甘肃靖远第四中学高二月考数学理

高高 二二 数数 学（理科）学（理科） 题号题号123456789101112 答案答案CBDCADCCBBAD 1不等式理科 1.集合集合 2 1 |20 ,|2Ax xxBx x ，则，则AB （） A 1 0, 2 B 1 ( 1,0),2 2 C 1 ( 2,0),1 2 D 1 ,1 2 【答案】【答案】C 【详解】 由题得 1 x| 2x1,Bx| x0 2 Ax 或， 所以AB 1 ( 2,0),1 2 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平， 属于基础题. 2圆锥曲线理科 2若双曲线 E：x 2 9 y 2 161 的左、右焦点分别为 F 1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|8， 则|PF2|等于() A2B14C8D2 或 14 答案：B 3数列 3.在数列an中，a12，（an1）2anan+2（n2） ，Sn为an的前 n 项和，若 a664，则 S7 的值为 （） A126B256C255D254 答案 D 4不等式 4.若1 a 1 b0，则下列不等式：abab； |a|b|；ab；abb2中，正确的不等式 有() ABCD 答案 C 解析 因为1 a 1 b0，所以 ba0，ab0，ab0，所以 abab， |a|b|，在 ba 两 边同时乘以 b，因为 b0，所以 abb2.因此正确的是. 5逻辑 圆锥曲线 5“3m ”是是“椭圆椭圆 22 2 1 25 xy m 的焦距为的焦距为 8”的（的（） A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件D既不充分也不必要既不充分也不必要 【答案】【答案】A 【分析】 对椭圆的焦点所在轴进行分类，当5m时，焦点在x轴上，根据椭圆的性质，可得 m=3， 当5m 时，焦点在y轴上，根据椭圆的性质，可得 41m ，再根据充分必要条件原理 即可判断结果 【详解】 由当5m时， 焦点在x轴上， 焦距28c ， 则4c ， 由 222 9mac ， 则3m ， 当 5m 时，焦点在y轴上，由焦距28c ，则4c ， 由 222 41mac ，则 41m ， 故m的值为 3 或 41，所以“ 3m ”是“椭圆 22 2 1 25 xy m 的焦距为 8”的充分不必要条件. 【点睛】 充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： 充分不 必要条件：如果p q ，且pq ，则说 p 是 q 的充分不必要条件；必要不充分条件： 如果pq ，且p q ，则说 p 是 q 的必要不充分条件； 既不充分也不必要条件：如 果pq ，且pq ，则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 6三角 6.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cacos B(2ab)cos A，则 ABC 的形状为() A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 D解析 因为 cacos B(2ab)cos A，C(AB)，所以由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以 sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以 cos A(sin Bsin A)0，所以 cos A0 或 sin Bsin A，所以 A 2或 BA 或 B A(舍去)，所以ABC 为等腰或直角三角形 7逻辑 7下列结论错误的是下列结论错误的是 () A命题命题“若若 2 340 xx ，则，则4x ”的逆否命题为的逆否命题为“若若4x ，则，则 2 340 xx ” B命题命题“ 2 30 x,xx R ”的否定是的否定是 2 000 30 x,xxR C命题命题“若若 22 acbc ，则，则ab”的逆命题为真命题的逆命题为真命题 D命题命题“若若 22 0mn ，则，则0m 且且0n ”的否命题是的否命题是“若若 22 0mn ，则，则 m0 或或 n0” 【答案】【答案】C 【分析】 利用四种命题的逆否关系判断 A 的正误；命题的否定判断 B 的正误；四种命题的逆否关系 判断 C、D 正误 【详解】 命题“若 x23x40，则 x4”的逆否命题为“若 x4，则 x23x40”，满足逆否命题的定 义，所以 A 正确； “xR，x2x+30”的否定是 2 000 30 xRxx，满足命题的否定形式，所以 B 正确； 命题“若 ac2bc2，则 ab”的逆命题为：ab 则 ac2bc2，是假命题，所以 C 不正确； “若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0”，满足命题的否命 题的形式，D 正确； 故选：C 【点睛】 本题考查命题的真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，命题的否定，四种命题的逆否关 系，考查学科素养-逻辑推理能力 8圆锥曲线焦点三角形 8.设设F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆 22 1 4924 xy 的两个焦点，的两个焦点，P P是椭圆上的点，且是椭圆上的点，且| |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |4 43 3，则，则 PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为( () ) A3 3B2525C2424D4040 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 12 43PFPF ：，可设 1 4PFk， 2 3PFk，由题意可知34214kka， 2k ， 1 8PF ， 2 6PF ， 12 10FF ， 12 PFF是直角三角形，其面积 12 11 6 824 22 PFPF ，故选 C. 9三角 9.