图形， 其中有圆形或圆 弧形的平面图形在上一节 课中， 我们学会了求圆的标准方程， 对于这些圆我们如何用 一般方程表示呢？ 将圆的标准方程展开后整理得 ， 反过来， 形如 的方 程一定是圆的方程吗？如果是， 圆心是什么？半径是多少？ 我们的祖先很早就发明了建桥技术， 现存最早的拱桥 是由著名工匠李春设计建造于 多年前， 横跨在我国河 北赵县的河上的赵州桥， 赵州桥又名安济桥， 全长 多米， 拱圆净跨 米多， 是一座单孔坦拱式桥梁， 赵州桥外形秀 丽， 结构合理， 富有民族风格， 虽然历经千年风霜及车压人 行， 但赵州桥至今仍可通行车辆， 被公认为是世界上最古老 的一座桥由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？ 合作探究 探究一 方程 表示圆的条件 问题 下列方程表示什么图形？ （） （ ） （ ） ； （） ； （） ； （） 做一做： （） （） （） 配方后分别为： （ ） （ ） ， （） （） ， （） （ ） 不难看出： （） （） 表示圆， （） 表示一个点， （） 不表示任 何图形 问题 以上二元二次方程表示的图形各不相同， 那么 其中有什么规律呢？ 议一议： 将圆的标准方程（） （ ） 展开， 整理得 令， ， 则 ， （） 其中、为常数 将方程 配方得 （） （） （）当时，方 程 （）表 示 以 ， （） 为圆心， 槡 为半径的圆 （）当时，方 程 （）表 示 一 个 点 ， （） （） 当时， 方程（） 无实数解， 因而它 不表示任何图形 提升总结： 当时， 方程 表示一个圆， 叫做圆的一般方程 温馨提示： 二元二次方程 表示圆需满足以下三个条件： （） 、 的系数相同且 不等于零； （） 不含 项； （） 例 下列方程各表示什么图形？若表示圆， 求出其圆 心与半径 （） ； （） 分 析 本题是考查具有 这个形式 的方程是否表示圆这个知识点， 主要通过配方得到的“ 标准方 程” 来解决问题， 或者直接判断 的符号 解： （） 因为 ， 所以当 时方程表示原点； 当、 不全为时， 方程表示以（，） 为圆 圆与方程第四章 教 学 札记 心， 槡 为半径的圆 （） 原方程等价于 ， 配方得 （） （） 槡 （） ， 因此方程表示圆心为 ， （） ， 半径为槡 的圆 跟踪练习 方程 表示一个圆， 则（ ） 解 析 由（） ， 解得 答案： 圆 的圆心和半径分别为（ ） （，） ， ， （） ， 槡 ， （） ， ， （） ， 槡 解 析 配方得 （） （） 槡 （ ） 答案： 探究二 圆的标准方程、 一般方程各有什么特征？如何 相互转化？ 探究： 圆的标准方程为（） （ ） （ ） ， 从形式上看， 特点是两个完全平方式的和等于半径的平方 优点是从方程中可以直接得到圆的半径和圆心坐标， 利用圆 的性质、 定义特点解题相对简便； 缺点是直接代入计算， 运算 量较大 圆的一般方程为 ， 从形式上 看， 特点是按、 的二次、 一次、 零次进行降幂排列优点是 排列讲究顺序， 运算相对来说较简便， 利用公式可以得到圆 心 ， （） 和半径 槡 ； 缺点是需要判断 方程是否表示圆， 因为不能保证一定大于 提升总结： 研究圆的方程的特点， 主要是从形式上观察、 分析和总结相互转化时首先要把握方向， 就是目标方程的 特点， 其次是应用配方法、 展开整理、 合并同类项等基本处理 技巧 例 已知圆的方程为 设该圆过 点（，） 的最长弦和最短弦分别为 和 ， 则四边形 的面积为（ ） 槡 槡 槡 槡 解 析 由题意知圆的标准方程为（） （ ） ， 点（ ，） 在圆内， 点与圆心的距离为， 故最长弦长为直 径 ， 最短弦长为 槡 槡 ，四边形 的面 积 槡 槡 答案： 点 拨 把圆的一般方程化为标准方程， 从而得到圆心和 半径是常用的方法， 同时， 数形结合也是解决本题的关键 跟踪练习 若圆 的圆心到直线 的距离为槡 ， 则的值为（ ） 或 或 或 或 解 析 （ ） （ ） ， 圆心坐标为（ ，） ， 圆心到 直线的距离 槡 槡 ， 或 答案： 若方程 表示一个 圆， 则应满足 答案：， 探究三 圆的一般方程的求解与应用 例 的三个顶点分别为（，） ，（，） ， （，） ， 求其外接圆的方程 分 析 由于所求的圆过三个点， 因而选用一般式， 从而 只要确定系数、即可； 注意三角形外接圆的圆心为各 边的垂直平分线的交点， 所以也可以先求圆心， 