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用 的经验方式为：弧田面积1 2(弦矢矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中 “弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2 3 ，半径 等于 4 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是() A6 平方米B9 平方米 C12 平方米D15 平方米 解析：如图，由题意可得AOB2 3 ，OA4， 在 RtAOD 中， 可得AOD 3， DAO 6， OD 1 2AO 1 242， 所以可得矢422， 由 ADAOsin 34 3 2 2 3，可得弦2AD22 34 3 所以，弧田面积1 2(弦矢矢 2)1 2(4 322 2)4 329 平方米，故选 B 答案：B 数学建模、数学运算三角中数学文化的学科素养 中国古代数学名著九章算术 数学九章中，很多题目涉及到三角形在生活中的应用， 完全可以体现数学建模，数学运算的学科素养 10圆锥曲线 中点弦 10.已知椭圆 E：x 2 4 y 2 2 1，直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为 1 2，1，则 l 的方程为() A2xy0Bx4y9 20 C2xy20Dx2y5 20 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 2 1 4 y 2 1 2 1，x 2 2 4 y 2 2 2 1，两式作差并化简整理得y1y2 x1x2 1 2 x1x2 y1y2，而 x 1x21，y1y22，所以y 1y2 x1x2 1 4，直线 l 的方程为 y1 1 4 x1 2 ，即 x 4y9 20.故选 D 答案：B 11三角 11在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2ac b cos cos C B ，b4，则ABC 的面积的最大值为 A43 B23 C33 D3 答案 1A 【解析】 分析：由已知式子和正弦定理可得 3 B ，再由余弦定理可得16ac ，由三角形的面积公 式可得所求 详解：在ABC中 2ac b cos cos C B ， 2coscosacBbC， 由正弦定理得2sinsincossin cosACBBC， 2sin cossin cossin cossinsinABCBBCBCA 又sin0A， 1 cos 2 B ，0B， 3 B 在ABC 中，由余弦定理得 22222 b162cos2acacBacacacacac， 16ac ，当且仅当ac时等号成立 ABC的面积 13 sin4 3 24 SacBac . 故选 A 点睛：用余弦定理解三角形时常用到整体代换的解题思路，即运用公式变形可得 2 22 2ababab，对于公式中的ab，又常与三角形的面积公式结合在一起在求 三角形中的最值问题时，往往要用到基本不等式，解题时要注意不等式的使用条件，特别是 要判断等号能否成立 数学运算求三角形中最值问题的学科素养 求解三角形问题中最值问题成为一个亮点， 综合性强， 考查了学生综合运用知识的能力和数 学运算、逻辑推理的学科素养 12圆锥曲线理科 12已知已知 A，B 是椭圆是椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右顶点，的左、右顶点，M 是是 E 上不同于上不同于 A，B 的任意一点，若直线的任意一点，若直线 AM，BM 的斜率之积为的斜率之积为 4 9 ，则，则 E 的离心率为的离心率为() A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 5 3 【答案】【答案】D 【分析】 由题意方程可知，(,0),( ,0)AaB a，设 00 (,)M xy，利用斜率公式以及直线,AM BM的 斜率之积为 4 9 列式并化简得: 2 0 22 0 4 9 y xa ，,再根据 M 在椭圆上可 22 0 222 0 yb xaa ， ,联立可解得. 【详解】 由题意方程可知，(,0),( ,0)AaB a， 设 00 (,)M xy, 00 00 , AMBM yy kk xaxa 则 00 00 4 9 yy xa xa ,，整理得： 2 0 22 0 4 9 y xa ， 又 22 00 22 1 xy ab ，得 2 222 00 2 () b yax a ，即 22 0 222 0 yb xaa ， 联立，得 2 2 4 9 b a ，即 22 2 4 9 ac a ，解得 5 3 e 故选 D 【点睛】 本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题. 13不等式 13若若 , x y满足约束条件 满足约束条件 250, 230, 50, xy xy x 则则z xy 的最大值为的最大值为_ 【答案】【答案】9 【分析】 作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当5,4xy时， max 9z. 【详解】 不等式组表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)ABC为顶点的三角形区域，如下图所示，目 标函数z xy 的最大值必在顶点处取得，易知当5,4xy时， max 9z. 【点睛】 线性规划问题是高考中常考考点， 主要以选择及填空的形式出现， 基本题型为给出约束条件 求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等. 14 三角 14.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 A 6，a1，b 3，则 B 的 大小为_ 解析：由正弦定理，得 a sin A b sin B把 A 6，a1，b 3代入，解得 sin B 3 2 因为 ba， 所以 BA，结合题意可知 B 3或 2 3 答案： 3或 2 3 15不等式 15.某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用 为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 x 的值是_ 解析：总费用 4x600 x 64 x900 x42900240，当且仅当 x900 x ，即 x30 时等 号成立 答案：30 数学建模，数学运算基本不等式的实际应用的学科素养 在生活实际中，涉及到两个变量 x，y 之间可建立 ya xbx(a0，b0)模型的函数，求其 最值或者取得最值的条件，考查了数学建模，数学运算的学科素养 16 数列理科 16若 a，b 是函数 f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数 可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_ 解析：依题意有 a，b 是方程 x2pxq0 的两根，则 abp，abq，由 p0，q0 可知 a0，b0.由题意可知 ab(2)24q，a22b 或 b22a， 将 a22b 代入 ab4 可解得 a4，b1，此时 ab5，将 b22a 代入 ab4 可解得 a1，b4，此时 ab5，则 p5，故 pq9. 答案：9 考查等差等比定义及中项，分类讨论思想，与函数零点，韦达定理的综合应用。 17（1）逻辑 17（2） 17设设 :p 实数实数x满足满足 22 540 xaxa （其中（其中0a ） ， :q 实数实数x满足满足25x。 （1）若）若1a ，且，且p q 为真，求实数为真，求实数x的取值范围；的取值范围； （2）若）若 q 是是 p 的必要不充分条件，求实数的必要不充分条件，求实数a的取值范围。的取值范围。 【答案【答案】 （1）2,4（2） 5 ,2 4 【分析】 （1）p q 为真，得p真，q真同时成立，对条件p，q中的变量取交集； （2）“ q 是 p 的必要不充分条件”等价于“p是q的必要不充分条件”. 【详解】 （1）若1a ，则 :p 14x，又 :q 25x， 因为p q 为真，所以p真，q真同时成立，所以 14, 25, x x 解得：24x， 所以实数x的取值范围24x. （2） :p 4axa， :q 25x， 因为 q 是 p 的必要不充分条件，所以p是q的必要不充分条件， 所以q中变量x的取值集合是p中变量x的取值集合的真子集， 所以 2, 5 2 45,4 a a a . 【点睛】 在进行简易逻辑中的条件转换时， 要充分利用原命题与其逆否命题的等价性， 如 p 是 q 的 充分不必要条件q是p的充分不必要条件. 18（1）数列 18（2） 18(2019西安质检)已知等差数列an的各项均为正数，a11，前 n 项和为 Sn，数列bn 为等比数列，b11，且 b2S26，b2S38. (1)求数列an与bn的通项公式； (2)求 1 S1 1 S2 1 Sn. 解析：(1)设等差数列an的公差为 d，d0，bn的公比为 q，则 an1(n1)d，bnqn 1. 依题意有 q（2d）6 q33d8 ， 解得 d1 q2，或 d4 3 q9 (舍去) 故 ann，bn2n 1. (2)由(1)知 Sn12n1 2n(n1)， 1 Sn 2 n（n1）2( 1 n 1 n1)， 1 S1 1 S2 1 Sn 2(11 2)( 1 2 1 3)( 1 n 1 n1) 2(1 1 n1) 2n n1. 方程组-基本量法裂项相消法 数列的方程化解题策略 数列的方程化策略，就是分析数列问题中的数量关系，将其转化为数学模型，然后通过列、 解方程来解决问题，它集中体现了方程的思想，体现了逻辑推理和数学运算的学科素养 19（1）三角 19（2） 19在在ABC 中，中，A 3 4 ，AB6，AC3 2 （1）求）求 sinB 的值；的值； （2）若点）若点 D 在在 BC 边上，边上，ADBD，求，求ABD 的面积的面积 【答案【答案】 （1） 10 10 ； （2）3. 【分析】 （1）利用余弦定理可求得BC，再根据正弦定理求得sinB； （2）根据同角三角函数关系 求得cosB，利用余弦定理可构造方程求得BD，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】 （1）由余弦定理可得： 222 2 2cos36 1836 290 2 BCABACAB ACA 3 10BC 由正弦定理可得： 2 3 2 sin10 2 sin 103 10 ACA B BC （2）B为锐角 2 3 10 cos1 sin 10 BB 由余弦定理得： 222 2cosADABBDAB BDB 又ADBD 6 10 2cos3 10 2 10 AB BD B 1110 sin6103 2210 ABD SAB BDB 【点睛】 本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，属于常 考题型. 20（1）不等式 20（2） 20已已知函数知函数 2 ( )(2)2 ()f xxaxa aR. . （1 1）求不等式）求不等式( )0f x 的解集；的解集； （2 2）若当）若当xR时，时，( )4f x 恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围. . 【答案】【答案】(1)见解析；(2)2,6a 【解析】【解析】 【分析】 （1）不等式( )0f x 可化为：(2)()0 xxa，比较a与2的大小，进而求出解集。 （2）( )4f x 恒成立即 2 (2)240 xaxa恒成立，则 2 (2)4(24)0aa ，进而求得答案。 【详解】 解： （1）不等式( )0f x 可化为：(2)()0 xxa， 当2a 时，不等( )0f x 无解； 当2a 时，不等式( )0f x 的解集为2xxa； 当2a 时，不等式( )0f x 的解集为2x ax. （2）由( )4f x 可化为： 2 (2)240 xaxa， 必有： 2 (2)4(24)0aa ，化为 2 4120aa ， 解得：2,6a . 【点睛】 本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题。 21（1）数列构造法 错位相减法1 理科 21（2） 21数列an中，a13，an12an2(nN*) (1)求证：an2是等比数列，并求数列an的通项公式； (2)设 bn n an2，S nb1b2b3bn，证明：对任意 nN*，都有 Sn4 5. 证明：(1)由 an12an2(nN*)得 an122(an2)， a13，a125， an2是首项为 5，公比为 2 的等比数列， an252n 1， an52n 12. (2)由(1)可得 bn n 52n 1， Sn1 5(1 2