再求半径， 从 而求出圆的方程 解法： 设所求的圆的方程为 ， 则由题意有 ， ， 烅 烄 烆 ， 解得 ， ， 烅 烄 烆 故所求圆的方程为 解法： 由题意可求得 的中垂线方程为， 的 中垂线方程为，圆心是两中垂线的交点 （， ） ，半径 （） （ ） 槡 ， 所求圆的方程为（） （ ） ， 即 例 求圆心在直线上， 且过点（，） 和 （，） 的圆的方程 解法： 设所求圆的圆心为（ ，） ， 半径为， 由题意得 ， （） （ ） ， （） （ ） 烅 烄 烆 ， 解方程组得 ， ， 槡 烅 烄 烆 所求圆的方程为（） （ ） 解法： 设所求圆的方程为 ， 则圆心为 ， （） 圆心在直线上， （） （） 又点（， ） 和点（，） 在圆上， （ ） 解组成的方程组得， 所求圆的方程为 ， 即（） （ ） 解法： 因点（，） 和（，） 在圆上， 故圆心在这两点 所连线段的垂直平分线上， 可求得垂直平分线的方程为 又圆心在直线 上， 故圆心为两直线的交点 由 ， 求得两直线交点为（， ） 由两点间距离公式可求得半径为槡 ， 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 故所求圆的方程为（ ） （ ） 点 拨 圆的方程有标准方程和一般方程两种， 求哪一种都 需要三个独立条件， 如果已知圆上的两个点或三个点的坐标可 设圆的一般方程， 其他情况下可设圆的标准方程， 因此， 求圆的 方程时， 首先应依题意恰当地选择所求圆的方程的形式 跟踪练习 已知圆 始终被直线平 分， 则 解 析 圆 始 终 被 直 线 平 分， 则 圆 心 在 直 线 上， 即 圆 心 ， （） 在直线上， 代入得 ， 解得 答案： 备选例题 例 （） 若不同的四点（，） 、（，） 、（，） 、 （，） 共圆， 求的值； （） 若（，） 、（，） 、（，） 、（， ） 不共圆， 求、 满足的条件 分 析 本题是考查与圆有关的判断是否存在等创新、 探索性问 题， 主 要 有 圆 的 四 点 共 圆 的 判 断 及 其 条 件 的 运用 解： 过（，） 、（，） 、（，） 三点的圆可确定， 先求出圆的方程 设过（， ） 、（，） 、（，） 的圆的一般方程为 ， 则圆心为 ， （） 依题意有 ， （） ， （） 烅 烄 烆 ， 解得 ， ， 烅 烄 烆 即所求圆的方程为 （） 已知四点共圆， 则（ ，） 在圆 上， 所以 ， 即 （ ） （ ） ， 解得 或 又四点不相同， 所以 （） 已知四点不共圆， 则（， ） 不在圆 上， 所以、 满足条件： 点 拨 由于过三点的圆唯一确定， 所以先由其中坐标相 对来说较简单的三点确定圆， 然后再验证第四点是否在该圆 上另外也可以根据圆的性质求解 例 已知线段 的端点的坐标是（，） ， 端点 在圆（ ） 上运动， 求线段 的中点 的轨迹 分 析 动点随点的变化而变化， 这样只要将点 的坐标用点的坐标表示即可 解： 设点的坐标是（ ，） ， 点的坐标是（，）由 于点的坐标是（，） ， 且是线段 的中点， 所以 ， ， 于是有， 因为点在圆（ ） 上运动， 所以点的坐标满足方程（ ） ， 即（ ） 把代入， 得（） （ ） ， 整理得（ ） （） 槡 （ ） 所以点的轨迹是以， （） 为圆心， 以槡 为半径的圆 点 拨 求解有关两个或两个以上动点的轨迹问题， 一般 采用“ 相关点法” 解决使用“ 相关点法” 解题的关键是找出所 求的动点与已知动点的关系， 用所求动点的坐标表示已知位 置条件的动点的坐标， 将其代入满足的方程， 从而转化为问 题所求动点的轨迹方程， 实现问题的解决 例 已知曲线： （） 求证： 不论取何实数， 曲线恒过一定点； （） 证明： 当时， 曲线是一个圆， 且圆心在一条 定直线上； （） 若曲线与轴相切， 求的值 分 析 （） 曲线过定点即与的值无关， 只要令的 系数为零即可 （） 只要证明即可 （） 圆心到轴的距离等于半径 解： （） 曲线的方程可化为： （ ） （ ）， 由 ， ， ， 不论取何值时，总适合曲线的方 程， 即曲线恒过定点（，） （） ， ， （） ，（） ， ，曲线 是一个圆， 设圆心坐标为（，） ， 则由 ， 消去得 ， 即圆心在直线上 （） 若曲线与轴相切， 则， 曲线为圆， 其半 径 （）槡 ， 又圆心为（ ，） ， 则 （） 槡 ， 槡 点 拨 曲线过定点问题， 通常是该曲线过某两条曲线的 交